Hướng dẫn giải nhanh toán 8 KNTT Bài tập ôn tập cuối năm

SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ

Bài tập 1 trang 135 Toán 8 tập 2 KNTT

a) $(2x+y^{2})+(5x-y)^{2}+2(2x+y)(5x-y)$

b) $(2x-y^{3})(2x+y^{3})-(2x-y^{2})(4x^{2}+2xy^{2}+y^{4})$

Hướng dẫn giải

a) $(2x+y^{2})+(5x-y)^{2}+2(2x+y)(5x-y)$

$=4x^{2}+4xy+y^{2}+25x^{2}-10xy+y^{2}+2(10x^{2}-2xy+5xy-y^{2})$

$=4x^{2}+4xy+y^{2}+25x^{2}-10xy+y^{2}+20x^{2}-4xy+10xy-2y^{2}$

$=49x^{2}$

b) $(2x-y^{3})(2x+y^{3})-(2x-y^{2})(4x^{2}+2xy^{2}+y^{4})$

$=4x^{2}-y^{6}-8x^{3}-4x^{2}y^{2}-2xy^{4}+4x^{2}y^{2}+2xy^{4}+y^{6}$

$=-8x^{3}+4x^{2}$

 Bài tập 2 trang 135 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho đa thức $P=x^{2}-y^{2}+6x+9$

a) Phân tích đa thức P thành nhân tử

b) Sử dụng kết quả của câu a để tìm thương của phép chia đa thức P cho $x+y+3$

Hướng dẫn giải

$P=x^{2}-y^{2}+6x+9$

$P=(x-3)^{2}-y^{2}$

$P=(x-3+y)(x-3-y)$

Bài tập 3 trang 135 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho đa thức f(x)=x^{2}-15x+56

a) Phân tích đa thức thành nhân tử

b) Tìm x sao cho f(x) = 0

Hướng dẫn giải

a) $f(x)=x^{2}-15x+56$

$f(x)=x^{2}-7x-8x+56$

$f(x)=x(x-7)-8(x-7)$

$f(x)=(x-7)(x-8)$

b) Có $(x-7)(x-8)=0$

=> $x=7$ và $x=8$

Bài tập 4 trang 135 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho phân thức $P=\frac{2x^{3}+6x^{2}}{2x^{3}-18x}$

a) Viết điều kiện xác định và rút gọn phân thức P

b) Có thể tính giá trị của P tại $x=-3$ được không? Vì sao

c) Tính giá trị của phân thức P tại $x=4$

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: $2x^{3}-18x\neq 0$ => $x\neq 0$, $x\neq 3$ và $x\neq -3$

b) Không thể tính giá trị của P tại $x=-3$ vì không thỏa mãn đkxđ ở câu a

c) Thay x = 4 vào P => $P = \frac{19}{7}$

 Bài tập 5 trang 135 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho biểu thức $P=(\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}):1+\frac{x^{2}+y^{2}+2x^{2}y^{2}}{1-x^{2}y^{2}}$, trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện $x^{2}y^{2}-1\neq 0$ 

a) Tính tổng $A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$ và $B=1+\frac{x^{2}+y^{2}+2x^{2}y^{2}}{1-x^{2}y^{2}}$

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y

c) Chứng minh đẳng thức $P=1-\frac{(1-x)^{2}}{1+x^{2}}$

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1

Hướng dẫn giải

a) Có $A=\frac{x+y}{1-xy}+\frac{x-y}{1+xy}$

$=\frac{(x+y)(1+xy)+(x-y)(1-xy)}{1-x^{2}y^{2}}$

$=\frac{x+x^{2}y+y+xy^{2}+x-x^{2}y-y+xy^{2}}{1-x^{2}y^{2}}$

$=\frac{2x+2xy^{2}}{1-x^{2}y^{2}}$

Có $B=1+\frac{x^{2}+y^{2}+2x^{2}y^{2}}{1-x^{2}y^{2}}$

$B=\frac{1-x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+2x^{2}y^{2}}{1-x^{2}y^{2}}$

$B=\frac{1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}}{1-x^{2}y^{2}}$

b)Có $\frac{2x+2xy^{2}}{1-x^{2}y^{2}}:\frac{1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}}{1-x^{2}y^{2}}$

$=\frac{2x+2xy^{2}}{1-x^{2}y^{2}}\cdot \frac{1-x^{2}y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}}$

$=\frac{2x(1+y^{2})}{1+x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}}$

$=\frac{2x}{1+x^{2}}$

c) Có $P=1-\frac{(1-x)^{2}}{1+x^{2}}$

$=\frac{1+x^{2}-1+2x-x^{2}}{1+x^{2}}$

$=\frac{2x}{1+x^{2}}=P$

d) $1-\frac{(1-x)^{2}}{1+x^{2}}=1$

$=> \frac{(1-x)^{2}}{1+x^{2}}=0$

$=> (1-x)^{2}=0$

$=> 1-2x+x^{2}=0$

$=> x=1$

Bài tập 6 trang 135 Toán 8 tập 2 KNTT. Bảng giá cước của một hãng taxi như sau

a) Tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 35 km

b) Lập công thức tính số tiền taxi y (đồng) phải trả khi di chuyển x kilômét, với 1 < x  ≤ 30. Từ đó tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 30 km

c) Nếu một người phải trả số tiền taxi là 268 400 đồng, hãy tính quãng đường người đó đã di chuyển bằng taxi

Hướng dẫn giải

a) Số tiền taxi phải trả khi di chuyển 35 km là: $10 000+13 600.29+11 000.5=459 400$ (đồng)

b) Công thức: $10 000+13 600.(x-1)$

Số tiền taxi phải trả khi di chuyển 30 km là: $10 000+13 600.(30-1)=404400$ (đồng)

c) Có $10 000+13 600.(x-1)=268400$

$10000+13 600x-13 600=268400$

$x=20$

Vậy quãng đường người đó đã di chuyển là 20 km

Bài tập 7 trang 136 Toán 8 tập 2 KNTT. Với giá trị nào của m, đường thẳng $y=mx+1$ ($m\neq 0$)

a) Song song với đường thẳng $y=3x$

b) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2

c) Đồng quy với các đường thẳng $y=5x-2$ và $y=-x+4$ (tức là ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm) Với giá trị m tìm được, hãy vẽ ba đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ để kiểm nghiệm kết quả

Hướng dẫn giải

a) Hai đường thẳng cắt nhau khi $a=a'$ => $m=3$

b) Đường thẳng $y=mx+1$ cắt trục hoành có hoành độ bằng -2

$0=2m+1$ => $m=\frac{-1}{2}$

c) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=-x+4$ và $y=5x-2$ là

$5x-2=-x+4$

$6x=6$

$x=1$

Thay $x=1$ vào đường thẳng $y=5x-2$, có

$y=5.1-2$ => $y=3$

Thay$ x=1, y=3$ vào đường thẳng $y=mx+1$ có

$3=m+1$ => $m=2$

 Bài tập 8 trang 136 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi H là trung điểm của OB, K là trung điểm của OD

a) Hỏi tứ giác AHCK là hình gì

b) Hình bình hành ABCD phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AHCK là:

- Một hình thoi

- Một hình chữ nhật

- Một hình vuông

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác AHCK là hình bình hành

b) Để tứ giác AHCK là một hình thoi thì hình bình hành ABCD phải là hình thoi

Để tứ giác AHCK là một hình chữ nhật thì hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật

Để tứ giác AHCK là một vuông thì hình bình hành ABCD phải là hình vuông

Bài tập 9 trang 136 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến AF, BE và CD cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của BG và CG

a) Chứng minh rằng tứ giác DEKI là hình bình hành

b) Biết AF = 6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng DI và EK

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

D là đường trung tuyến của AB

E là đường trung tuyến của AC

=> DE là đường trung bình của tam giác ABC

=> DE // BC (1)

Tương tự, có IK là đường trung bình của tam giác GBC

=> IK // BC (2)

=> DE // IK (3)

- Có ID là đường trung bình của tam giác ABG => ID // AG

       EK là đường trung bình của tam giác ACG => EK // AG

=> ID // EK (4)

Từ (3) và (4) => DEIK là hình bình hành

b) Có điểm G là trọng tâm của tam giác ABC => $AG=\frac{2}{3}AF$ => AG = 4cm

=> $DI = EK=\frac{1}{2}AG=2$ cm

Bài tập 10 trang 136 Toán 8 tập 2 KNTT. Hình sau mô tả một dụng cụ đo bề dày (nhỏ hơn 1cm) của số sản phẩm. Dụng cụ này gồm một thướng AC = 10 cm, có vạch chia đến 1 mm, gắn với một bản kim loại có cạnh thẳng AB sao cho khoảng cách BC = 1cm

Muốn đo bề dày của vật, ta kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước (đáy của vật áp vào bề mặt của thước AC). Khhi đó trên thước ta đọc đường "bề dày" d của vật (trên hình vẽ ta có d = 5,5mm). Hãy giả thích tại sao với dụng cụ đó, ta có thể đo được bề dày d của các vật (với d < 10 mm)

Hướng dẫn giải

Dụng cụ trên đã dùng tính chất hai tam giác đồng dạng thì các cạnh tương ứng tỉ lệ

Bài tập 11 trang 136 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng

a) ΔBIC ~ ΔEIF

b) $FB^{2}=FI.FC$

c) Cho biết AB = 6cm, BC = 3 cm. Tính EF

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC là tam giác cân

=> Hai đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC

Bài tập 12 trang 137 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông, có các đường cao BE, CF cắt nhau tại điểm H

a) Giả sử ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng ΔABE ~ ΔACF , từ đó suy ra ΔAEF ~ ΔABC

b) Cho biết AB = 10 cm, BC = 15 cm và BE = 8 cm. Tính EF 

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác vuông ABE (vuông tại E) và tam giác vuông ACF (vuông tại F) có góc A chung => ΔABE ~ ΔACF

=> $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$

Xét tam giác AEF và tam giác ABC có: A chung và $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$

=> ΔAEF ~ ΔABC (c.g.c)

b) Xét tam giác vuông AEB có 

=> $AE^{2}=AB^{2}-BE^{2}$

=> $AE^{2}=10^{2}-8^{2}$

=> $AE=6$ cm

Vì ΔAEF ~ ΔABC 

=> $\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$

=> $\frac{6}{10}=\frac{EF}{15}$

=> $EF=9$ cm

Bài tập 13 trang 137 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho bảng thống kê sau: 

Để so sánh số lượng học sinh ở mỗi mức xếp loại của hai lớp ta nên dùng biểu đồ nào. 

Hướng dẫn giải

Dùng biểu đồ cột

Bài tập 14 trang 137 Toán 8 tập 2 KNTT: Báo điện tử Vnexpress đã khảo sát ý kiến của bạn đọc về phương án xử lý cầu Long Biên với câu hỏi "Bạn ủng hộ phương án xử lý nào với cầu Long Biên". Người trả lời chỉ được chọn một trong ba phương án: "Bảo tồn", "Vừa bảo tồn vừa sử dụng", "Di dời, xây cầy mới"

a) Dữ liệu thu được thuộc loại nào?

b) Tỉ lệ lựa chọn các phương án được chọn trong biểu đồ sau:

Biết tổng số lượt bạn đọc tham gia trả lời câu hỏi là 1 819. Tính số lượt đọc lựa chọn mỗi phương án

Hướng dẫn giải

Số lượt bạn đọc lựa chọn bảo tồn: 618

Số lượt bạn đọc lựa chọn di dời, xây cầu mới: 218

Số lượt bạn đọc vừa bảo tồn vừa sử dụng: 982

Bài tập 15 trang 137 Toán 8 tập 2 KNTT. Một túi đựng 24 viên bi giống hệt nhau và chỉ khác màu, trong đó có 9 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng và 5 viên bi màu đen. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi

a) Có bao nhiêu kết quả có thể? Các kết quả có thể này đồng khả năng không? Tại sao

b) Tính khả năng để xảy ra mỗi kết quả có thể đó

c) Tính xác suất để An lấy được:

- Viên bi màu vàng hoặc màu đỏ

- Viên bi màu đen hoặc màu xanh

- Viên bi không có màu đen

Hướng dẫn giải

Có 24 kết quả có thể của hành động trên. Do viên bi giống nhau nên 24 kết quả là đồng khả năng

Xác suất để An lấy được viên màu đỏ hoặc màu vàng là:  $\frac{13}{24}$

Xác suất để An lấy được viên màu đen hoặc màu xanh là:  $\frac{11}{24}$

Xác suất để An lấy được viên không có màu đen là:  $\frac{19}{24}$

=> EF // BC

=> $\widehat{IBC}=\widehat{IEF}$, $\widehat{ICB}=\widehat{IFE}$ (hai góc so le trong) 

=> ΔBIC ~ ΔEIF (g.g)

b) Vì tam giác ABC cân tại A

=> $\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\widehat{ACF}=\widehat{FCB}$

Xét tam giác FBI và tam giác FCB có góc F chung, $\widehat{FBI}=\widehat{FCB}

=> ΔFBI ~ ΔFCB (g.g)

=> $\frac{FB}{FC}=\frac{FI}{FB}$

=> $FB^{2}=FI.FC$

c) Có EF = 1/2BC => $EF = \frac{3}{2}$