Giải sách bài tập Toán 8 kết nối bài 35: Định lý Pythagore và ứng dụng

Bài tập 9.31 toán 8 tập 2 KNTT trang 59: Cho tam giác ABC vuông tại A. Khẳng định nào sau đây là đúng?

(1) $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$

(2) $AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$

(3) $AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$

(4) AB + BC = AC

(5) AB + AC = BC

(6) AC + BC = AB

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có

$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$

Vậy câu (2) đúng, các câu còn lại sai.

Bài tập 9.32 toán 8 tập 2 KNTT trang 59: Những bộ ba số đo nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?

(1) 1 cm, 1 cm, 2 cm

(2) 1 cm, 1 cm, $\sqrt{2}$ cm

(3) 2 cm, 4 cm, 20 cm

(4) 2 cm, 4 cm, $\sqrt{20}$ cm

(5) 3 cm, 4 cm, 5 cm

(6) 9 cm, 16 cm, 25 cm

Hướng dẫn trả lời:

Các bộ 3 trong (2), (4), (5) viết được theo dạng $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Nên theo định lí Pythagore đảo suy ra các bộ 3 này là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Các bộ 3 còn lại không phải là độ dài ba cạnh của bất kì tam giác vuông nào.

Bài tập 9.33 toán 8 tập 2 KNTT trang 59: Tính các độ dài x, y, z, t trong Hình 9.8.

Hướng dẫn trả lời:

Với x, y, z, t > 0. Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông ta có:

$x^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 13$ suy ra $x = \sqrt{13}$

$2^{2} + y^{2} = (2\sqrt{5})^{2} = 20$ suy ra y = 4

$z^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10$ suy ra $z = \sqrt{10}$

$t^{2} + 5^{2} = (\sqrt{29})^{2} = 29$ suy ra t = 2

Bài tập 9.34 toán 8 tập 2 KNTT trang 59: Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A có đường cao AH. Biết rằng AB = 4 cm, hãy tính độ dài cạnh đáy BC và chiều cao AH.

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 4^{2} + 4^{2} = 32$

Suy ra BC = $4\sqrt{2}$ cm

Hai tam giác vuông BHA (vuông tại H) và BAC (vuông tại A) có 

$\widehat{B}$ chung

Suy ra $\Delta BHA$ ∽ $\Delta BAC$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\frac{BA}{BC} = \frac{HA}{AC}$ hay 

$AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{4 \cdot 4}{4\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ (cm)

Bài tập 9.35 toán 8 tập 2 KNTT trang 60: Hãy tính độ dài các cạnh của một hình thoi với hai đường chéo lần lượt có độ dài bằng 6 cm và 8 cm.

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử hình thoi đã cho là ABCD có hai đường chéo AC = 6 cm, BD = 8 cm.

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó OAB là tam giác vuông, ta có:

$OA = \frac{AC}{2} = 3$ (cm)

$OB = \frac{BD}{2} = 4$ (cm)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAB vuông tại O, ta có

$AB^{2} = OA^{2} + OB^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$

Suy ra AB = 5 cm

Bài tập 9.36 toán 8 tập 2 KNTT trang 60: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A, có BC = 26 cm và $\frac{AB}{AC} = \frac{5}{12}$ = Tính độ dài các cạnh AB, AC.

Hướng dẫn trả lời:

Từ giả thiết, ta có $AB = \frac{5}{12}AC$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = (\frac{5^{2}}{12^{2}} + 1)AC^{2} = \frac{169}{144}AC^{2}$

Suy ra $BC = \frac{13}{12}AC$ hay $AC = \frac{12}{13}BC = 24$ (cm)

Bài tập 9.37 toán 8 tập 2 KNTT trang 60: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi AD là đường cao của tam giác. Biết rằng BD = 2 cm, CD = 8 cm. Hãy tính độ dài các cạnh AB, AC và chiều cao AD của tam giác ABC.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có BC = BD + CD = 10 (cm)

Hai tam giác vuông BAD (vuông tại D) và BCA (vuông tại A) có

$\widehat{B}$ chung

Suy ra $\Delta BAD$ ∽ $\Delta BCA$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\frac{BA}{BC} = \frac{BD}{BA}$ hay 

$AB^{2} = BD \cdot BC = 20$

Vậy $AB = 2\sqrt{5}$ cm

Bài tập 9.38 toán 8 tập 2 KNTT trang 60: Tìm độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông biết rằng tỉ số của độ dài hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và chu vi tam giác bằng 48 cm.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi c là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông. 

Giả sử hai cạnh góc vuông có độ dài là a và b thoả mãn 

$\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ hay $a = \frac{3}{4}b$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông này, ta được: 

$c^{2} = a^{2} + b^{2} = (\frac{3^{2}}{4^{2}} + 1)b^{2} = \frac{25}{16}b^{2}$

Suy ra $c = \frac{5}{4}b$

Từ giả thiết, ta có a+b+c=48 (cm), hay $\frac{3}{4}b + b + \frac{5}{4}b = 48$ (cm)

Suy ra b=16 (cm). 

Do vậy $c = \frac{5}{4}b = 20$ (cm).

Bài tập 9.39 toán 8 tập 2 KNTT trang 60: Tính diện tích của một tam giác cân, biết rằng tam giác đó có hai cạnh với độ dài bằng 4 cm và 8 cm.

Hướng dẫn trả lời:

Vì tam giác cân có hai cạnh là 4 cm và 8 cm nên độ dài ba cạnh của tam giác đó phải là 4 cm, 8 cm, 8 cm.

Ta gọi tam giác đó là ABC với AB=AC=8 cm và BC = 4 cm. 

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. Khi đó H là trung điểm của BC.

Do vậy BH = CH = $\frac{BC}{2}$ = 2 (cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHB vuông tại H, ta được:

$AH^{2} = AB^{2} - BH^{2} = 60$ hay AH = $2\sqrt{5}$ cm

Tam giác đã cho có diện tích là $\frac{AH \cdot BC}{2} = 4\sqrt{15}$ ($cm^{2}$).

Bài tập 9.40 toán 8 tập 2 KNTT trang 60: Tính chiều cao và diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng 4 cm.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi tam giác đã cho là tam giác ABC với AB=AC=BC=4 cm và có đường cao AH. Vì H là trung điểm của BC nên BH = CH = $\frac{BC}{2}$ = 2 (cm). 

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABH vuông tại H, ta được: 

$AH^{2} = AB^{2} - BH^{2}$ = 12. 

Suy ra, chiều cao của tam giác ABC là AH = $2\sqrt{3}$ cm.

Vậy tam giác ABC có diện tích là: $\frac{AH \cdot BC}{2} = 4\sqrt{3}$ ($cm^{2}$).

Bài tập 9.41 toán 8 tập 2 KNTT trang 60: Một chiếc ti vi màn hình phẳng 32 inch với chiều ngang màn hình là 72 cm (1 inch = 2,54 cm). Tính chiều cao của màn hình ti vi đó.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi chiều cao màn hình ti vi là h (cm). Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông với hai cạnh góc vuông là hai cạnh của màn hình chiếc ti vi. 

Khi đó, cạnh huyền của tam giác vuông này có độ dài bằng: 

$32 \cdot 2,54 = 81,28$ (cm)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông trên, ta được: 

$h^{2} = (81,28)^{2} – 72^{2} = 1422,4384$. 

Suy ra h = 37,72 cm.