Giải chi tiết Toán 12 KNTT bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Hoạt động 1: Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Quan sát đồ thị của hàm số (H.1.2).

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Bài làm chi tiết: 

Tập xác định: .

1. Xét khoảng : với ,  thì . 

=> hàm số trên đồng biến trên khoảng .

1. Xét khoảng : với ,  thì . 

=> hàm số trên nghịch biến trên khoảng .

Luyện tập 1: Hình 1.5 là đồ thị của hàm số . Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Bài làm chi tiết: 

Tập xác định của hàm số là .

Từ đồ thị ta thấy:

• Trong khoảng  và , hàm số  đi lên từ trái sang phải 

=> Hàm số đồng biến trên khoảng  và .

• Trong khoảng , hàm số  đi xuống từ trái sang phải 

=> Hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hoạt động 2: Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Xét hàm số    có đồ thị như Hình 1.6:

1. Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng (. Nêu nhận xét mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.
2. Có nhận xét gì về đạo hàm y’ và hàm số y trên khoảng (-1;1)?

Bài làm chi tiết: 

1. - Trên khoảng , ta có đạo hàm của hàm số: .

Trong khoảng này, ta thấy  và hàm số nghịch biến.

- Trên khoảng , ta có đạo hàm của hàm số: .

Trong khoảng này, ta thấy  và hàm số đồng biến.

1. Trên khoảng , ta có đạo hàm của hàm số: .

Trong khoảng này, ta thấy  và hàm số không đổi.

Luyện tập 2: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số

Bài làm chi tiết: 

Tập xác định của hàm số là .

Ta có: ;  với ;  với .

• Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .

Hoạt động 3: Xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên

Cho hàm số

1. Tính đạo hàm  và tìm các điểm  mà .
2. Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
3. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài làm chi tiết: 

1. Tập xác định của hàm số là .

Ta có:

Vậy ó  hoặc .

1. Ta có bảng biến thiên như sau:

Luyện tập 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) ;

b) .

Bài làm chi tiết: 

1. Tập xác định của hàm số là .

Ta có: ;  hoặc .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng và .

Hàm số nghịch biến trên khoảng .

1.  Tập xác định của hàm số là .

Ta có: .

           (thỏa mãn) hoặc  (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng và .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

Vận dụng 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

1. Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc  là đạo hàm của . Hãy tìm vận tốc .
2. Xét dấu của hàm , từ đó suy ra câu trả lời.

Bài làm chi tiết: 

1. Ta có: .
2. Tập xác định của hàm số  là: .

Ta có:  hoặc .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Chất điểm chuyển động sang phải    .

Chất điểm chuyển động sang trái    .

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Hoạt động 4. Nhận biết khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số

Quan sát đồ thị của hàm số  (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:

Bài làm chi tiết: 

Dựa vào đồ thị trên, ta có các bảng sau:

Luyện tập 4: Hình 1.9 là đồ thị của hàm số . Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Bài làm chi tiết: 

Dựa vào đồ thị trên, ta thấy:

• Hàm số đạt cực đại tại  và .

Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

Hoạt động 5: Nhận biết cách tìm cực trị của hàm số

Cho hàm số

1. Tính đạo hàm  và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm  bằng 0.
2. Lập bảng biến thiên của hàm số
3. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Bài làm chi tiết: 

1. Tập xác định của hàm số là 

Ta có: .

hoặc .

1. Lập bảng biến thiên của hàm số:

1. Từ bảng biến thiên ta thấy:

• Hàm số đạt cực đại tại điểm .
• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm .

Luyện tập 5: Tìm cực của các hàm số sau:

Bài làm chi tiết: 

1. Tập xác định của hàm số là .

Ta có: ; hoặc .

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên dễ thấy

• Hàm số đạt cực đại tại  và .
• Hàm số đạt cực tiểu tại  và .

1. Tập xác định của hàm số là .

Ta có: ;

           (thỏa mãn) hoặc (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên dễ thấy:

• Hàm số đạt cực đại tại  và .

Hàm số đạt cực tiểu tại  và 

Vận dụng 2: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao  (mét) của vật sau  (giây) được cho bởi công thức:

.

Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Bài làm chi tiết: 

Tập xác định của hàm số là .

Ta có: ; .

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại  và .

Do đó thời điểm  giây thì vật đạt độ cao lớn nhất.

GIẢI BÀI TẬP

Giải chi tiết bài 1.1 trang 13 sách toán 12 tập 1 kntt

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

1. Đồ thị hàm số  (H.1.11);
2. Đồ thị hàm số  (H.1.12).

Bài làm chi tiết: 

1. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số  đồng biến trên khoảng  và , nghịch biến trên khoảng .
2. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số  nghịch biến trên khoảng  và , nghịch biến trên khoảng  và .

Giải chi tiết bài 1.2 trang 13 sách toán 12 tập 1 kntt

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

1. ;
2. .

Bài làm chi tiết: 

1. Tập xác định của hàm số là .

Ta có: ;  hoặc .

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .
• Hàm số nghịch biến trên khoảng .

1. Tập xác định của hàm số là .

Ta có: 

.

Vì  với   với

 với . 

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .

Giải chi tiết bài 1.3 trang 13 sách toán 12 tập 1 kntt

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

Bài làm chi tiết: 

1. Tập xác định của hàm số là .

Ta có: .

Vì  với thì hàm số đồng biến trên các khoảng và .

1. Tập xác định của hàm số là .

Ta có: .

           (thỏa mãn) hoặc  (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng  và .
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Giải chi tiết bài 1.4 trang 13 sách toán 12 tập 1 kntt

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

Bài làm chi tiết: 

1. Tập xác định: .

Ta có: ;  (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đồng biến trên khoảng .
• Hàm số nghịch biến trên khoảng .

1. Tập xác định: .

Ta có: ; .

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

• Hàm số đồng biến trên khoảng .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và .

Giải chi tiết bài 1.5 trang 13 sách toán 12 tập 1 kntt

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số:

,

trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

1. Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
2. Tính đạo hàm  và. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó. 

Bài làm chi tiết: 

1. Số dân của thị trấn đó vào:

• Năm 2000:   (nghìn người);
• Năm 2015:  (nghìn người).

1. Tập xác định:

Ta có: ;

 .

Vì => dù có tăng dân số thì số dân cũng không vượt quá ngưỡng 25 nghìn người.

Giải chi tiết bài 1.6 trang 13 sách toán 12 tập 1 kntt

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất  của hàm số  được cho trong Hình 1.13.

1. Hàm số  đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
2. Tại giá trị nào của  thì  có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Bài làm chi tiết: 

1. Từ đồ thị hàm số trên, ta thấy:

Trên các khoảng  và thì  . 

• Hàm số nghịch biến.

Trên các khoảng  và thì . 

• Hàm số đồng biến.

1. Từ đồ thị hàm số trên, ta thấy:

• Với  và với , tại điểm  thì , do đó đây là một điểm cực tiểu của hàm số.
• Với  và với , tại điểm  thì , do đó đây là một điểm cực đại của hàm số.
• Với  và với , tại điểm  thì , do đó đây là một điểm cực tiểu của hàm số.

Giải chi tiết bài 1.7 trang 13 sách toán 12 tập 1 kntt

Tìm cực trị của các hàm số sau:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Bài làm chi tiết: 

1. Tập xác định: .

Ta có: ;

hoặc .

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Điểm cực đại của hàm số là  và điểm cực tiểu là .

1. Tập xác định: .

Ta có: ;  hoặc .

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Điểm cực đại của hàm số là  và điểm cực tiểu là  và .

1. Tập xác định: .

Ta có: ;

           (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Điểm cực đại của hàm số là  và điểm cực tiểu là .

1. Tập xác định: .

Ta có: ;  (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Điểm cực đại của hàm số là  và không có điểm cực tiểu.

Giải chi tiết bài 1.8 trang 13 sách toán 12 tập 1 kntt

Cho hàm số .

1. Tính các giới hạn  và .

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại .

1. Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại  (xem Hình 1.4).

Bài làm chi tiết: 

1. Ta có: ;

.

=> hàm số không có đạo hàm tại .

1. Ta có:

Hàm số  liên tục và xác định trên

Với một số , hàm số  với và . 

=> hàm số có điểm cực tiểu tại .

Giải chi tiết bài 1.9 trang 13 sách toán 12 tập 1 kntt

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số

,

trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm  sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Bài làm chi tiết: 

Tập xác định: .

Có:

Tốc độ bán hàng lớn nhất là lớn nhất.

Ta có:

                   ;

 (thỏa mãn)

Bảng biến thiên với :

Có thể thấy từ bảng biến thiên, tại điểm  thì hàm số  đạt cực đại. Kết luận: Vậy sau khi phát hành  năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.