Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 cánh diều mới chuyên đề 2 Phép đồng dạng

MỞ ĐẦU

Tranh Đông Hồ là một dòng tranh dân gian Việt Nam, xuất xứ từ làng Đông Hồ (xã Song Hồ, huyện Thuận Thành, tỉnh Bắc Ninh). Tranh được in trên giấy điệp, màu sắc được sử dụng là màu tự nhiên: màu đen từ than lá tre, màu xanh từ lá chàm, màu đỏ từ sỏi son, ...

Nghề làm tranh dân gian Đông Hồ là di sản văn hóa phi vật thể cấp Quốc gia. 

Câu hỏi: Ba bức tranh trong Hình 46 có hình sạng giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau gợi nên những hình có mối liên hệ gì? 

Hướng dẫn trả lời:

Ba bức tranh trong Hình 46 có hình sạng giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau gợi nên những hình đồng dạng với nhau.

I. PHÉP ĐỒNG DẠNG PHỐI CẢNH (PHÉP VỊ TỰ)

1. Khái niệm 

Luyện tập, vận dụng 1: Cho tam giác ABC có O là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số $k=\frac{1}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=\frac{1}{2}$

Ta có: $\vec{OA'}=\frac{1}{2}\vec{OA};\vec{OB'}=\frac{1}{2}\vec{OB}$, $\vec{OC'}=\frac{1}{2}\vec{OC}$

Do đó, các điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.

Vậy ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số $k=\frac{1}{2}$ là tam giác A'B'C'. 

2. Tính chất

Luyện tập, vận dụng 2: Cho đường tròn (C) có tâm O bán kính R. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=-\frac{1}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=-\frac{1}{2}$ thì điểm O biến thành chính nó. Do đó, ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O bán kính $R=|-\frac{1}{2}|R=\frac{1}{2}R$

II. PHÉP ĐỒNG DẠNG

1. Khái niệm 

Luyện tập, vận dụng 3: Người ta dùng một kính hiển vi có khả năng phóng to vật lên gấp 100 000 lần để quan sát một virus và đo được kích thước của virus là 2 mm. Hỏi kích thước thật của virus là bao nhiêu micromét (μm)? Biết 1mm = 1 000 μm. 

Hướng dẫn trả lời:

Đổi 2 mm = 2000 μm

Kích thước thật của virus là: 2000.100 000 = 200 000 000 (μm).

2. Hai hình đồng dạng 

Luyện tập, vận dụng 4: Trong Ví dụ 8, chứng minh rằng hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau. 

Hướng dẫn trả lời:

Thực hiện phép quay tâm C, góc $\varphi = 45^{o}$ thì tứ giác COEN biến thành tứ giác CDFO. 

Tiếp tục thực hiện phép đối xứng trục AC thi tứ giác CDFO biến thành tứ giác CBMO.

Mà tứ giác CBMO biến thành tứ giác NBGE qua phép vị tự tâm B tỉ số 2 (chứng minh ở ví dụ 8)

Thực hiện phép đối xứng trục GE thì tứ giác NBGE biến thành tứ giác OMGE. 

Suy ra có phép đồng dạng biến tứ giác COEN thành tứ giác OMGE.

Suy ra hai hình COEN và OMGE đồng dạng với nhau. 

BÀI TẬP

Bài 1: Phép biến hình nào trong các phép biến hình dưới đây là phép vị tự?

a) Phép tịnh tiến theo vectơ khác $\vec{0}$

b) Phép đối xứng tâm;

c) Phép đối xứng trục;

d) Phép quay. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Phép tịnh tiến theo vectơ khác $\vec{0}$ không phải là phép vị tự;

b) Phép đối xứng tâm là phép vị tự tỉ số k = -1;

c) Phép đối xứng trục không phải là phép vị tự;

d) Phép quay là phép vị tự.

Bài 2: Phép biến hình nào trong các phép biến hình dưới đây không là phép đồng dạng?

a) Phép đối xứng trục;

b) Phép đồng nhất;

c) Phép vị tự tỉ số k = 1; 

d) Phép biến hình biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành điểm A cho trước. 

Hướng dẫn trả lời:

Phép biến hình ở ý d) không là phép đồng dạng. 

Bài 3: Khẳng định nào dưới đây là đúng?

a) Hai tam giác luôn đồng dạng với nhau;

b) Hai hình chữ nhật luôn đồng dạng với nhau;

c) Hai hình thoi luôn đồng dạng với nhau;

d) Hai hình vuông luôn đồng dạng với nhau. 

Hướng dẫn trả lời:

Khẳng định c và d đúng. 

Bài 4: Trên bản đồ bay với tỉ lệ xích 1 : 10 000 000, khoảng cách giữa Hà Nội và Tokyo đo được là 37, 34 cm. Khoảng cách thực tế (tính theo đường chim bay) giữa Hà Nội và Tokyo là bao nhiêu kilômét?

Hướng dẫn trả lời:

Đổi 37, 34 cm = $\frac{37,34}{100000}$ km

Khoảng cách thực tế (tính theo đường chim bay) giữa Hà Nội và Tokyo là: $\frac{37,34}{100000}=10000000=3734$(km).

Bài 5: Một thấu kính phân kì có tiêu cự OF = OF' = 20 cm (kính cận). Vật sáng AB được đặt vuông góc với trục chính của thấu kính, cách thấu kính một đoạn OA = 60 cm, qua thấu kính cho ảnh ảo A'B' (Hình 57). A'B' là ảnh của AB qua một phép vị tự tâm O tỉ số k.

Tính khoảng cách A'O từ ảnh đến thấu kính và so sánh khoảng cách đó với khoảng cách AO từ vật đến thấu kính. 

Hướng dẫn trả lời:

Từ F kẻ EF // A'B' // AB

Vì OF' // BH nên $\frac{OF'}{BH}=\frac{B'O}{B'B}=\frac{1}{3}$

Suy ra: $B'O=\frac{1}{4}BO$

Vì A'B' // AB nên $\frac{O'B}{OB}=\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{4}$

Suy ra: $A'B'=\frac{1}{4}AB$ (1)

Vì AB // EF nên $\frac{OF}{OA}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{3}$

Suy ra: $EF=\frac{1}{3}AB$ (2)

(1)(2) suy ra: A′B′EF=34

Mà: $\frac{OA'}{OF}=\frac{A'B'}{EF}$ (A'B' // EF)

Nên $\frac{OA'}{OF}=\frac{3}{4}$. Do đó: OA' = 15

Vì A'B' // AB nên $\frac{OB'}{OB}=\frac{OA'}{OA}=\frac{1}{4}$

Suy ra: $OA'=\frac{1}{4}OA$

Bài 6: Chứng minh rằng qua phép vị tự tâm O tỉ số k (k≠0), ảnh của mọi đường thẳng đi qua tâm O là chính nó. 

Hướng dẫn trả lời:

Theo định lí: Phép vị tự tâm O tỉ số k (k≠0) biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

Mà O cố định, O thuộc đường thẳng d (đề bài)

Nên phép vị tự tâm O tỉ số k (k≠0) biến đường thẳng d thành đường thẳng trùng với chính nó. 

Nói cách khác: Qua phép vị tự tâm O tỉ số k (k≠0), ảnh của mọi đường thẳng đi qua tâm O là chính nó. 

Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H tỉ số $k=\frac{1}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm H tỉ số $k=\frac{1}{2}$

Ta có: $\vec{HA'}=\frac{1}{2}\vec{HA}; \vec{HB'}=\frac{1}{2}\vec{HB};\vec{HC'}=\frac{1}{2}\vec{HC}$

Do đó: Ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H tỉ số $k=\frac{1}{2}$ là tam giác A'B'C'.

Bài 8: Cho hai đường tròn $(O_{1};R)$ và $(O_{2};2R)$tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Tìm phép vị tự biến đường tròn $(O_{1};R)$ thành đường tròn ($(O_{2};2R)$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có hai đường tròn $(O_{1};R)$ và $(O_{2};2R)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A 

Mà $R_{1} \neq R_{2}$

Nên tâm vị tự trong phép vị tự sẽ nằm ngoài hai đường tròn. 

Nhìn hình vẽ ta thấy phép vị tự tâm B, tỉ số $k=\frac{1}{2}$ biến đường tròn $(O_{1};R)$ thành đường tròn ($(O_{2};2R)$

Bài 9: Chứng minh rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì F biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C'. 

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử trường hợp tam giác ABC trong Luyện tập, vận dụng 1.

Ta có: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' tỉ số $k=\frac{1}{2}$ (O là trung điểm của BC).

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G' là trọng tâm tam giác A'B'C'

Ta có: $OA'=\frac{1}{2}OA$ (Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C')

Mà OA' = 3OG; OA = 3OG

Suy ra: $3OG'=\frac{1}{2}.3.OG$ nên $OG'=\frac{1}{2}OG$

Vậy phép đồng dạng F biến trọng tâm G của tam giác ABC thành trọng tâm G' của tam giác A'B'C'. 

Trường hợp trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ta chứng minh tương tự. 

Bài 10: Chứng minh rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau. 

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử cho n-giác đều $A_{1}A_{2}...A_{n}$ và $B_{1}B_{2}...B_{n}$ có tâm lần lượt là O và O'.

Đặt$k=\frac{B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}=\frac{O'B_{1}}{OA_{1}}$

Gọi V là phép vị tự tâm O, tỉ số k và $C_{1}C_{2}...C_{n}$ là ảnh của đa giác $A_{1}A_{2}...A_{n}$ qua phép vị tự V.

Hiển nhiên $C_{1}C_{2}...C_{n}$ cũng là đa giác đều và vì $\frac{C_{1}C_{2}}{A_{1}A_{2}}=k$ nên $C_{1}C_{2}=B_{1}B_{2}$

Vậy hai n-giác đều $C_{1}C_{2}...C_{n}$ và $B_{1}B_{2}...B_{n}$ có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến $C_{1}C_{2}...C_{n}$ thành $B_{1}B_{2}...B_{n}$

Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng dạng biến $A_{1}A_{2}...A_{n}$ thành $B_{1}B_{2}...B_{n}$

Vậy hai đa giác đều có đồng dạng với nhau. 

Bài 11: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, BO (Hình 58). Chứng minh rằng hai hình AMOD và OENC đồng dạng với nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Ta thấy Hình 58 và Hình 56 là hai hình giống nhau. 

Do đó: Theo kết quả của Ví dụ 8 trang 32 thì tứ giác BGEN và AMOD đồng dạng với nhau.

Theo kết quả của luyện tập, vận dụng 4 trang 32 thì tứ giác OMGE và COEN đồng dạng với nhau.

Thực hiện phép đối xứng trục GE thì tứ giác BGEN biến thành tứ giác OMGE.

Từ đó suy ra: Hai hình AMOD và OENC đồng dạng với nhau.

Bài 12: Hình 59 mô tả một viên gạch trang trí hình tam giác đều. Chứng minh rằng hình hoa ba cánh màu xanh và hình hoa ba cánh màu đỏ đồng dạng với nhau. 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi G là tâm tam giác đều ABC

Thực hiện phép quay tâm G, góc $\varphi = \widehat{AGB}=120^{o}$

Do đó: cánh hoa màu xanh 1 đồng dạng với cánh hoa màu xanh 2, k = 1

Tương tự cánh hoa màu xanh 2 đồng dạng với cánh hoa màu xanh 3, k =1

Do đó: Ba cánh hoa màu xanh đồng dạng với nhau theo tỉ số k = 1.

Chứng minh tương tự với ba cánh hoa đỏ.