Giải sách bài tập Toán 8 kết nối bài: Bài tập cuối chương VI

A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 toán 8 tập 2 KNTT trang 14: Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số?

A. 2x+1

B. $\sqrt{5}$

C. $\pi$

D. $\sqrt{x}$

Hướng dẫn trả lời: D

Câu 2 toán 8 tập 2 KNTT trang 14: Phân thức nào sau đây bằng phân thức 

$ \frac{16x^{4}-1}{12x^{3}-3x}$

A. $ \frac{4x^{2}-1}{3x}$

B. $ \frac{4x^{2}+1}{3x}$

C. $ \frac{4x^{2}-1}{4x-3}$

D. $ \frac{4x^{2}+1}{4-3x}$

Hướng dẫn trả lời: B 

Câu 3 toán 8 tập 2 KNTT trang 14: Đa thức nào sau đây không thể chọn làm mẫu thức chung của hai phân thức $ \frac{x}{3(x^{2}-1)(x+2)}$ và $ \frac{x^{3}-x+1}{(x^{2}-4)(x^{3}+1)}$

A. $ 3(x^{2}-1)(x^{2}-4)(x^{2}-x+1)$

B. $ 3(x^{2}-1)(x^{2}-4)(x^{3}+1)$

C. $ 3(x^{2}-1)(x^{2}-4)(x^{2}+x+1)$

D. $ 3(x^{4}-1)(x^{6}-1)(x^{6}-64)$

Hướng dẫn trả lời: C

Câu 4 toán 8 tập 2 KNTT trang 14: Giá trị của phân thức $ \frac{8x-4}{8x^{3}-1}$ tại x=-0,5 là

A. 4

B. -4

C. 0,25

D. -0,25

Hướng dẫn trả lời: A

Câu 5 toán 8 tập 2 KNTT trang 14: Rút gọn biểu thức $\frac{x-1}{x^{3}+1}+\frac{1-2x}{x-1}-\frac{3x+2}{x^{3}+1}+\frac{1-x}{x^{3}+1}+\frac{3x}{x^{3}+1}+\frac{1-2x}{1-x}$ ta được kết quả là

A. $ \frac{2}{x-1}$

B. $ \frac{-2}{x^{3}+1}$

C. $ \frac{2}{x^{3}+1}$

D. $ \frac{2}{x+1}$

Hướng dẫn trả lời: B

B. BÀI TẬP

Bài tập 6.34 toán 8 tập 2 KNTT trang 14: Cho phân thức P = $ \frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-9}$

a) Viết điều kiện xác định của phân thức. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của x không thoả mãn điều kiện xác định.

b) Rút gọn phân thức đã cho. 

c) Tim tập hợp tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức P nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn trả lời:

a) Điều kiện xác định là $x^{2}-9 \neq 0$

x không thõa mãn điều kiện xác định nghĩa là $x^{2}-9 = 0$ hay (x-3)(x+3) = 0

Tức là x-3 = 0 hoặc x+3 = 0 hay x=3 hoặc x=-3

Vậy tập hợp tất cả các giá trị của x không thoả mãn điều kiện xác định là {3; -3}.

b) Ta có: $x^{2}-4x+3$ = $x^{2}-4x+4-1$ = $(x-2)^{2}-1$ = $(x-2-1)(x-2+1)$ 

= $(x-3)(x-1)$

Do đó P = $\frac{(x-3)(x-1)}{(x-3)(x+3)}$ = $\frac{x-1}{x+3}$

c) P = $\frac{x-1}{x+3}$ = $\frac{x+3-4}{x+3}$ = 1-$\frac{4}{x+3}$

Để P là số nguyên thì $\frac{4}{x+3}$ phải có giá trị là số nguyên hay (x+3) phải là ước nguyên của 4, do đó (x+3) $\in$ {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

Tất cả các giá trị trên của x đều thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy tập hợp tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức P nhận giá trị là số nguyên là {-7; -5; -4; -2; -1; 1}

Bài tập 6.35 toán 8 tập 2 KNTT trang 15: Cho phân thức P = $ \frac{1}{2x^{2}+7x-15}$ và Q = $ \frac{1}{x^{2}+3x-10}$

Có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho với mẫu thức chung là M = $2x^{3}+3x^{2}-29x+30$ được không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời: 

Chia M = $2x^{3}+3x^{2}-29x+30$ cho mẫu thức của P là $2x^{2}+7x-15$ ta được thương bằng x-2 và dư bằng 0. Chia M = $2x^{3}+3x^{2}-29x+30$ cho mẫu thức của Q là $ x^{2}+3x-10$ ta được thương bằng 2x-3 và dư bằng 0. 

Suy ra M = $2x^{3}+3x^{2}-29x+30$ = $(2x^{2}+7x-15)(x-2)$ = $ (x^{2}+3x-10)(2x-3)$

Suy ra P = $ \frac{x-2}{M}$, Q = $\frac{2x-3}{M}$

Vì vậy có thể quy đồng mẫu thức 2 phân thức đã cho với mẫu thức chung là M.

Bài tập 6.36 toán 8 tập 2 KNTT trang 15: Rút gọn biểu thức P = $(x-\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y})\cdot (\frac{2x}{y}+\frac{4x}{x-y})\div\frac{1}{y}$ ($y \neq 0$, $y \neq x$, $y \neq -x$)

Hướng dẫn trả lời:

P = $(x-\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y})\cdot (\frac{2x}{y}+\frac{4x}{x-y})\div\frac{1}{y}$

= $\frac{x(x+y)-x^{2}-y^{2}}{x+y}\cdot \frac{2x(x-y)+4xy}{y(x-y)} \cdot y$

= $\frac{xy-y^{2}}{x+y} \cdot \frac{2x^{2}+2xy}{x-y}$

= $\frac{y(x-y)2x(x+y)}{(x+y)(x-y)}$

= $2xy$

Bài tập 6.37 toán 8 tập 2 KNTT trang 15: Cho phân thức P = $ \frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)(ay-ax)}$ ($a \neq 0$, $y \neq x$, $y \neq -x$)

Chứng mỉnh rằng P có giá trị không phụ thuộc vào x, y.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: P = $ \frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)(ay-ax)}$

= $\frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)a(y-x)}$

= $\frac{-1}{a}$ 

Suy ra P không phụ thuộc vào x, y.

Bài tập 6.38 toán 8 tập 2 KNTT trang 15: Biết x+y+z = 0 và $x, y \neq 0$. Chứng minh phân thức $\frac{xy}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}$ có giá trị không đổi.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: x+y+z = 0 suy ra z = -(x+y)

$x^{2}+y^{2}-z^{2}$ = $x^{2}+y^{2}-(x+y)^{2}$ = -2xy

Vậy $\frac{xy}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}$ = $\frac{xy}{-2xy}$ = $\frac{-1}{2}$ 

Bài tập 6.39 toán 8 tập 2 KNTT trang 15: Cho x+y+z = 0 và $x, y, z \neq 0$. Rút gọn biểu thức: $\frac{xy}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}+\frac{yz}{y^{2}+z^{2}-x^{2}}+\frac{zx}{z^{2}+x^{2}-y^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

 Ta có: x+y+z = 0 suy ra z = -(x+y)

$x^{2}+y^{2}-z^{2}$ = $x^{2}+y^{2}-(x+y)^{2}$ = -2xy

Vậy $\frac{xy}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}$ = $\frac{xy}{-2xy}$ = $\frac{-1}{2}$ 

Làm tương tự ta được: 

$\frac{yz}{y^{2}+z^{2}-x^{2}}$ = $\frac{-1}{2}$

$\frac{zx}{z^{2}+x^{2}-y^{2}}$ = $\frac{-1}{2}$

Vậy $\frac{xy}{x^{2}+y^{2}-z^{2}} + \frac{yz}{y^{2}+z^{2}-x^{2}} + \frac{zx}{z^{2}+x^{2}-y^{2}}$ = $\frac{-1}{2}$ + $\frac{-1}{2}$ + $\frac{-1}{2}$ = $\frac{-3}{2}$

Bài tập 6.40 toán 8 tập 2 KNTT trang 15: Cho phân thức P = $ \frac{4x^{2}+2x+3}{2x+1}$ ($x \neq -\frac{1}{2}$)

a) Tìm thương và dư của phép chia đa thức $4x^{2}+2x+3$ cho đa thức $2x+1$

b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy viết P dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số. Dùng kết quả đó để tìm tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức đã cho có giá trị cũng là số nguyên.

Hướng dẫn trả lời:

a) Đặt tính chia đa thức $4x^{2}+2x+3$ cho đa thức $2x+1$ ta được thương là 2x và dư là 3. Vậy $4x^{2}+2x+3$ = $2x(2x+1) + 3$

b) P = $\frac{4x^{2}+2x+3}{2x+1}$ = $ \frac{2x(2x+1) + 3}{2x+1}$ = 2x + $\frac{3}{2x+1}$

Với x nguyên, để P là số nguyên thì $\frac{3}{2x+1}$ phải có giá trị là số nguyên hay (2x+1) phải là ước nguyên của 3, do đó (2x+1) $\in$ {-3; -1; 1; 3}

Suy ra x $\in$ {-2; -1; 1; 0} (tất cả các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện $x \neq -\frac{1}{2}$)

Bài tập 6.41 toán 8 tập 2 KNTT trang 15: 

a) Rút gọn biểu thức P = $ \frac{(x+2)^{2}}{x}\cdot(1-\frac{x^{2}}{x+2})-\frac{x^{2}+6x+4}{x}$

b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Hướng dẫn trả lời:

a) P = $ \frac{(x+2)^{2}}{x}\cdot(1-\frac{x^{2}}{x+2})-\frac{x^{2}+6x+4}{x}$

= $\frac{(x+2)^{2}}{x} \cdot \frac{x+2-x^{2}}{x+2} - \frac{x^{2}+6x+4}{x}$

= $\frac{(x+2)(x+2-x^{2})-(x^{2}+6x+4)}{x}$

= $\frac{-x^{3}-2x^{2}-2x}{x}$

= $-x^{2}-2x-2$

b) P = $-x^{2}-2x-2$

= $- (x^{2}+2x+1)-1$

= $- (x+1)^{2}-1$

Ta có: $(x+1)^{2} \geq 0$, suy ra $-(x+1)^{2} \leq 0$, suy ra $-(x+1)^{2}-1 \leq -1$

Hay P $\leq$ -1

Vậy giá trị lớn nhất của P là -1 (tại x = -1)

Bài tập 6.42 toán 8 tập 2 KNTT trang 15: Cho phân thức P = $ \frac{x^{2}-4x+12}{x^{2}-4x+10}$. Đặt t = x-2, hãy biểu diễn P dưới dạng một phân thức của biến t. Từ đó suy ra P luôn nhân giá trị dương.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: t = x-2, suy ra $t^{2}$ = $(x-2)^{2}$ = $x^{2}-4x+4$

Suy ra $x^{2}-4x$ = $t^{2}-4$

Từ đó ta được P = $\frac{t^{2}-4+12}{t^{2}-4+10}$ 

= $\frac{t^{2}-4+8}{t^{2}-4+6}$ > 0 (do $t^{2} \geq 0$)

Bài tập 6.43 toán 8 tập 2 KNTT trang 15: Một bể chứa nước có hai vòi thoát. Biết rằng khi bể chứa đầy nước thì thời gian cần thiết đề xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ nhất là x (giờ) và thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ hai là y (giờ).

a) Viết phân thức biểu thị thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi.

b) Tính thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (khi bể chứa đầy nước) nếu mở cả hai vòi, biết rằng khi chỉ mở một vòi, vòi thứ nhất xả hết nước trong 2 giờ, vòi thứ hai xả hết nước trong 3 giờ.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Gọi t (giờ) là thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể (đầy nước) khi mở cả hai vòi. Như vậy, trong một giờ cả hai vòi cùng mở sẽ xả được $\frac{1}{t}$ (bể).

Từ đề bài suy ra trong một giờ, nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì xả được $\frac{1}{x}$ (bể), nếu chỉ dùng vòi thứ hai thì xả được $\frac{1}{y}$ (bể)

Suy ra, trong một giờ, cả hai vòi cùng mở sẽ xả được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ = $\frac{x+y}{xy}$ = $\frac{1}{t}$ (bể). 

Vậy suy ra t = $\frac{xy}{x+y}$

b) Với x = 2; y = 3 thì t = $\frac{2 \cdot 3}{2+3}$ (giờ) = 1,2 giờ = 1 giờ 12 phút. Vậy trong trường hợp khi chỉ mở một vòi, vòi thứ nhất xả hết nước trong 2 giờ, vòi thứ hai xả hết nước trong 3 giờ thì khi mở cả hai vòi sẽ xả được hết nước trong bể sau 1 giờ 12 phút.