Giải chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều bài 2: Hypebol

I. Tính đối xứng của Hypebol

Hoạt động 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của hypebol (H).

b) Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A₁, A₂. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA₁ và OA₂.

Hướng dẫn trả lời:

a) Toạ độ hai tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$ của hypebol (H) là: $F_{1}(–c; 0)$ và $F_{2}(c; 0)$ với $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

b)

• Vì $A_{1}$ thuộc trục Ox nên toạ độ của $A_{1}$ có dạng $(x_{A1};0)$

Mà $A_{1}$ thuộc (H) nên 

$\frac{x_{A1}^{2}}{a^{2}}-\frac{0^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow x_{A1}^{2}=a^{2} \Rightarrow x_{A1} =a$ hoặc $x_{A1}=-a$

Ta thấy $A_{1}$ nằm bên trái điểm O trên trục Ox nên $x_{A1}<0\Rightarrow  x_{A1}=-a\Rightarrow  A_{1}(-a;0)$. Khi đó $OA_{1}=\sqrt{(-a-0)^{2}+(0-0)^{2}} =\sqrt{(-a)^{2}}=a$ (vì a > 0).

Vậy  $OA_{1} =a$. (vì a > 0)

• Vì $A_{2}$ thuộc trục Ox nên toạ độ của $A_{2}$ có dạng $(x_{A2};0)$

Mà $A_{2}$ thuộc (H) nên 

$\frac{x_{A2}^{2}}{a^{2}}-\frac{0^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow x_{A2}^{2}=a^{2} \Rightarrow x_{A1} =a$ hoặc $x_{A1}=-a$

Ta thấy $A_{2}$ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A2}>0\Rightarrow  x_{A2}=a\Rightarrow  A_{2}(-a;0)$. Khi đó $OA_{2}=\sqrt{(a-0)^{2}+(0-0)^{2}} =\sqrt{a^{2}}=a$ (vì a > 0).

Vậy  $OA_{1} =a$. (vì a > 0)

Hoạt động 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ trong đó a > 0, b > 0 (Hình 14).

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm M1, M2, M3 có nằm trên hypebol (H) hay không? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời:

Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (H) nên ta có: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

• M1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M1 có toạ độ là (x; –y).

Ta có $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{(-y)^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ Do đó M1 cũng thuộc (H).

• M2 là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M2 có toạ độ là (–x; y).

Ta có $\frac{(-x)^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ Do đó M2 cũng thuộc (H).

• M3 là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M3 có toạ độ là (–x; –y).

Ta có $\frac{(-x)^{2}}{a^{2}}-\frac{(-y)^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ Do đó M3 cũng thuộc (H).

II. Hình chữ nhật cơ sở

Hoạt động 3.

a) Quan sát điểm M (x; y) nằm trên hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng x ≤ –a hoặc x ≥ a.

b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS.

Hướng dẫn trả lời:

a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (H) thì $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Vì $\frac{y^{2}}{b^{2}} \geq 0$ nên $\frac{x^{2}}{a^{2}}\geq 1 \Rightarrow x^{2} \geq a^{2}\Rightarrow  x ≤ –a$ hoặc x ≥ a.

b)

• Có $P(–a; b), R(a; –b) \Rightarrow \overrightarrow{PR}=(a-(-a);-b-b)=(2a;-2b)$

Do đó ta chọn (b; a) là một vectơ pháp tuyến của PR.

Khi đó phương trình đường thẳng PR là: b(x + a) + a(y – b) = 0 hay bx + ay = 0 hay $y=-\frac{b}{a}x$

• Có $Q(a; b), S(–a; –b) \Rightarrow  \overrightarrow{QS}=(-a-a;-b-b)=(-2a;-2b)$

Do đó ta chọn (–b; a) là một vectơ pháp tuyến của QS.

Khi đó phương trình đường thẳng QS là: –b(x – a) + a(y – b) = 0 hay –bx + ay = 0 hay $y=\frac{b}{a}x$

Luyện tập 1. Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A2(5; 0) và một đường tiệm cận là y = –3x.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

• Hypebol có một đỉnh là A2(5; 0) $\Rightarrow $ a = 5.
• Hypebol có một đường tiệm cận là $ y = –3x \Rightarrow \frac{b}{a}=3 \Rightarrow b = 3a = 15.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{5^{2}}-\frac{y^{2}}{15^{2}}=1$ hay $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{225}=1$

III. Tâm sai của Hypebol

Hoạt động 4. Nêu định nghĩa tâm sai của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ với a > b > 0.

Hướng dẫn trả lời:

Tâm sai e của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ với a > b > 0 là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip, tức là $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}$

Luyện tập 2. Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ dài trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng $\frac{5}{4}$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

• Hypebol có độ dài trục ảo bằng $6\Rightarrow 2b=6\Rightarrow b=3\Rightarrow b^{2}=9$
• Hypebol có tâm sai bằng $\frac{5}{4}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a^{2}+3^{2}}}{a}=\frac{5}{4}\Rightarrow 16(a^{2}+3^{2})=25a^{2} \Rightarrow a^{2}=16$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$

IV. Bán kính qua tiêu cửa một điểm thuộc Hypebol

Hoạt động 5. Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho |MF1 – MF2| = 2a, ở đó F1F2 = 2c với c > a > 0. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox (Hình 16). Khi đó F1(c; 0), F2(c; 0) là các tiêu điểm của (H).

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường hypebol (H), chứng minh:

a) $MF1^{2} = x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}$;

b) $MF2^{2} = x^{2} – 2cx + c^{2} + y^{2}$;

c) $MF1^{2} – MF2^{2} = 4cx.$

Hướng dẫn trả lời:

a) $MF1^{2} = [x – (– c)]^{2} + (y – 0)^{2} = (x + c)^{2} + y^{2} = x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}$.

b) $MF2^{2} = (x – c)^{2} + (y – 0)^{2} = x^{2} – 2cx + c^{2} + y^{2}$.

c) $MF12^{2}– MF2^{2} = (x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}) – (x^{2} – 2cx + c^{2} + y^{2}) = 4cx$.

Hoạt động 6. Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức $MF1^{2} – MF2^{2} = 4cx$ và |MF1 – MF2| = 2a, chứng minh:

$MF1=|a+\frac{c}{a}x|=|a+ex|; MF2=|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$

Hướng dẫn trả lời:

• Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy thì MF1 > MF2. Khi đó: MF1 – MF2 = |MF1 – MF2| = 2a.

Ta có: $MF1^{2}-MF2^{2}=4cx \Rightarrow (MF1+MF2)(MF1-MF2)=4cx\Rightarrow  (MF1+MF2)2a=4cx$

$\Rightarrow MF1+MF2=\frac{4cx}{2a}=\frac{2c}{a}x$.

 Khi đó: $(MF1+MF2)+(MF1-MF2)=\frac{2c}{a}x+2a \Rightarrow 2MF1=\frac{2c}{a}x+2a$

$\Rightarrow MF1=a+\frac{c}{a}x=|a+\frac{c}{a}x|=|a+ex|$

$(MF1+MF2)-(MF1-MF2)=\frac{2c}{a}x-2a \Rightarrow 2MF2=\frac{2c}{a}x-2a$

$\Rightarrow MF2=\frac{c}{a}x-a=|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$

• Nếu điểm M thuộc nhánh bên trái trục Oy thì MF1 < MF2. Khi đó: MF1 – MF2 =- |MF1 – MF2| = -2a.

Ta có: $MF1^{2}-MF2^{2}=4cx \Rightarrow (MF1+MF2)(MF1-MF2)=4cx\Rightarrow  (MF1+MF2)(-2a)=4cx$

$\Rightarrow MF1+MF2=\frac{4cx}{2a}=-\frac{2c}{a}x$.

 Khi đó: $(MF1+MF2)+(MF1-MF2)=-\frac{2c}{a}x+(-2a) \Rightarrow 2MF1=-\frac{2c}{a}x-2a$

$\Rightarrow MF1=-(a+\frac{c}{a}x)=|a+\frac{c}{a}x|=|a+ex|$

$(MF1+MF2)-(MF1-MF2)=-\frac{2c}{a}x-(-2a) \Rightarrow 2MF2=-\frac{2c}{a}x-2a$

$\Rightarrow MF2=a-\frac{c}{a}x=|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có $MF1=|a+\frac{c}{a}x|=|a+ex|; MF2=|a-\frac{c}{a}x|=|a-ex|$

Luyện tập 3. Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{25}=1$ Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Hướng dẫn trả lời:

Có $a^{2}=144,b^{2}=25$

$\Rightarrow a=12,b=5,c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{144+25}=13$

Độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:

$MF1=|a+\frac{c}{a}x|=|12+\frac{13}{12}\times 15|=\frac{113}{4}$

$MF2=|a-\frac{c}{a}x|=|12+\frac{13}{12}\times 15|=\frac{17}{4}$

V. Đường chuẩn của Hypebol

Hoạt động 7. Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{b^{2}}{y^{2}}=1$ với a > 0, b > 0. Xét đường thẳng $\Delta 1: x=-\frac{a}{e}$

Với mỗi điểm M (x₀; y₀) ∈ (H) (Hình 17), tính:

a) Khoảng cách d (M, Δ1) từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng Δ1.

b) Tỉ số $\frac{MF1}{d(M,\Delta 1)}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ1 ở dạng Δ1: $x + 0 \times  y + \frac{a}{e} = 0.$

Với mỗi điểm M(x0; y0) thuộc hypebol, ta có:

$d(M,\Delta 1)=\frac{|x0+0\times  y_{0}+\frac{a}{e}|}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\frac{|a+ex0|}{e}=\frac{MF1}{e}$.

b) Từ a) ta suy ra $\frac{MF1}{d(M,\Delta 1)}=e$

Luyện tập 4. Tìm các tiêu điểm và đường chuẩn của hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{11}-\frac{y^{2}}{25}=1$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $a^{2}=11, b^{2}=25$

$\Rightarrow a=\sqrt{11},b=5,c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{11+25}=6$

Do đó hai tiêu điểm là F1(-6;0) và F2(6;0)

Ta có: $e=\frac{c}{a}=\frac{6}{\sqrt{11}} \Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{\sqrt{11}}{\frac{6}{\sqrt{11}}}=\frac{11}{6}$

Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1(–6; 0) là $\Delta 1: x=-\frac{11}{6}$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2(6; 0) là $\Delta2 : x =\frac{11}{6}$

VI. Cách vẽ đường Hypebol

Hoạt động 8. Vẽ hypebol (H): $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$

Hướng dẫn trả lời:

Để vẽ hypebol (H), ta có thể làm như sau:

Ta thấy a = 3, b = 4. (H) có các đỉnh là A1(– 3; 0), A2(3; 0).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –3, x = 3, y = – 4, y = 4.

Bước 2. Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở.

Tim một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm $M(5;\frac{16}{3})$ thuộc (H). Do đó các điểm $M1(5;-\frac{16}{3}), M2(-5;\frac{16}{3}), M3(-5;-\frac{16}{3})$ thuộc (H).

Bước 3. Vẽ đường hypebol bên ngoài hình chữ nhật cơ sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A1(– 3; 0) và đi qua M2, M3; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A2(3; 0) và đi qua M, M1. Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc toạ độ thi càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng và hai trục toạ độ là hai trục đối xứng.

Luyện tập 5. Cho hypebol (H) có một đỉnh là A1(–4; 0) và tiêu cự là 10. Viết phương trình chính tắc và vẽ hypebol (H).

Hướng dẫn trả lời:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

• Hypebol có một đỉnh là $A1(–4; 0) \Rightarrow  a = 4.$
• Hypebol có tiêu cự là $10 \Rightarrow  2c = 10 \Rightarrow  c = 5 \Rightarrow  b^{2} = c^{2} – a^{2} = 5^{2} – 4^{2} = 9.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$

Bài tập

Bài tập 1. Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết:

a) Tiêu điểm là F₁(– 3; 0) và đỉnh là A₂ (2; 0).

b) Đỉnh là A₂(4; 0) và tiêu cự bằng 10.

c) Tiêu điểm F₂ (4; 0) và phương trình một đường tiệm cận là $y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x$

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

• Hypebol có một đỉnh là $F1(–3; 0) \Rightarrow  c = 3.$
• Hypebol có một đỉnh là $A2(2;0) \Rightarrow  a = 2  \Rightarrow  b^{2} = c^{2} – a^{2} = 3^{2} – 2^{2} = 5.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$

b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

• Hypebol có một đỉnh là $A2(4; 0) \Rightarrow  a = 4.$
• Hypebol có tiêu cự là $10 \Rightarrow  2c = 10 \Rightarrow  c = 5 \Rightarrow  b^{2} = c^{2} – a^{2} = 5^{2} – 4^{2} = 9.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$

c) Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

• Hypebol có một tiêu điểm là $F2(4; 0) \Rightarrow  c = 4.$
• Hypebol có một đường tiệm cận là $y= - \frac{\sqrt{7}}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{7}}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{3}=\frac{b}{\sqrt{7}}\Rightarrow \frac{a^{2}}{9}=\frac{b^{2}}{7}\frac{a^{2}+b^{2}}{9+7}=\frac{c^{2}}{16}=\frac{4^{2}}{16}=1\Rightarrow a^{2}=9,b^{2}=7$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{7}=1$

Bài tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{1}=1$

a) Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục thực của hypebol.

b) Xác định phương trình các đường tiệm cận của hypebol và vẽ hypebol trên.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: a = 2, b = 1, c = $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5}$

Toạ độ các đỉnh của hypebol là: A1(–2; 0), A2(2; 0).

Các tiêu điểm của hypebol là: $F1(-\sqrt{5};0), F2(\sqrt{5};0)$

Tiêu cự của hypebol là: $2c=2\sqrt{5}$

Độ dài trục thực của hypebol là: 2a = 4.

b) Phương trình các đường tiệm cận của hypebol là: $y= -\frac{b}{a}x=-\frac{1}{2}x$ và $y=\frac{b}{a}x=\frac{1}{2}x$

Vẽ hypebol:

Bài tập 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là $x^{2} – y^{2} = 1$. Chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hypebol vuông góc với nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: a = 1, b = 1. Suy ra:

Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol là: $d1:y=-\frac{b}{a}=-x$ và $d2:y=\frac{b}{a}x=x$

d1: y = - x hay x + y = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n1}(1;1)$

d1: y = x hay x – y = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n2}(1;1)$

Có $\overrightarrow{n1}\times \overrightarrow{n2}=1\times 1+1\times (-1)=0$ Suy ra hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó hai đường thẳng d1 và d2 cũng vuông góc với nhau.

Bài tập 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol $(H): \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1$. Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E).

Hướng dẫn trả lời:

Hypebol (H) có a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=10$ và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6).

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

• (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H)

$\Rightarrow c=10\Rightarrow a^{2}-b^{2}=c^{2}=100$ (1)

• Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E)

$\Rightarrow M(8;6)\in  (E) \Rightarrow \frac{8^{2}}{a^{2}}+\frac{6^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow\frac{64}{a^{2}}+\frac{36}{b^{2}}=1$ (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

$\frac{64}{b^{2}+100}+\frac{36}{b^{2}}=1\Rightarrow\frac{64b^{2}+36(b^{2}+100)}{(b^{2}+100)b^{2}}$

$\Rightarrow 64b^{2}+369b^{2}+1000=(b^{2}+100)b^{2}$

$\Rightarrow 100b^{2}+3600=b^{4}+100b^{2}\Rightarrow b^{4}=3600\Rightarrow b^{2}=60\Rightarrow a^{2}=160$

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{160}+\frac{y^{2}}{60}=1$

Bài tập 5. Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.

Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |PA – PB|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là $3 \times  108$ m/s.

a) Lập phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu.

b) Chứng tỏ rằng tại mọi thời điểm trên quỹ đạo chuyển động thì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s nên tại thời điểm đó $PB – PA = (3 \times  10^{8}) \times  0,0012 = 360000$ (m) = 360 (km).

Vì con tàu chuyển động với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm nên |PA – PB| = 360 (km) với mọi vị trí của P.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB và trục Ox trùng với AB, đơn vị trên hai trục là km thì hypebol này có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > 0, b > 0).

Vì |PA – PB| = 360 nên 2a = 360, suy ra a =180.

Theo đề bài, AB = 650, suy ra 2c = 650, suy ra c = 325.

$b^{2} = c^{2} – a^{2} = 325^{2} – 180^{2} = 73225.$

Vậy phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là $\frac{x^{2}}{32400}+\frac{y^{2}}{73225}=1$

b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục Oy của hypebol nên ta PB < PA với mọi vị trí của P. Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A.

Gọi t₁ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ A, t2 là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ B thì $t_{1}=\frac{PA}{v}, t2=\frac{PB}{v}$ với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.

Khi đó, ta có:

$t_{1}-t_{2}=\frac{PA-PB}{v}=\frac{360000}{3\times 8^{10}}=0.0012$ (s)

Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.