Giải chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều bài 1: Elip

I. Tính đối xứng của Elip

Hoạt động 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$, trong đó a > b > 0 (Hình 2).

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của (E).

b) (E) cắt trục Ox tại các điểm A₁, A₂ và cắt trục Oy tại các điểm B₁, B₂. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA₂ và OB₂.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tọa độ hai tiêu điểm F1, F2 của (E) là $F1(-\sqrt{a^{2}-b^{2}};0),F2(\sqrt{a^{2}-b^{2}};0)$

b) 

• Vì $A_{2}$ thuộc trục Ox nên tọa độ của A2 có dạng $(x_{A2};0)$

Mà $A_{2}$ thuộc (E) nên $\frac{x_{A_{2}}^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow x_{A_{2}}^{2}=a^{2}\Rightarrow x_{A_{2}}=a$ hoặc $x_{A_{2}}=-a$

Ta thấy $A_{2}$ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_{2}}>0 \Rightarrow x_{A_{2}}=a \Rightarrow A_{2}(a;0)$. Khi đó $OA_{2}=\sqrt{(a-0)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{a^{2}}=a$ (vì a > 0)

Vậy $OA_{2}=a$

• Vì $B_{2}$ thuộc trục Oy nên tọa độ của B2 có dạng $(0;y_{B2})$

Mà $A_{2}$ thuộc (E) nên $\frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{B_{2}}^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow y_{B_{2}}^{2}=b^{2}\Rightarrow y_{B_{2}}=b$ hoặc $y_{B_{2}}=-b$

Ta thấy $B_{2}$ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $y_{B_{2}}>0 \Rightarrow y_{B_{2}}=b\Rightarrow  B_{2}(0;b)$. Khi đó $OB_{2}=\sqrt{(0-0)^{2}+(b-0)^{2}}=\sqrt{b^{2}}=b$ (vì b > 0)

Vậy $Ob_{2}=b$

Hoạt động 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ trong đó a > b > 0. Cho điểm M(x; y) nằm trên (E) (Hình 3).

a) Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm toạ độ của điểm M1. Điểm M1 có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

b) Gọi M2 là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Tìm toạ độ của điểm M2. Điểm M2 có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

c) Gọi M3 là điểm đối xứng của M qua gốc O. Tìm toạ độ của điểm M3. Điểm M3 có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời:

Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (E) nên ta có:  $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

a) M1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M1 có toạ độ là (x; –y).

Ta có $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(-y)^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$. Do đó M1 cũng thuộc (E).

b) M2 là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M2 có toạ độ là (–x; y).

Ta có $\frac{(-x)^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $ Do đó M2 cũng thuộc (E).

c) M3 là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M3 có toạ độ là (–x; –y).

Ta có $\frac{(-x)^{2}}{a^{2}}+\frac{(-y)^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ Do đó M3 cũng thuộc (E).

II. Hình chữ nhật cơ sở

Hoạt động 3. 

a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip (E) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y

Hướng dẫn trả lời:

a) Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

• Vì $\frac{y^{2}}{b^{2}}\geq 0$ nên $\frac{x^{2}}{a^{2}} \leq 1\Rightarrow x^{2}\leq a^{2} \Rightarrow –a ≤ x ≤ a.$

Do đó:

Giá trị nhỏ nhất của x là –a khi x = –a, y = 0.

Giá trị lớn nhất của x là a khi x = a, y = 0.

•  Vì $\frac{x^{2}}{a^{2}}\geq 0$ nên $\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1\Rightarrow y^{2}\leq b^{2}\Rightarrow  –a ≤ x ≤ a.$

Do đó:

Giá trị nhỏ nhất của y là –b khi x = 0, y = ­–b.

Giá trị lớn nhất của y là b khi x = 0, y = b.

Luyện tập 1. Viết phương trình chính tắc của elip, biết A1(– 4; 0) và B2(0; 2) là hai đỉnh của nó.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Elip đã cho có hai đỉnh là A1(– 4; 0) và B2(0; 2) nên a = 4, b = 2 hoặc a = 2, b = 4.

Mà a > b nên a = 4, b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{4^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$ hay $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$

Hoạt động 4. Quan sát elip (E) có phương trinh chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ trong đó a > b > 0 và hình chữ nhật cơ sở PQRS của (E) (Hình 5).

a) Tính tỉ số giữa hai cạnh $\frac{QR}{PQ}$ của hình chữ nhật PQRS.

b) Tỉ số $\frac{QR}{PQ}$ phản ánh đặc điểm gì của (E) về hình dạng?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta thấy Q(a; b), R(a; –b) nên

$QR=\sqrt{(a-a)^{2}+(-b-b)^{2}}=\sqrt{(-2b)^{2}}=2b$

Ta thấy P(–a; b), Q(a; b) nên

$PQ=\sqrt{(a-(-a))^{2}+(b-b)^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}}=2a$

Vậy $\frac{QR}{PQ}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}$

b) Tỉ số $\frac{b}{a}$ phản ánh cụ thể hình dạng của (E) như sau:

•  Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$ càng bé thì hình chữ nhật cơ sở càng "dẹt", do đó (E) càng "gầy".
•  Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$ càng lớn thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó (E) càng "béo".

III. Tâm sai của Elip

Luyện tập 2. Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài elip có tiêu cự bằng $12\Rightarrow 2c=12\Rightarrow c=6$

Elip có tâm sai bằng $\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{6}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow a=10\Rightarrow b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{10^{2}}+\frac{y^{2}}{8^{2}}=1$ hay $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$

IV. Bán kính qua tiêu của một điểm thuộc elip

Hoạt động 5. Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a, ở đó F1F2 = 2c với 0 < c < a. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox (Hình 8).

Khi đó, F1(– c; 0), F2(c; 0) là các tiêu điểm của elip (E). Giả sử điểm M(x; y) thuộc elip (E). Chứng minh rằng:

a) $MF1^{2} = x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}$;

b) $MF2^{2} = x^{2} – 2cx + c^{2} + y^{2};$

c) $MF1^{2} – MF2^{2} = 4cx.$

Hướng dẫn trả lời:

a) $MF1^{2} = [x – (– c)]^{2} + (y – 0)^{2} = (x + c)^{2} + y^{2} = x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}.$

b) $MF2^{2} = (x – c)^{2} + (y – 0)^{2} = x^{2} – 2cx + c^{2} + y^{2}$.

c) $MF1^{2} – MF2^{2} = (x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}) – (x^{2} – 2cx + c^{2} + y^{2}) = 4cx.$

Hoạt động 6. Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF1 + MF2 = 2a, chứng minh:

a) MF1 – MF2 = $\frac{2c}{a}x$

b) MF1 = a + $\frac{c}{a}x$;

c) MF2 = a – $\frac{c}{a}x$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $MF1^{2} – MF2^{2} = 4cx \Rightarrow  (MF1 + MF2)(MF1 – MF2) = 4cx$

$\Rightarrow 2a(MF1 – MF2) = 4cx$

 $\Rightarrow MF1 – MF2 = \frac{4cx}{2a}=\frac{2c}{a}x $

b) Từ MF1 + MF2 = 2a và MF1 - MF2 = $\frac{2c}{a}x$ ta suy ra:

$(MF1 + MF2) + (MF1 – MF2) = 2a + \frac{2c}{a}x\Rightarrow 2M1=2a+\frac{2c}{a}x \Rightarrow MF1=a+\frac{c}{a}x$

c) Từ MF1 + MF2 = 2a và $MF1-MF2=\frac{2c}{a}x$  ta suy ra:

$(MF1 + MF2) – (MF1 – MF2) = 2a – \frac{2c}{a}x\Rightarrow 2MF2=2a-\frac{2c}{a}x\Rightarrow MF2=a-\frac{c}{a}x$

Luyện tập 3. Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ với tiêu điểm $F2(\sqrt{5};0)$. Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho độ dài F2M nhỏ nhất.

Hướng dẫn trả lời:

Có $a^{2} = 9$, suy ra a = 3.

Gọi toạ độ của M là (x; y).

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có $F2M = 3 – \frac{\sqrt{5}}{3}x$

Mặt khác, vì M thuộc (E) nên x ≤ 3

$\Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x \leq \frac{\sqrt{5}}{3}3\Rightarrow  \frac{\sqrt{5}}{3}x\leq \sqrt{5}\Rightarrow  -\frac{\sqrt{5}}{3}x\geq  -\sqrt{5}$

$\Rightarrow F2M= 3-\frac{\sqrt{5}}{3}x \geq 3-\sqrt{5}$

Đẳng thức xảy ra khi x = 3.

Vậy độ dài F2M nhỏ nhất khi M có hoành độ bằng 3, tức là M trùng với đỉnh (3; 0) của elip.

V. Đường chuẩn của Elip

Hoạt động 7. Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0). Xét đường thẳng Δ1: x =  $-\frac{a}{e}$

Với mỗi điểm M(x; y) ∈ (E) (Hình 9), tính:

a) Khoảng cách d(M, Δ1) từ điểm M(x; y) đến đường thẳng Δ1.

b) Tỉ số $\frac{MF1}{d(M,\Delta 1)}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng: $x+0y+\frac{a}{e}=0$. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc (E), ta có:

$d(M,\Delta1) =\frac{(x+0y+\frac{a}{e}}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\frac{|a+ex|}{e}$

b) Do MF1 = a + ex > 0 nên MF1 = |a + ex|, suy ra  $d(M,\Delta1) =\frac{MF1}{e}$

Vậy $\frac{MF1}{d(M,\Delta 1)}=e$

Luyện tập 4. Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm F2(5; 0) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là x =$\frac{36}{5}$

Hướng dẫn trả lời:

Elip có một tiêu điểm là F2(5; 0) nên c = 5.

Theo đề bài ta có, đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2(5; 0) là x = $\frac{36}{5}$

Suy ra $\frac{a}{e}=\frac{36}{5}\Rightarrow  \frac{a}{\frac{c}{a}}=\frac{36}{5} \Rightarrow \frac{a^{2}}{c}=\frac{36}{5} \Rightarrow \frac{a^{2}}{5}=\frac{36}{5}\Rightarrow a^{2}=36 $

Suy ra $b^{2}=a^{2}-c^{2}=36-5^{2}=36-25=11$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{11}=1$

VI. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

Hoạt động 8. Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0). Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình là $x^{2} + y^{2} = a^{2}$.

Xét điểm M(x; y) ∈ (E) và điểm M1(x; y1) ∈ (C) sao cho y và y1 luôn cùng dấu (khi M khác với hai đỉnh A1, A2 của (E)) (Hình 10).

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính $y^{2}$ theo $x^{2}$.

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính $y1^{2}$ theo $x^{2}$.

b) Tính tỉ số $\frac{HM}{HM1}=\frac{y}{y1}$ theo a và b.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow \frac{y^{2}}{b^{2}}=1+\frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}}\Rightarrow y^{2}=\frac{(a^{2}-x^{2})b^{2}}{a^{2}}$

$x^{2}+y1^{2}=a^{2}\Rightarrow y1^{2}=a^{2}-x^{2}$

b) Từ a) ta suy ra $\frac{y^{2}}{y1^{2}}=\frac{\frac{(a^{2}-x^{2})b^{2}}{a^{2}}}{a^{2}-x^{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}} \Rightarrow \frac{y}{y1}=\frac{b}{a}.$ Vậy $\frac{HM}{HM1}=\frac{y}{y1}=\frac{b}{a}$

VII. Cách vẽ đường Elip

Hoạt động 9. Vẽ elip (E): $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Hướng dẫn trả lời:

Để vẽ elip (E), ta có thể làm như sau:

Ta thấy a = 5, b = 3. (E) có các đỉnh là A1(– 5; 0), A2(5; 0), B1(0; – 3), B2(0; 3).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = – 5, x = 5,
y = – 3, y = 3.

Bước 2. Tìm một số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn ta thấy điểm $M(4;\frac{9}{5})$ và điểm $N(3;\frac{12}{5}$ thuộc (E). Do đó các điểm $M1(4;-\frac{9}{5}),M2(-4;\frac{9}{5},M3(-4;-\frac{9}{5}),N1(3;-\frac{12}{5},N2(-3;\frac{12}{5}),N3(-3;-\frac{12}{5})$ thuộc (E).

Bước 3. Vẽ đường elip (E) đi qua các điểm cụ thể trên, nằm ở phía trong hình chữ nhật cơ sở và tiếp xúc với các cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại bốn đỉnh của (E) là
A1(–5; 0), A2(5; 0), B1(0; –3), B2(0; 3).

Bài tập

Bài tập 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F1(–2; 0);

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$;

c) Tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20.

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

• Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a$^{2}$ = 9.
• Elip có một tiêu điểm là F1(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra $b^{2} = a^{2} – c^{2} = 3^{2} – 2^{2} = 5.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

• Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c$^{2}$ = 36.
• Elip có tâm sai bằng  suy ra  

$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow  \frac{6}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow  a=10$

$\Rightarrow b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$

c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

• Elip có tâm sai $\frac{\sqrt{5}}{3}$, bằng  suy ra  

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3} \Rightarrow \frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9}\Rightarrow  \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9} \Rightarrow 1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9}$

$\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{4}{9} \frac{b}{a}=\frac{2}{3} b=\frac{2}{3}a$ (1)

• Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20

$\Rightarrow 2(2a+2b)=20 a+b=5$ (2)

Thế (1) vào (2) ta được

$\frac{2}{3}a+a=5 \Rightarrow \frac{5}{3}a=5\Rightarrow  a=3\Rightarrow  b=\frac{2}{3}a = \frac{2}{3}$ x 3 = 2

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$ hay $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$

Bài tập 2. Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi độ dài bán trục lớn và bán trục bé lần lượt là a và b, ta có a = 2b.

Suy ra $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{a^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}a^{2}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

vậy tâm sai của elip là $e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) Giả sử elip có một đỉnh trên trục lớn là A(a; 0) (a > 0) và một đỉnh trên trục bé là B(0; b) (b > 0).

Khi đó theo đề bài ta có AB = 2c = $\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{(0-a)^{2}+(b-0)^{2}}=2\sqrt{a^{2}-b^{2}}\Rightarrow a^{2}+b^{2}=4(a^{2}-b^{2})$

$\Rightarrow 3a^{2}=5b^{2}\Rightarrow b^{2}=\frac{3}{5}a^{2}\Rightarrow c^{2}=a^{2}-\frac{3}{5}a^{2}=\frac{2}{5}a^{2}$

$\Rightarrow \frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{5}\Rightarrow \frac{c}{a}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Vậy elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{10}}{5}$

Bài tập 3. Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 149598261 km và tâm sai e ≈ 0,017. Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn trả lời:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 của elip. Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có, khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:

MF1 = a + ex với x là hoành độ của điểm biểu diễn Trái Đất và –a ≤ x ≤ a.

Do đó a + e $\times $ (–a) ≤ MF1 ≤ a + e $\times $ a

hay 147055090 ≤ MF1 ≤ 152141431

Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời lần lượt là 147055090 km và 152141431 km.

Bài tập 4. Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho độ dài F2M lớn nhất, biết F2 là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

Hướng dẫn trả lời:

Elip (E) có phương trình $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\Rightarrow a^{2}=25$ và $b^{2}=9\Rightarrow a=5$ và b = 3.

$c^{2} = a^{2} – b^{2} = 25 – 9 = 16 \Rightarrow c = 4.$

Gọi toạ độ của M là (x; y). Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có:

$MF2 = a – ex = a – \frac{c}{a}x = 5 – \frac{4}{5}x.$

Mà x ≥ –a hay $x ≥ –5  \Rightarrow \frac{4}{5}x ≥  \frac{4}{5}\times  (–5) \Rightarrow  - \frac{4}{5}x≤ –5$

$\Rightarrow MF2 ≤ 5 –\frac{4}{5}\times   (–5)\Rightarrow   MF2 ≤ 9.$

Đẳng thức xảy ra khi x = –5.

Vậy độ dài F2M lớn nhất khi M có toạ độ (–5; 0).

Bài tập 5. Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị tri có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Nhìn hình vẽ ta thấy:

• Độ dài trục lớn của elip bằng $16 \Rightarrow  2a = 16 \Rightarrow  a = 8$ (m).
• Độ dài bán trục bé của elip bằng 3 $\Rightarrow $ b = 3 (m).

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{8^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$ hay $\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{9}=1$

b) Vì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại nên để bức tượng sáng rõ nhất ta sẽ đặt bức tượng ở tiêu điểm còn lại. Toạ độ của vị trí này là (c; 0).

Có $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{8^{2}-3^{2}}=\sqrt{64-9}=\sqrt{55}$

Vì tượng cao 4 m nên ta cần đặt bức tượng ở vị trí có toạ độ là $(\sqrt{55};-4)$