Giải sách bài tập Toán 8 kết nối bài: Bài tập ôn tập cuối năm

ĐẠI SỐ

Bài tập 1 toán 8 tập 2 KNTT trang 81: Biết rằng hai đa thức A và B thỏa mãn các đièu kiện sau:

$A \cdot (-0,5x^{2}y) = -6x^{2}y^{3} + x^{3}y^{2} + 3x^{2}y - 2x^{4}y $

$A +B = 9y^{2} + 4x^{2} - 6$

a) Tìm các đa thức A và B, xác định bậc của mỗi đa thức đó.

b) Tính giá trị của B tại x = 3; y = 2.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: 

$A = (-6x^{2}y^{3} + x^{3}y^{2} + 3x^{2}y - 2x^{4}y) \div (-0,5x^{2}y)$

= $12y^{2} – 2xy – 6 +4x^{2}$

Vậy A là đa thức bậc hai.

$B = (9y^{2} + 4x^{2} – 6) – A$

= $(9y^{2} + 4x^{2} – 6) – (12y^{2} – 2xy – 6 +4x^{2})$

= $-3y^{2} +2xy$

Vậy B là đa thức bậc hai.

b) Tại x = 3; y = 2 ta có: 

$B = -3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 2 = 0$

Bài tập 2 toán 8 tập 2 KNTT trang 81: Cho các đa thức 

A = $27x^{3}y^{6} - \frac{1}{8}y^{3}$

B = $9x^{2}y^{4} + \frac{3}{2}xy^{3} + \frac{1}{4}y^{2}$

C = $3xy^{2} - \frac{1}{2}y$

Chứng minh A : B = C

Hướng dẫn trả lời:

Từ giả thiết A : B = C, suy ra A = $B \cdot C$. Ta có:

$B \cdot C = (9x^{2}y^{4} + \frac{3}{2}xy^{3} + \frac{1}{4}y^{2})(3xy^{2} - \frac{1}{2}y)$

= $9x^{2}y^{4}(3xy^{2} - \frac{1}{2}y) + \frac{3}{2}xy^{3}(3xy^{2} - \frac{1}{2}y) + \frac{1}{4}y^{2}(3xy^{2} - \frac{1}{2}y)$

= $27x^{3}y^{6} - \frac{9}{2}x^{2}y^{5} + \frac{9}{2}x^{2}y^{5} - \frac{3}{4}xy^{4} + \frac{3}{4}xy^{4} - \frac{1}{8}y^{3}$

= $27 x^{3}y^{6} - \frac{1}{8}y^{3}$

= A (điều phải chứng minh)

Bài tập 3 toán 8 tập 2 KNTT trang 81: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x. 

M = $(3x – 2)^{2} - (3x + 2)^{2} + (x + 2)^{3} + (x – 2)^{3} -2x^{3}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: M =  $(3x – 2)^{2} - (3x + 2)^{2} + (x + 2)^{3} + (x – 2)^{3} -2x^{3}$

= $(9x^{2}-12x+4) – (9x^{2}+12x+4) + (x^{3} +6x^{2}+12x+8) +(x^{3}-6x^{2}+12x-8) – 2x^{3}$ = 0

Vậy giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài tập 4 toán 8 tập 2 KNTT trang 81: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{3} + y^{3} + 5x + 5y$

b) $16x^{2} + 8xy + y^{2} - 4x^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $x^{3} + y^{3} + 5x + 5y = (x+y)(x^{2} –xy+y^{2}) + 5(x+y)$

= $(x+y)(x^{2} –xy+y^{2}+5)$

b) $16x^{2} + 8xy + y^{2} - 4x^{2}$

= 8x(2x+y) + (y-2x)(y+2x)

= (2x+y)(8x+y-2x)

= (2x+y)(6x+y)

Bài tập 5 toán 8 tập 2 KNTT trang 81: Thực hiện các phép tính sau: 

a) $\frac{2x+4}{x+3} + \frac{3}{x} - \frac{6}{x^{2}+3x}$

b) $\frac{x^{2}-3x+4}{x^{2}+x} \div \frac{x^{2}-x-12}{x^{2}-x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{2x+4}{x+3} + \frac{3}{x} - \frac{6}{x^{2}+3x}$

= $\frac{(2x+4)x}{(x+3)x} + \frac{3(x+3)}{x(x+3)} - \frac{6}{x(x+3)}$

= $\frac{(2x^{2}+4x) + (3x+9) -6}{x(x+3)}$ 

= $\frac{2x^{2}+7x+3}{x(x+3)}$  

= $\frac{(2x^{2}+6x) + (x+3)}{x(x+3)}$

= $\frac{(x+3)(2x+1)}{x(x+3)}$

= $\frac{2x+1}{x}$

b) $\frac{x^{2}-3x+4}{x^{2}+x} \div \frac{x^{2}-x-12}{x^{2}-x}$

= $\frac{ x^{2}-3x+4}{ x^{2}+x} \cdot \frac{ x^{2}-x }{ x^{2}-x-12}$

= $\frac{(x-4)(x+1)}{x(x+1)} \cdot \frac{x(x-1)}{(x+3)(x-4)}$

= $\frac{x-1}{x+3}$

Bài tập 6 toán 8 tập 2 KNTT trang 81: Cho phân thức đại số 

P = $\frac{x^{3}+8}{x^{2}-4}$

a) Tìm điều kiện xác định của phân thức.

b) Rút gọn phân thức đã cho.

c) Sử dụng kết quả câu b), tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của phân thức P đã cho là số nguyên.

Hướng dẫn trả lời:

a) Điều kiện xác định của phân thức: $x^{2} -4 \neq 0$ hay $x^{2} \neq 4$ hay $x \neq \pm2$

b) Ta có: P = $\frac{x^{3}+8}{x^{2}-4}$

= $\frac{(x+2)(x^{2}-2x+4)}{(x-2)(x+2)}$

= $\frac{x^{2}-2x+4}{x-2}$

= $\frac{x(x-2)+4}{x-2}$

= $x + \frac{4}{x-2}$

c) Ta có: P = $x + \frac{4}{x-2}$

Khi x nguyên, để P nhận giá trị nguyên thì (x-2) phải là ước của  4, tức là 

$(x-2) \in {-4; -2; -1; 1; 2; 4}$

Suy ra $x \in {-2; 0; 1; 3; 4; 6}$

Đối chiếu với điều kiện xác định, giá trị x = -2 bị loại vì không thõa mãn điều kiện xác định.

Vậy $x \in {0; 1; 3; 4; 6}$

Bài tập 7 toán 8 tập 2 KNTT trang 81: Quãng đường AC gồm hai đoạn AB và BC. Đoạn BC dài hơn đoạn AB là 60 km. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h, rồi tiếp tục đi từ B đến C với vận tốc 60 km/h. Tính quãng đường AC biết thời gian đi trên đoạn đường AB ít hơn thời gian đi trên đoạn đường BC là 1 giờ 30 phút. 

Hướng dẫn trả lời:

Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.

Gọi x (km) là chiều dài quãng đường AB. Điều kiện: x>0.

Khi đó chiều dài quãng đường BC là (x + 60) (km). 

Theo bài ra ta có phương trình: $\frac{x+60}{50} - \frac{x}{60} = 1,5$

Giải phương trình này ta được x = 90 (thoả mãn điều kiện của ẩn). 

Khi đó quãng đường BC là 90 + 60 = 150 (km). 

Vậy quãng đường AC là 90 + 150 = 240 (km).

Bài tập 8 toán 8 tập 2 KNTT trang 81: Cho hàm số y = (3m + 1)x – 2m

a) Tìm điều kiện của m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

b) Tìm m để đồ thị hàm sô đã cho là đường thẳng sóng song với đường thẳng 

y = -2x+5

c) Với m tìm được ở câu b), hãy vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi $3m +1 \neq 0$, 

tức là $m \neq -\frac{1}{3}$

b) Đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng song song với đường thẳng y = −2x+5 khi 3m+1= −2 và $–2m \neq 5$, tức là khi m=−1.

c) Với m = −1 ta có hàm số bậc nhất y =−2x +2. 

Đồ thị hàm số y =−2x +2 có dạng như hình vẽ.

HÌNH HỌC

Bài tập 9 toán 8 tập 2 KNTT trang 82: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Từ M kẻ đường thẳng song song với BP, đường thẳng này cắt NP tại K.

a) Tứ giác AMNP là hình gì?

b) Chứng minh tứ giác BMKP là hình bình hành

c) Chứng minh tứ giác ANCK là hình thoi.

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANCK là hình vuông

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AC. 

Tương tự, NP // AB. 

Tứ giác AMNP có hai cặp cạnh đối song song nên AMNP là hình bình hành.

Mặt khác, do $\widehat{MAP} = 90^{o}$ nên AMNP là hình chữ nhật.

b) b) Vì NP // BM nên PK // BM. Mặt khác, MK // BP (giả thiết). 

Do đó BMKP là hình bình hành.

c) Ta có NP là đường trung bình của tam giác ABC. 

Do đó NP = $\frac{1}{2}AB$ = BM

Suy ra NP = PK ( vì PK = BM do BMKP là hình bình hành)

Do NP // AB mà $AB \bot AC$ nên $NP \bot AC$ tại P. 

BMKP là hình bình hành suy ra BM = KP, mà NP = BM = $\frac{AB}{2}$ nên NP=KP

Suy ra P là trung điểm của NK. 

Tứ giác ANCK có NK là đường trung trực của AC, AC là trung trực của NK

Suy ra ANCK là hình thoi.

d) Để ANCK là hình vuông thì điều kiện là AC = NK. Mà NK = 2NP = 2BM = AB, nên ANCK là hình vuông khi AC = AB hay tam giác ABC vuông cân đỉnh A.

Bài tập 10 toán 8 tập 2 KNTT trang 82: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống các cạnh AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) EF = AH

b) $AM \bot EF$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên là hình chữ chữ nhật. Suy ra EF = AH

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo EF và AH của hình chữ nhật AEHF. 

Ta có: OA = OH = OE = OF

Suy ra $\widehat{AEO} = \widehat{EAO}$ (1)

Tam giác vuông ABC có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên MA = MB = MC

Suy ra tam giác AMC cân, suy ra $\widehat{CAM} = \widehat{ACM}$ (2)

Lại có $\widehat{EAO} = \widehat{ACB}$ (3) (cùng phụ với góc B của tam giác ABC)

Gọi K là giao điểm của AM và EF ta có

$\widehat{AFE} = \widehat{AEF} = 90^{o}$

Nên $\widehat{AFE} = \widehat{CAM} = 90^{o}$

Suy ra $\widehat{AKF} = 90^{o}$ hay $AM \bot EF$

Bài tập 11 toán 8 tập 2 KNTT trang 82: Cho tam giác ABC. Giả sử M là điểm trên cạnh AB sao cho $\frac{MB}{MA}=\frac{1}{3}$, N là điểm trên cạnh BC sao cho $\frac{NB}{NC}=\frac{1}{3}$.

a) Chứng minh MN // AC và $MN=\frac{1}{4}AC$

b) Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh:

$\frac{KN}{KA} = \frac{KM}{KC} = \frac{1}{4}$

c) Nếu thay điều kiện $\frac{MB}{MA}=\frac{1}{3}$ và $\frac{NB}{NC}=\frac{1}{3}$ bằng điều kiện CM là phân giác của góc C, AN là phân giác của góc A thì tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để MN // AC?

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{MB}{MA} = \frac{NB}{NC} = \frac{1}{3}$ nên MN // AC.

Suy ra $\frac{MN}{AC} = \frac{MB}{AB} = \frac{1}{4}$. 

Vậy MN = $\frac{1}{4}$AC

b) Vì MN // AC nên 

$\frac{KN}{KA} = \frac{KM}{KC} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{4}$

c) Nếu MN // AC thì $\frac{NB}{NC} = \frac{MB}{MA}$ (1)

AN là phân giác của góc A nên $\frac{NB}{NC} = \frac{AB}{AC}$ (2)

CM là phân giác của góc C nên $\frac{MB}{MA} = \frac{BC}{AC}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AC}$ hay AB = BC.

Vậy tam giác ABC cân tại B.

Đảo lại, nếu tam giác ABC cân tại B, AN là phân giác của góc A, CM là phân giác của góc C thì suy ra MN // AC.

Vậy để MN // AC thì điều kiện là tam giác ABC cân tại B.

Bài tập 12 toán 8 tập 2 KNTT trang 82: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy các điểm E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) $AE \cdot AB = AF \cdot AC$

b) $\Delta ADE$ ∽ $\Delta AHC$ và $\Delta ANF$ ∽ $\Delta AMB$

Hướng dẫn trả lời:

a) Hai tam giác vuông AHE (vuông tại E) và ABH (vuông tại H) có 

$\widehat{A}$ chung

Suy ra $\Delta AHE$ ∽ $\Delta ABH$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\frac{AH}{AE} = \frac{AB}{AH}$ hay $AH^{2} = AB \cdot AE$

Hai tam giác vuông AHF (vuông tại F) và ACH (vuông tại H) có 

$\widehat{A}$ chung

Suy ra $\Delta AHF$ ∽ $\Delta ACH$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\frac{AH}{AF} = \frac{AC}{AH}$ hay $AH^{2} = AF \cdot AC$

Từ đó suy ra $AB \cdot AE = AC \cdot AF$

b) Từ $AB \cdot AE = AC \cdot AF$ suy ra $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}$

Hai tam giác AEF và ACB có 

$\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}$ (cmt)

$\widehat{EAF} = \widehat{CAB}$ (góc chung)

Suy ra $\Delta AEF$ ∽ $\Delta ACB$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AEF} = \widehat{ACB}$; $\widehat{AFE} = \widehat{ABC}$

Hai tam giác vuông ADE (vuông tại D) và AHC (vuông tại H) có 

$\widehat{AED} = \widehat{AEF} = \widehat{ACB} = \widehat{ACH}$ (cmt)

Suy ra $\Delta ADE$ ∽ $\Delta AHC$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\widehat{EAD} = \widehat{CAH}$

Do đó $\widehat{NAF} = \widehat{CAH} = \widehat{EAD} = \widehat{MAB}$

Hai tam giác ANF và AMB có 

$\widehat{NAF} = \widehat{MAB}$

$\widehat{AFN} = \widehat{AFE} = \widehat{ABC} = \widehat{ABM}$

Suy ra $\Delta ANF$ ∽ $\Delta AMB$ (g.g)

Bài tập 13 toán 8 tập 2 KNTT trang 82: Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 2 cm. Lấy các điểm EF trên các cạnh AB, AC sao cho DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh rằng $\Delta BDE$ ∽ $\Delta DCF$

b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 25$

Suy ra theo định lí Pythagore đảo thì tam giác ABC vuông tại A. 

Hai tam giác vuông BDE (vuông tại E) và DCF (vuông tại F) có 

$\widehat{EBD} = \widehat{CBA} = 90^{o} - \widehat{ABC} = 90^{o} - \widehat{FCD} = \widehat{FDC}$ 

Suy ra $\Delta BDE$ ∽ $\Delta DCF$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

b) Do DE // AC (cùng vuông góc với AB) nên $\Delta BDE$ ∽ $\Delta BCA$

Do đó $\frac{DE}{CA} = \frac{BD}{BC} = \frac{2}{5}$

Suy ra $DE = \frac{2}{5}AC = \frac{8}{5}$ cm

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác BDE vuông tại E, ta có

$BE^{2} = BD^{2} - AC^{2} = 2^{2} – (\frac{8}{5})^{2} = \frac{36}{25}$

Suy ra BE = $\frac{6}{5}$ cm

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ADE vuông tại E, ta có

$AD^{2} = DE^{2} + AE^{2} = \frac{64}{25} + \frac{81}{25} = \frac{29}{5}$

Suy ra AD = $\sqrt{\frac{29}{5}}$ cm

Bài tập 14 toán 8 tập 2 KNTT trang 82: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 10 cm, cạnh bên SD = 15 cm. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh $SO \bot MN$. Từ đó tính độ dài đường cao SO của hình chóp.

b) Tính thể tích của hình chóp.

c) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác cân bằng nhau nên các đường trung tuyến tương ứng của chúng bằng nhau, tức là SM = SN. 

Tam giác SMN là tam giác cân đỉnh S và O là trung điểm của MN nên $SO \bot MN$.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC (vuông tại B), ta có:

$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}+AC^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{10^{2}+10^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{200} = 5\sqrt{2}$ (cm)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông SOA (vuông tại O), ta có:

$SO = \sqrt{SA^{2} – AO^{2}} = \sqrt{15^{2} – (5\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{175}= 5\sqrt{7}$ (cm)

b) Thể tích của hình chóp đều S.ABCD là: 

$V = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot 5\sqrt{7} \cdot 10^{2} = \frac{500\sqrt{7}}{3}$ ($cm^{3}$)

c) Áp dụng định lí Pythagore ta có:

$SM = \sqrt{SA^{2} – AM^{2}} = \sqrt{15^{2} – 5^{2}} = \sqrt{200}= 10\sqrt{2}$ (cm)

Nửa chu vi đáy ABCD là p = 20 cm

Diện tích xung quanh của hình chóp là

$S_{xq} = p \cdot SM = 10\sqrt{2} \cdot 20 = 200\sqrt{2}$ ($cm^{2}$)

Diện tích đáy của hình chóp là $10^{2} = 100$ ($cm^{2}$). 

Diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD là

$S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = 200\sqrt{2} + 100 = 100(2\sqrt{2} + 1) $ ($cm^{2}$)

THỐNG KÊ – XÁC SUẤT 

Bài tập 15 toán 8 tập 2 KNTT trang 83: Khảo sát trên 1200 người trẻ tuổi ở Việt Nam với câu hỏi "Bạn sử dụng nguồn thông tin nào cho các vấn đề hiện tại?" với các lựa chọn Mạng xã hội, Internet, Ti vi, Bạn bè, Báo chí, Gia đình, Đài phát thanh, Giáo viên, Thành viên cộng đồng cho kết quả như sau:

Theo: Báo cáo nghiên cứu thế hệ trẻ Việt Nam của Hội đồng Anh, tháng 8 - 2020. 

a) Dữ liệu nhóm khảo sát thu được từ câu hỏi trên thuộc loại nào?

b) Lựa chọn và vẽ biểu đồ biểu diễn dữ liệu trong bảng thống kê trên.

c) Tính tổng số lượng lựa chọn T cho các loại nguồn thông tin. Giải thích tại sao T > 1200.

Hướng dẫn trả lời:

a) Dữ liệu thu được là dữ liệu không là số, không thể sắp thứ tự.

b) Dùng biểu đồ cột để biểu diễn. Biểu đồ các dạng như sau:

c) Số người chọn qua mạng xã hội là: $1200 \cdot 73$% $= 876$ 

Số người chọn qua Intemet là: $1200 \cdot  69$% $= 828$

Số người chọn qua ti vi là: $1200 \cdot 59$% $= 708$

Số người chọn qua bạn bè là: $1200 \cdot 50$% $= 600$

Số người chọn qua báo chí là: $1200 \cdot 43$% $= 516$

Số người chọn qua gia đình là: $1200 \cdot 39$% $= 468$

Số người chọn qua đài phát thanh là: $1200 \cdot 25$% $= 300$

Số người chọn qua giáo viên là: $1200 \cdot 16$% $= 192$ 

Số người chọn thành viên cộng đồng là: $1200 \cdot 16$% $= 192$

Tổng số lựa chọn là

T = 876 +828 + 708 + 600 + 516 + 468 + 300+ 192+ 192 = 4680. 

Ta có T > 1200 vì một người có thể đưa ra nhiều lựa chọn.

Bài tập 16 toán 8 tập 2 KNTT trang 83: Một túi đựng 24 viên bi giống hệt nhau chỉ khác màu, với 9 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng và 5 viên bi màu đen. Bạn Mai rút ngẫu nhiên một viên bi từ túi.

a) Có bao nhiêu kết quả có thể?

b) Chứng tỏ rằng các kết quả có thể không đồng khả năng. Tính xác suất để xảy ra mỗi kết quả có thể đó.

c) Tính xác suất để rút được viên bi màu đỏ hoặc màu vàng. 

d) Tính xác suất để rút được viên bi không có màu đen.

Hướng dẫn trả lời:

a) Có 24 viên bi giống hệt nhau chỉ khác màu với bốn màu: màu đỏ, màu xanh, màu vàng, màu đen. Do đó, có bốn kết quả có thể là: Rút được viên bị màu đỏ; Rút được viên bi màu xanh; Rút được viên bi màu vàng và Rút được viên bi màu đen

b) Do Mai rút ngẫu nhiên một viên bi từ trong hộp có 24 viên bị nên có 24 kết quả đồng khả năng. 

Gọi A là biến cố “Rút được viên bi màu đỏ”. Có 9 viên bị màu đỏ nên có 9 kết quả thuận lợi cho A. 

Vậy P(A) = $\frac{9}{24} = \frac{3}{8}$

Gọi B là biến cố “Rút được viên bi màu xanh”. Có 6 viên bị màu xanh nên có 6 kết quả thuận lợi cho B. 

Vậy P(B) = $\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Gọi C là biến cố “Rút được viên bi màu vàng”. Có 4 viên bị màu vàng nên có 4 kết quả thuận lợi cho C.

Vậy P(C) = $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$

Gọi D là biến cố “Rút được viên bi màu đen”. Có 5 viên bị màu đen nên có 5 kết quả thuận lợi cho D

Vậy P(D) = $\frac{5}{24}$

c) Gọi E là biến cố “Rút được viên bi màu đỏ hoặc màu vàng”. 

Có 9 + 4 = 13 viên bi màu đỏ hoặc màu vàng nên có 13 kết quả thuận lợi cho E. 

Vậy P(E) = $\frac{13}{24}$

d) Gọi F là biến cố “Rút được viên bi không có màu đen”. 

Có 9 + 6 + 4 = 19 viên bi không có màu đen. 

Vậy P(F) = $\frac{19}{24}$.