Giải chi tiết Toán 12 KNTT bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Hoạt động 1: Làm quen với việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Cho hàm số . Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

1. Tính và tìm các điểm tại đó .
2. Xét dấu để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.
3. Tính , và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Bài làm chi tiết:

1. Tập xác định: .

; (thỏa mãn)

=>  tại điểm .

b. Trên khoảng , nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng , nên hàm số đồng biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu . Hàm số không có cực đại.

c.

Bảng biến thiên:

d. Ta có đồ thị của hàm số:

Đồ thị giao với trục tung tại điểm có tọa độ là .

Ta có: . Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm và .

Xét điểm thuộc đồ thị hàm số, do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm trục đối xứng.

2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA

Luyện tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Bài làm chi tiết:

1. Tập xác định: .
2. Sự biến thiên:

Ta có: với .

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: ;

Lập bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có: (thỏa mãn)

Vậy giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành là điểm

Đồ thị có tâm đối xứng là .

3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ

Luyện tập 2: Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi là hàm số xác định với .

Bài làm chi tiết:

Ta có:

Với  nên hàm số  là hàm số giảm.

Ta có:

Vậy nên chi phí trung bình giảm theo  nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm.

Điều này thể hiện trên Hình 1.27 là đồ thị hàm số  có một tiệm cận ngang là đường thẳng  và đi xuống trong khoảng .

Vận dụng: Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).

1. Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau  phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau  phút.
2. Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số  với . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
3. Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo  nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Bài làm chi tiết:

1. Thể tích nước trong bể sau phút là: (lít)

Khối lượng chất khử trùng có trong bể sau phút là: (gam)

Nồng độ chất khử trùng trong bể sau phút là: (gam/lít)

b. 

1. Tập xác định: .
2. Ta có: với

Hàm số luôn đồng biến trên khoảng .

Hàm số không có điểm cực trị.

Tiệm cận: . 

Do đó là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: 

Hàm số đi qua ba điểm ; ; .

c. Vì , và nên nồn đọ chất khử trùng tăng theo nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Luyện tập 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .

Bài làm chi tiết:

1. Tập xác định: .
2. Sự biến thiên:

Có

với .

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: 

;

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

;

Vậy hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng .

;

Vậy hàm số có một tiệm cận xiên là đường thẳng .

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là và
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm có tọa độ của hia đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

GIẢI BÀI TẬP

Giải chi tiết bài 1.21 trang 32 sách toán 12 tập 1 kntt

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Bài làm chi tiết:

1.  

   1. Tập xác định: .

   2. Sự biến thiên: 

Ta có: ; (thỏa mãn)

Trên khoảng , nên hàm số đồng biến. Trên khoảng và , nên hàm số nghịch biến.

Tại , hàm số có giá trị cực đại là . Tại , hàm số có giá trị cực tiểu là .

Giới hạn tại vô cực:

;

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là .

Các điểm , thuộc đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm .

1.  
2. Tập xác định: .
3. Sự biến thiên:

Ta có: ;

Trên khoảng , nên hàm số nghịch biến. 

Trên khoảng và , nên hàm số đồng biến.

Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại . 

Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu .

Giới hạn tại vô cực: 

;

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: 

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là .

Các điểm ; thuộc đồ thị hàm số .

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm .

Giải chi tiết bài 1.22 trang 32 sách toán 12 tập 1 kntt

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Bài làm chi tiết:

1.  
2. Tập xác định: .
3. Sự biến thiên: với .

Hàm số đồng biến trên khoảng và .

Hàm số không có cực trị.

; .

; .

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm tiệm cận đứng và đường thẳng

làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là .

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là .

Đồ thị hàm số nhận giao điểm  của đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b.

1. Tập xác định: .
2. Sự biến thiên:

với

Hàm số đồng biến trên khoảng  và .

Hàm số không có cực trị.

;

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng  làm tiệm cận đứng và đường thẳng  làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là .

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là

Đồ thị hàm số nhận giao điểm  của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Giải chi tiết bài 1.23 trang 32 sách toán 12 tập 1 kntt

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Bài làm chi tiết:

1.  
2. Tập xác định: .
3. Sự biến thiên:

Ta có ;

Trên các khoảng  và ,  nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng  và ,  nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại .

Hàm số đạt cực tiểu tại, giá trị cực tiểu .

;

Vậy đồ thị không có tiệm cận ngang.

;

Vậy đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng .

Vậy đồ thị có một tiệm cận xiên là đường thẳng .

Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm .

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm  của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b. 

1. Tập xác định: .
2. Sự biến thiên:

Ta có: ;

Trên các khoảng và , nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng và , nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại với , hàm số đạt cực tiểu tại với .

;

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

;

Vậy hàm số có một tiệm cận đứng là .

;

Vậy hàm số có một tiệm cận xiên là .

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị với trục tung là .

Giao điểm của đồ thị với trục tung là .

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Giải chi tiết bài 1.24 trang 32 sách toán 12 tập 1 kntt

Một cốc chứa  ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc. 

1. Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, ký hiệu là .
2. Coi là hàm số xác định với . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
3. Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Bài làm chi tiết:

1. Tổng khối lượng KOH sau khi trộn là: (mg)

Tổng thể tích dung dịch sau khi trộn là: (ml)

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn là: (mg/ml)

1.   
2. Tập xác định: .
3. Sự biến thiên:

Ta có: với .

Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng .

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

Vậy hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng .

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Hàm số giao với trục tại điểm .

Hàm số đi qua các điểm và .

1. Vì với và  

=> nồng độ KOH trong cốc giảm theo nhưng luôn lớn hơn mg/ml.

Giải chi tiết bài 1.25 trang 32 sách toán 12 tập 1 kntt

Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở và thì điện trở tương đương của mạch điện được tính theo công thức (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở 8 Ω được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu là (Ω) thì điện trở tương đương là hàm số của . Vẽ đồ thị của hàm số và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

1. Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi tăng.
2. Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω.

Bài làm chi tiết:

Theo bài ra ta có: ,

1. Tập xác định: .
2. Sự biến thiên:

Ta có: với .

Hàm số luôn đồng biến trên .

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

. Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là .

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với và tại gốc tọa độ .

Đồ thị hàm số đi qua các điểm và .

1. Vì với  

=> khi tăng thì điện trở tương đương của mạch cũng tăng.

1. Vì với và  

=> điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá W.