Giải chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều bài 3: Parabol

I. Tính đối xứng của Parabol

Hoạt động 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét parabol (P) có phương trình chính tắc $y^{2} = 2px$ (p > 0) (Hình 19).

a) Tìm toạ độ tiêu điểm F của parabol (P).

b) Tìm toạ độ điểm H và viết phương trình đường chuẩn Δ của parabol (P).

c) Cho điểm M(x; y) nằm trên parabol (P). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Điểm M1 có nằm trên parabol (P) hay không? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời:

a) Toạ độ tiêu điểm F của parabol (P) là $(\frac{p}{2};0)$

b) Toạ độ điểm H là $(-\frac{p}{2};0)$. Phương trình đường chuẩn của parabol là x = $-\frac{p}{2}$

c) M1 là điểm đối xứng của M qua trục Ox thì M1 có toạ độ là (x; –y).

Ta có $(–y)^{2} = y^{2} = 2px$. Vậy M1 cũng nằm trên parabol (P).

II. Tâm sai của Parabol. Bán kính qua tiêu của một điểm

Hoạt động 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét parabol (P) có phương trình chính tắc là $y^{2}$ = 2px (p > 0) (Hình 20).

a) So sánh khoảng cách MF từ điểm M đến tiêu điểm F và khoảng cách MK từ điểm M đến đường chuẩn Δ.

b) Tính độ dài đoạn thẳng MK. Từ đó, tính độ dài đoạn thẳng MF.

Hướng dẫn trả lời:

a) Khoảng cách MF từ điểm M đến tiêu điểm F bằng khoảng cách MK từ điểm M đến đường chuẩn Δ.

b) Ta viết lại phương trình Δ: $x=-\frac{p}{2} x+0 \times y+\frac{p}{2}=0$

Khoảng cách MK từ điểm M đến đường chuẩn Δ là:

$MK=\frac{|x+0\times  y+\frac{p}{2}}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}|}=|x+\frac{p}{2}|=x+\frac{p}{2}$

Vậy $MF=MK=x+\frac{p}{2}$

Luyện tập 1.

a) Lập phương trình chính tắc của parabol (P), biết phương trình đường chuẩn là x = –2.

b) Tìm toạ độ tiêu điểm của parabol (P).

c) Tìm toạ độ điểm M thuộc parabol (P), biết khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6.

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi phương trình chính tắc của (P) là $y^{2} = 2px$ (p > 0).

Theo đề bài, phương trình đường chuẩn của (P) là x = –2 $\Rightarrow \frac{p}{2} =2\Rightarrow p=4$

Vậy phương trình chính tắc của (P) là $y^{2} = 8x.$

b) Toạ độ tiêu điểm của (P) là F (2; 0)

c) Gọi toạ độ của M là (x; y).

Khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6

$\Rightarrow x+\frac{p}{2}=6\Rightarrow x+\frac{4}{2}=6\Rightarrow x=4\Rightarrow y^{2}=8\times  4=32\Rightarrow y= \pm 4\sqrt{2}$

Vậy $M(4;4\sqrt{2})$ hoặc $M(4;-4\sqrt{2})$

III. Cách vẽ đường Parabol

Hoạt động 3. Vẽ parabol (P): $y^{2} = 4x.$

Hướng dẫn trả lời:

Để vẽ parabol $y^{2}$ = 4x, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Lập bảng giá trị

Chú ý rằng ứng với mỗi giá trị dương của x có hai giá trị của y đối nhau.

Bước 2. Vẽ các điểm cụ thể mà hoành độ và tung độ được xác định như trong bảng giá trị.

Bước 3. Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng là Ox, parabol đi qua các điểm được vẽ ở Bước 2.

Luyện tập 2. Vẽ parabol $y^{2}$ = 2px biết tiêu điểm của parabol là $F(\frac{1}{4};0)$.

Hướng dẫn trả lời:

Parabol có tiêu điểm (P):

$F(\frac{1}{4};0)\Rightarrow  \frac{p}{2}=\frac{1}{4} \Rightarrow p=\frac{1}{2} \Rightarrow y^{2}=x$

Bước 1. Lập bảng giá trị

Chú ý rằng ứng với mỗi giá trị dương của x có hai giá trị của y đối nhau.

Bưóc 2. Vẽ các điểm cụ thể mà hoành độ và tung độ được xác định như trong bảng giá trị.

Bước 3. Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng là Ox, parabol đi qua các điểm được vẽ ở Bước 2.

Bài tập

Bài tập 1. Viết phương trình chính tắc của parabol trong mỗi trường hợp sau:

a) Tiêu điểm là F2(5; 0);

b) Phương trình đường chuẩn là x = –4;

c) Parabol đi qua điểm A(4; 9).

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Theo đề bài, ta có: Parabol có tiêu điểm là F2(5; 0)

$\Rightarrow \frac{p}{2}=5 \Rightarrow p=10$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = 20x.

b) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Theo đề bài, ta có: Parabol có đường chuẩn là x = –4

$\Rightarrow \frac{p}{2}=4 \Rightarrow p=8$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = 16x.

c) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Theo đề bài, ta có: Parabol đi qua điểm A (4; 9)

$\Rightarrow 9^{2} = 2p \times 4 \Rightarrow p=\frac{81}{8}$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là $y^{2} = \frac{81}{4}x$

Bài tập 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol có phương trình chính tắc y$^{2}$ = 8x.

a) Xác định tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol.

b) Vẽ parabol.

Hướng dẫn trả lời:

a) Parabol có phương trình chính tắc $y^{2} = 8x$

$\Rightarrow 2p=8 \Rightarrow p=4\Rightarrow \frac{p}{2}=2$

Do đó:

• Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(2; 0).
• Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.

b)

Bước 1. Lập bảng giá trị

Chú ý rằng ứng với mỗi giá trị dương của x có hai giá trị của y đối nhau.

Bưóc 2. Vẽ các điểm cụ thể mà hoành độ và tung độ được xác định như trong bảng giá trị.

Bước 3. Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng là Ox, parabol đi qua các điểm được vẽ ở Bước 2

Bài tập 3. Các vật liệu xây dựng đều có hệ số dãn nở. Vì thế, khi đặt dầm cầu, người ta thường đặt cố định một đầu dầm, đầu còn lại đặt trên một con lăn có thể di động được nhằm giải quyết sự dãn nở của vật liệu. Hình 21 minh hoạ một dầm cầu được đặt ở hai bờ kênh, giới hạn bởi hai cung parabol có cùng trục đối xúmg. Người ta thiết kế các thanh giằng nối hai cung parabol đó sao cho các thanh giằng theo phương thẳng đứng cách đều nhau và cách đều hai đầu dầm.

Tính tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng.

Hướng dẫn trả lời:

Ta chọn hai hệ trục toạ độ Oxy và O'xy' sao cho đỉnh của mỗi parabol trùng với O và O' (như hình vẽ, đơn vị trên các trục là mét).

Ta cần tính các đoạn OO', A1A2, B1B2, C1C2.

Dễ thấy OO' = AA' = BB' = CC' = 9.

• Xét trong hệ trục toạ độ Oxy:

Giả sử parabol (P) có phương trình: y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Khi đó D có toạ độ (21; 40) thuộc (P) nên $40^{2} = 2p \times  21\Rightarrow 2p=\frac{1600}{21}$

Vậy phương trình của (P) là $y^{2}=\frac{1600}{21}x$

Với y = 10 ta có $10^{2}=\frac{1600}{21}x\Rightarrow x=1.3125\Rightarrow AA1=1.3125$

Với y = 20 ta có $20^{2}=\frac{1600}{21}x\Rightarrow x=5.25\Rightarrow BB1=5.25$

Với y = 30 ta có $30^{2}=\frac{1600}{21}x\Rightarrow x=11.8125\Rightarrow CC1=11.8125$

•  Xét trong hệ trục toạ độ O'xy':

Giả sử parabol (P') có phương trình: y'$^{2}$ = 2px (p > 0).

Khi đó D có toạ độ (12; 40) thuộc (P') nên $40^{2} = 2p \times  12\Rightarrow 2p=\frac{400}{3}$

Vậy phương trình của (P') là $y'^{2}=\frac{400}{3}x$

Với y' = 10 ta có $10^{2}=\frac{400}{3}x\Rightarrow x=0.75\Rightarrow A'A2=0.75$

Với y' = 20 ta có $20^{2}=\frac{400}{3}x\Rightarrow x=3\Rightarrow B'B2=3$

Với y = 30 ta có $30^{2}=\frac{400}{3}x\Rightarrow x=6.75\Rightarrow C'C2=6.75$

• Tính các đoạn A1A2, B1B2, C1C2:

A1A2 = AA2 – AA1 = (AA' + A'A2) – AA1 = (9 + 0,75) – 1,3125 = 8,3475.

B1B2 = BB2 – BB1 = (BB' + B'B2) – BB1 = (9 + 3) – 5,25 = 6,75.

C1C2 = CC2 – CC1 = (CC' + C'C2) – CC1 = (9 + 6,75) – 11,8125 = 3,9375.

Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là:

OO' + 2A1A2 + 2B1B2 + 2C1C2

$= 9 + 2 \times  8,3475 + 2 \times  6,75 + 2 \times  3,9375$

= 47,07.

Vậy tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là 47,07 mét.