Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 cánh diều mới chuyên đề 1 Phép dời hình

MỞ ĐẦU 

Thang băng chuyền tải khách (Hình 1) là loại thang máy không có bậc thang, tốc độ di chuyển vừa phải, thường được sử dụng ở những nơi công cộng như khu trung tâm thương mại, sân bay, siêu thị, ... nhằm mục đích hỗ trợ hành khách di chuyển từ địa điểm này đến địa điểm khác cùng với đồ đạc, hành lí, ... 

Giả sử băng chuyền di chuyển một hành khách từ điểm đầu A đến điểm cuối B của thang băng chuyền đó. 

Câu hỏi: Trong toán học, phép di chuyển hành khách từ vị trí A đến vị trí B theo một hướng cố định được gọi là gì?

Hướng dẫn trả lời:

Trong toán học, phép di chuyển hành khách từ vị trí A đến vị trí B theo một hướng cố định được gọi là phép dời hình. 

II. PHÉP TỊNH TIẾN

1. Khái niệm 

Luyện tập, vận dụng 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định ảnh của các điểm N, P, C, A, M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{OA}$

Hướng dẫn trả lời:

Vì $OA=NM=\frac{1}{2}AC$ nên $\vec{OA}=\vec{NM}$ Do đó $M=T_{\vec{OA}}(N)$ Vậy ảnh của N qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{OA}$ là M. 

Vì $PQ=OA=\frac{1}{2}AC$ nên $\vec{PQ}=\vec{OA}$ Do đó: $Q=T_{\vec{OA}}(P)$. Vậy ảnh của P qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{OA}$ là Q.

Vì $CO=OA=\frac{1}{2}AC$ nên $\vec{CO}=\vec{OA}$. Do đó: $O=T_{\vec{OA}}(C)$. Vậy ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ$\vec{OA}$ là O. 

2. Tính chất 

Luyện tập, vận dụng 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O (0; 0) và bán kính R = 3. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}=(3,4)$

Hướng dẫn trả lời:

Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}$ là một đường tròn bán kính bằng 3, gọi là (C'). 

Gọi O' là tâm của (C'). Ta có O' là ảnh của O qua phép tịnh tiến đã cho nên $\vec{OO'}=\vec{u}=(3;4)$. Suy ra O'(3; 4). 

Vậy ảnh của (C) là đường tròn (C') có tâm O'(3; 4), bán kính R = 3. 

III. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1. Khái niệm 

Luyện tập, vận dụng 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định ảnh của các điểm M, N, P, Q qua phép đối xứng trục AC. 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.

Ta có: AC là đường trung trực của MQ và NP.

Suy ra: Ảnh của các điểm M, N, P, Q qua phép đối xứng trục AC lần lượt là các điểm Q, P, N, M. 

2. Tính chất

Luyện tập, vận dụng 4: Xác định ảnh của cánh sao màu vàng có các đỉnh D, I, P qua phép đối xứng trục d trong Hình 12. 

Hướng dẫn trả lời:

Ảnh của cánh sao màu vàng có các đỉnh D, I, P qua phép đối xứng trục d lần lượt là C, I, Q. 

Luyện tập, vận dụng 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I (3; 2) bán kính R = 2. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox. 

Hướng dẫn trả lời:

Ảnh của đường tròn (C) là một đường tròn có bán kính bằng 2, gọi là (C').

Gọi I' là tâm đường tròn (C'). Ta có I' là ảnh của I qua phép đối xứng trục Ox, suy ra I'(3; -2). Vậy ảnh của (C) là đường tròn (C') có tâm I'(3; -2) bán kính bằng 2. 

IV. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

1. Khái niệm 

Luyện tập, vận dụng 6: Cho bát giác đều ABCDEGHK với tâm I. Xác định ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng tâm I. 

Hướng dẫn trả lời:

Vì I là tâm bát giác đều ABCDEGHK nên I là trung điểm của các đoạn AE, BG, CH, DK. Suy ra ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng tâm I lần lượt là các điểm E, G, H, K

2. Tính chất

Luyện tập, vận dụng 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I (2; 3) bán kính R = 2. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng qua tâm S (2; 1). 

Hướng dẫn trả lời:

Ảnh của điểm I(2; 3) qua phép đối xứng tâm S(2; 1) là điểm I'(2; -1). Vậy ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm S là đường tròn (C') có tâm I'(2; -1) bán kính bằng 2. 

V. PHÉP QUAY

1. Khái niệm 

Luyện tập, vận dụng 8: Cho tam giác đều ABC có tâm O. Xác định ảnh của các điểm A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay $-120^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{AOC}=120^{o}$ và OA = OB = OC. Vì phép quay với góc quay $-120^{o}$ có chiều quay thuận chiều kim đồng hồ nên ảnh của các điểm A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay $-120^{o}$ lần lượt là C, A, B. 

2. Tính chất

Luyện tập, vận dụng 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I (2; 3) bán kính R = 2. Xác định ảnh của (C) qua phép quay tâm S (-1; 1) với góc quay $\varphi = 90^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

Ảnh của điểm I(2; 3) qua phép quay tâm S(-1; 1) với góc $\varphi = 90^{o}$ là điểm I'(-3; 4). Vậy ảnh của (C) qua phép quay tâm S (-1; 1) với góc quay $\varphi = 90^{o}$ là đường tròn (C') có tâm I'(-3; 4), bán kính bằng 2. 

VI. PHÉP DỜI HÌNH

2. Tính chất

Luyện tập, vận dụng 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I (-3; 2) bán kính R = 1. Thực hiện phép dời hình f bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}=(-1;3)$. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép dời hình nói trên. 

Hướng dẫn trả lời:

Qua phép đối xứng tâm O, điểm I(-3; 2) biến thành điểm $I_{1}=(3;-2)$. Qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}=(-1;3)$, điểm $I_{1}=(3;-2)$ biến thành điểm $I_{2}(2;1)$. Vậy ảnh của đường tròn (C) qua phép dời hình f là đường tròn (C') có tâm $I_{2}(2;1)$ và có bán kính R' = R = 1. 

3. Hai hình bằng nhau

Luyện tập, vận dụng 11: Quan sát Hình 38a và chứng minh hai hình AMPOE và CQGON bằng nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Thực hiện phép đối xứng qua tâm O thì hình AMPOE biến thành hình CQGON. Suy ra có phép dời hình. Vậy hai hình AMPOE và CQGON bằng nhau.

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Xác định phép tịnh tiến biến tam giác AMO thành tam giác ONC. 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: OA = CO = NM nên $\vec{OA}=\vec{CO}=\vec{NM}=\vec{u}$

Vậy phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{NM}$ biến tam giác AMO thành tam giác ONC.

Bài 2: Phép đối xứng tâm có là phép quay hay không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

Phép đối xứng tâm có là phép quay. 

Giả sử M đối xứng với M' qua tâm I.

Thực hiện phép quay sao cho I cố định, góc quay $\varphi= \pm 180^{o}$ ta được M' là ảnh của M qua phép quay.

Do đó phép đối xứng tâm là phép quay.

Bài 3: Cho hai đường thẳng d và d' song song với nhau. 

a) Chỉ ra một phép tịnh tiến biến d thành d'. 

b) Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d thành d'?

Hướng dẫn trả lời:

a) Kẻ $\vec{u}$ sao cho $\vec{u} //\vec{d} //\vec{d'}; \vec{u}=\vec{d}=\vec{d'}$

Do đó: Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến $\vec{u}$  là đường thẳng d'.

b) Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d'. 

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Xét phép đối xứng tâm O, xác định ảnh của: 

a) Trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA;

b) Các đường thẳng AB, AC. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

Ta có: O là trung điểm của MP, NQ

Do đó ảnh của các điểm M, N, P, Q qua phép đối xứng tâm O lần lượt là P, Q, M, N.

b) Ta có: O là trung điểm của AC, BD

Do đó ảnh của A, B qua phép đối xứng tâm O lần lượt là C, D nên ảnh của AB là CD.

Ảnh của A, C qua phép đối xứng tâm O lần lượt là C, A nên ảnh của AC là CA. 

Bài 5: Cho hai đường tròn ($O_{1}$;R) và ($O_{2}$; R) tiếp xúc ngoài với nhau tại A (Hình 39).

a) Tìm phép tịnh tiến biến đường tròn ($O_{1}$) thành đường tròn $(O_{2})$

b) Tìm phép đối xứng tâm biến đường tròn $(O_{1})$ thành đường tròn $(O_{2})$

c) Tìm phép đối xứng trục biến đường tròn $(O_{1})$ thành đường tròn $(O_{2})$

Hướng dẫn trả lời:

a) Phép tịnh tiến biến đường tròn $(O_{1})$ thành đường tròn $(O_{2})$ là phép tịnh tiến $\vec{u}=\vec{O_{1}O_{2}}$

b) Phép đối xứng tâm biến đường tròn $(O_{1})$ thành đường tròn $(O_{2})$ là phép đối xứng tâm A.

c) Phép đối xứng trục biến đường tròn $(O_{1})$ thành đường tròn $(O_{2})$ là phép đối xứng trục đi qua A và vuông góc với $O_{1}O_{2}$

Bài 6: Trong Hình 40, hình màu xanh là ảnh của hình màu cam qua một phép quay. Xác định tâm và góc quay của phép quay đó. 

Hướng dẫn trả lời:

Ta có phép quay tâm O, góc $\varphi = 90^{o}$ biến hình màu xanh là ảnh của hình màu cam. 

Bài 7: Hình 41 là hình viên gạch men. 

a) Xác định tâm đối xứng của viên gạch.

b) Xác định các trục đối xứng của viên gạch.

c) Xác định ảnh của viên gạch qua phép quay tâm O (tâm đối xứng của viên gạch) với góc quay $\varphi=90^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta thấy O là tâm đối xứng của viên gạch.

b) Trục đối xứng của viên gạch là đường chéo AC; đường chéo BD; đường thẳng qua tâm O và trung điểm các cạnh AB và CD; đường thẳng qua tâm O và trung điểm các cạnh AC và BD. 

c) Ta có: $\widehat{AOD}=\widehat{BOA}=\widehat{COB}=\widehat{DOC}=90^{o}$ và OA = OB = OC = OD. Vì phép quay với góc quay $90^{o}$ có chiều quay ngược chiều kim đồng hồ nên ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép quay tâm O với góc quay $90^{o}$ lần lượt là các điểm D, A, B, C. 

Bài 8: Quan sát Hình 42 và chỉ ra hai phép dời hình (phân biệt) biến mỗi tam giác được tô màu thành tam giác cùng màu với nó.

Hướng dẫn trả lời:

Hai phép dời hình biến mỗi tam giác được tô màu thành tam giác cùng màu với nó là phép đối xứng tâm và phép đối xứng trục.

Bài 9: Quan sát Hình 43 và chỉ ra:

a) Một phép dời hình biến mỗi tam giác được tô màu thành tam giác cùng màu với nó.

b) Một phép dời hình biến mỗi tam giác được tô màu xanh thành tam giác được tô màu vàng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Phép dời hình biến mỗi tam giác được tô màu thành tam giác cùng màu với nó là phép đối xứng tâm O.

b) Phép dời hình biến mỗi tam giác được tô màu xanh thành tam giác được tô màu vàng là phép quay tâm O, góc quay $\varphi=60^{o}$

Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xác định một phép dời hình biến: 

a) Tam giác AMQ thành tam giác CPN.

b) Tam giác AMO thành tam giác PCN. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì O là tâm hình chữ nhật ABCD nên O là trung điểm của AC, NQ, MP.

Do đó ảnh của các điểm A, M, Q qua phép đối xứng tâm O lần lượt là các điểm C, P, N.

Vậy phép đối xứng tâm O biến tam giác AMQ thành tam giác CPN. 

b) Gọi E là trung điểm của ON. 

Ta có: Ảnh của các điểm A, M, O qua phép đối xứng trục MO là B, M, O.

Suy ra: Phép đối xứng trục MO biến tam giác AMO thành tam giác BMO. (1) 

Ta có: Ảnh của các điểm B, M, O qua phép đối xứng tâm E lần lượt là P, C, N. 

Suy ra: Phép đối xứng tâm E biến tam giác BMO thành tam giác PCN. (2)

(1)(2) suy ra có phép dời hình biến tam giác AMO thành tam giác PCN. 

Bài 11: Hình 44 mô tả một viên gạch trang trí hình tam giác đều. Xác định phép quay biến:

a) Cánh hoa màu xanh đỉnh A thành cánh hoa màu xanh đỉnh B.

b) Cánh hoa màu đỏ đỉnh E thành cánh hoa màu đỏ đỉnh D. 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là giao điểm của AD, BE và CF.

a) Phép quay tâm O, góc $\varphi=\widehat{AOB}=120^{o}$ biến cánh hoa màu xanh đỉnh A thành cánh hoa màu xanh đỉnh B. 

b) Phép quay tâm O, góc $\varphi=\widehat{EOD}=120^{o}$ biến cánh hoa màu đỏ đỉnh E thành cánh hoa màu đỏ đỉnh D. 

Bài 12: Quan sát Hình 45. Xác định các phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ thành tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$, tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ thành tam giác $A_{3}B_{3}C_{3}$

Hướng dẫn trả lời:

- Phép tịnh tiến vectơ $\vec{u}=(7;)$ biến tam giác ABC thành tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$

- Phép đối xứng trục Ox biến tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ thành tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$

- Phép quay tâm O, góc quay $\varphi=90^{o}$ biến tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ thành tam giác $A_{3}B_{3}C_{3}$

Bài 13: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE. 

a) Xác định ảnh của các điểm D và C qua phép quay tâm A với góc quay $\varphi=60^{o}$

b) Chứng minh rằng DC = BE. 

c) Chứng minh rằng số đo góc giữa hai đường thẳng DC và BE bằng $\varphi=60^{o}$ 

Hướng dẫn trả lời:

a) Ảnh của các điểm D qua phép quay tâm A với góc quay $\varphi=60^{o}$ là điểm B.

Ảnh của các điểm C qua phép quay tâm A với góc quay $\varphi=60^{o}$là điểm E. 

b) Qua phép quay tâm A, góc $\varphi=60^{o}$, đoạn thẳng DC biến thành đoạn thẳng BE . 

Suy ra: DC = BE.

c) Gọi O là giao điểm của DC và BE

Ta có: Qua phép quay tâm A, góc $\varphi=60^{o}$ điểm D biến thành điểm B, điểm C biến thành điểm E

Mà ba điểm D, O, C thẳng hàng, B, O, E thẳng hàng

Nên: $\widehat{DOB}=\widehat{COE}=60^{o}$

Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A (0; 6), B (6; 3) và điểm M thuộc trục hoành. 

a) Xác định điểm C đối xứng với B qua trục hoành. 

b) Chứng minh MB = MC.

c) Xác định điểm M sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi I là trung điểm của BC và I thuộc trục Ox.

Ta có: Ảnh của điểm B(6, 3) qua phép đối xứng trục Ox là điểm C(6; -3).

b) Ta có: MI là đường trung trực của BC, suy ra MB = MC. 

c) Do MB = MC nên ta có: AM + MB = AM + MC

△AMC có: AM + MC ≥ AC 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: M thuộc AC

Mà: M thuộc Ox (đề bài)

Vậy M là giao điểm của AC và Ox thì tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. 

Do OA // IC nên $\frac{MO}{MI}=\frac{OA}{IC}=\frac{6}{3}=2$

Suy ra: MO=2MI

Do đó: $MO=\frac{2}{3}OI=\frac{2}{3}.6=4$. Vậy M(4; 0). 

Bài 15: Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì F lần lượt biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C'. 

Hướng dẫn trả lời:

Có thể nói △A'B'C' chỉ là △ABC được di chuyển ra vị trí mới thông qua các phép dời hình. 

Nên tất cả các điểm thuộc △ABC được bảo toàn ở △A'B'C'. 

Vậy nếu phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì F lần lượt biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C'.