Giải sách chuyên đề bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

1. Khái niện hệ hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Luyện tập 1: Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (-3;2;-1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

$a,\begin{align}

    \begin{cases}

        x+2y-3z &= 1 \\

        2x-3y+7z &= 15 \\  

        3x^{2}-4y+z &= -3

    \end{cases}

\end{align}$

$b,\begin{align}

    \begin{cases}

        -x+y+z &= 4 \\

        2x+y-3z &= -1 \\

        3x-2z &= -7

    \end{cases}

\end{align}$

Giải:

Hệ phương trình ở câu a, không phải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ ba chứa $x^{2}$

Hệ phuong trình ở câu b, là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Thay x=-3; y=2 và z=-1 vào các phương trình trong hệ ta có:

$\begin{align}

    \begin{cases}

        -(-3)+2+(-1) &= 4 \\

        2(-3)+2-3(-1) &= -1 \\

        3(-3)-2(-1) &= -7

    \end{cases}

\end{align}$

Ta được

$\begin{align}

    \begin{cases}

     4 &= 4 \\

        -1 &= -1 \\

        -7 &= -7

    \end{cases}

\end{align}$

 Bộ ba số (-3;2;-1) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ phương trình 

Vậy bộ ba số (-3;2;-1) là một nghiệm của hệ phương trình

2. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp GAUSS

Luyện tập 2: Giải hệ phương trình 

$\begin{align}

    \begin{cases}

     2x &= 3 \\

        x+y &= 2 \\

        2x-2y+z &= -1

    \end{cases}

\end{align}$

Giải

Từ pương trình đầu tiên ta có 2x=3 tương đương với $x=\frac{3}{2}$

Thay $x=\frac{3}{2}$ vào phương trình thứ hai ta có $\frac{3}{2}+y=2$ tương đương với $y=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$

Với x và y vừa tìm được vào phương trình thứ ba ta được $2(\frac{3}{2})-2(\frac{1}{2}$)+z=-1$ hay $z=-3$

Luyện tập 3: Giải các hệ phương trình sau:

$a,\begin{align}

    \begin{cases}

     2x+y-3z &= 3 \\

        x+y+3z &= 2 \\

        3x-2y+z &= -1

    \end{cases}

\end{align}$ 

$b,\begin{align}

    \begin{cases}

     4x+y+3z &= -3 \\

        2x+y-z &= 1 \\

        5x+2y&=1

    \end{cases}

\end{align}$

$c,\begin{align}

    \begin{cases}

     x+2z &= -2 \\

        2x+y-z &= 1 \\

        4x+y+3z&=-3

    \end{cases}

\end{align}$

Giải:
a, Đầu tiên ta đổi vị trí của phương trình một và phương trình hai sau đó cộng cả hai vế của phương trình một và phương trình hai theo từng vế tương ứng ta được phương trình mới đã khử ẩn Z là:

$\begin{align}

    \begin{cases}

     2x+y-3z &= 3 \\

        3x+2y &= 5 \\

        3x-2y+z &= -1

    \end{cases}

\end{align}$

Nhân hai vế của phương trình ba với 3 rồi cộng với phương trình một theo từng vế tương ứng ta được phương trình mới cũng khử được ẩn z

$\begin{align}

    \begin{cases}

     2x+y-3z &= 3 \\

        3x+2y &= 5 \\

        11x-5y &= 0

    \end{cases}

\end{align}$

Nhân phương trình hai với 5 và nhân phương trình ba với hai rồi cộng vế theo vế  với nhau ta có được phương trình mới mất y là $37x=25$ hay $x=\frac{25}{37}$

Thế $x=\frac{25}{37}$ vào phương trình hai ta được $y=\frac{55}{37}$

Thế x và y vừa tìm được vào phương trình một ta được $z=\frac{-2}{37}$

vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y; z) là: $(frac{25}{37}; frac{55}{37}; frac{-2}{37})$

b, Lấy Phương trình hai nhân 3 rồi cộng với phương trình một rồi chia cả hai vế cho 2 ta sẽ có phương trình mới mất z

$\begin{align}

    \begin{cases}

     4x+y+3z &= 2 \\

        5x+2y &= \frac{1}{2} \\

        5x+3y &=1

    \end{cases}

\end{align}$

Từ hai vế phương trình cuối, suy ra $\frac{1}{2}=1$ vô lí

Vậy hệ phương trình này vô nghiệm

c, Lấy phương trình ba trừ phương trình hai sau đó chia cả hai vế cho 2 ta được phương trình mới mất y

$\begin{align}

    \begin{cases}

     x+2z &= -2 \\

        x+2z &=-2 \\

        2x+y-z &=1

    \end{cases}

\end{align}$

Ta thấy hai phương trình một và hai giống nhau như vậy ta được hệ tương đương dạng hình thang

$\begin{align}

    \begin{cases}

        x+2z &=-2 \\

        2x+y-z &=1

    \end{cases}

\end{align}$

Rút x theo z từ phương trình một của hệ ta được $x=-2-2z$. Thế vào Phương trình thứ hai ta được $2(-2-2z)+y-z=1$ hay $y=5+5z$. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là $s={(-2-2z);(5+5z);z|z\in \mathbb{R}}$

Vận dụng 1: Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng. Hà quyên không lưu hóa đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho lan ít hơn số tiền trả một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn Lan và MInh phải trả cho Hà bao nhiêu tiền?

Giải:

Gọi số tiền Lan phải trả cho Hà là x (nghìn đồng)

Gọi số tiền Minh phải trả cho Hà là y (nghìn đồng)

Gọi số tiền Hà phải trả cho chính mình là x (nghìn đồng)

Vì tổng hóa đơn của cả ba bạn là 820 nghìn đồng, nên ta có phương trình một là:

$x+y+z=820$ 

Lại có số tiền trả cho lan ít hơn số tiền trả một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng nên ta có phương trình  hai là:

$\frac{1}{2}z-x=5$ hay $-2x+z=10$

Vì số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng nên ta có phuong trình ba:

$y-x=210$

Từ phương trình một, hai, ba ta có hệ phương trình:

$\begin{align}

    \begin{cases}

     x+y+z &= 820 \\

        -2x+z &= 10 \\

        y-x &=210

    \end{cases}

\end{align}$

Lấy phương trình một trừ phương trình ba vế theo vế ta có phương trình mới đã khử biến y

$\begin{align}

    \begin{cases}

     x+y+z &= 820 \\

        -2x+z &= 10 \\

        2x+z &=610

    \end{cases}

\end{align}$

lấy phương trình ha cộng phương trình ba ta được $2z=620$ hay $z=310$

Thế z vào phương trình 2x+310 =610 ta có x =150

Thay x và z đã tìm được vào phương trình một ta có $150+y+310=820$ hay $y=360$

vậy Lan phải trả cho hà 150 nghìn đồng

    Còn Minh phải trả cho Hà 360 nghìn đồng

3. Tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính cầm tay 

luyện tập 4: Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ phương trình trong ví dụ 3, ví dụ 4, ví dụ 5

Giải

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

$\begin{align}

    \begin{cases}

     x+y+z &= 2 \\

        7x+3y+z &= 4 \\

        -5x+7y-2z &=5

    \end{cases}

\end{align}$

Ta ấn liện tiếp dãy các phím trên màn hình 

ví dụ 4: Giải hệ phương trình 

$\begin{align}

    \begin{cases}

     2x+y-z &= 5 \\

        x+y+z &= 3 \\

        5x+4y+2z &=10

    \end{cases}

\end{align}$

Ta ấn liện tiếp dãy các phím trên màn hình 

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau:

$\begin{align}

    \begin{cases}

     5x+y-4z &= 2 \\

        x-y-z &= -1 \\

        3x+3y-2z &=4

    \end{cases}

\end{align}$

Ta ấn liện tiếp dãy các phím trên màn hình 

vận dụng 2: Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Nhóm chim chiễm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú. Hỏi mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm bao nhiêu phần trăm trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng?

Giải

Gọi số lượng nhóm động vật có vú bị tuyệt chủng là x %

       số lượng nhóm chim bị tuyệt chủng là y %

       số lượng nhóm cá bị tuyệt chủng là z %

Vì các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng nên ta có phương trình một:

$x+y+z=55$

Vì nhóm chim chiễm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá nên ta có phương trình hai:

$y-z=0,7$

Vì nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú nên ta có phương trình ba:

$z-x=1,5$

Từ phương trình một, hai, ba ta có hệ phương trình 

$\begin{align}

    \begin{cases}

        x+y+z &=55 \\

        y-z &=0,7 \\

        z-x &=1,5

    \end{cases}

\end{align}$

Cách 1: Ta ấn liện tiếp dãy các phím trên màn hình 

Ta được

Vậy nhóm động vật có vú chiếm 17,1% nhóm chim chiếm 19,3% và nhóm cá chiếm 18,6% các loài có nguy cơ tuyệt chủng

Cách 2:

Đầu tiên ta cộng phương trình một với phương trình ba ta có một phương trình mới mất biến x là 

$\begin{align}

    \begin{cases}

        x+y+z &=55 \\

        y-z &=0,7 \\

        y+2z &=56,5

    \end{cases}

\end{align}$

Lấy phương trình hai nhân hai sau đó cộng với phương trình ba ta được phương trình mới $3y=57,9$ hay $y=19,3$

Thế y vừa tìm được vào phương trình hai ta được $19,3-z=0,7$ hay $z=18,6$

Thay y và z vừa tìm được vào phương trình một ta được $x=17,1$

Vậy nhóm động vật có vú chiếm 17,1% nhóm chim chiếm 19,3% và nhóm cá chiếm 18,6% các loài có nguy cơ tuyệt chủng