Giải sách bài tập Toán 8 kết nối bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Bài tập 9.42 toán 8 tập 2 KNTT trang 62: Những điều kiện nào dưới đây kéo theo hai tam giác vuông đồng dạng. 

(1) Một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia.

(2) Một cạnh góc vuông của tam giác này bằng một cạnh góc vuông của tam giác kia.

(3) Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia.

(4) Một góc nhọn của tam giác này phụ với một góc nhọn của tam giác kia.

(5) Cạnh huyền của tam giác này bằng cạnh huyền của tam giác kia.

(6) Một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác này tỉ lệ với một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác kia.

Hướng dẫn trả lời:

Những điều kiện (1), (3), (4), (6) kéo theo hai tam giác vuông đồng dạng.

Bài tập 9.43 toán 8 tập 2 KNTT trang 62: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và tam giác MNP CÓ MN = MP = 4 cm và NP = $4\sqrt{2}$ cm. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ ∽ $\Delta MNP$

Hướng dẫn trả lời:

Do $MN^{2} + MP^{2} = NP^{2}$ nên tam giác MNP vuông cân tại đỉnh M (theo định lí Pythagore đảo)

Hai tam giác vuông cân ABC (vuông tại A) và MNP (vuông tại M) có 

$\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP}$

Suy ra $\Delta ABC$ ∽ $\Delta MNP$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Bài tập 9.44 toán 8 tập 2 KNTT trang 63: Hãy liệt kê ba cặp tam giác vuông trong Hình 9.10 đồng dạng và giải thích chúng đồng dạng dựa theo trường hợp nào của hai tam giác vuông đồng dạng?

Hướng dẫn trả lời:

$\Delta ABC$ ∽ $\Delta MPN$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

$\Delta MNP$ ∽ $\Delta EDF$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

$\Delta ABC$ ∽ $\Delta GHK$ (cạnh góc vuông – cạnh huyền)

Bài tập 9.45 toán 8 tập 2 KNTT trang 63: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB ). Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABC$ ∽ $\Delta HAC$ và $CA^{2} = CH \cdot CB$

b) $\frac{AH}{BC} = \frac{HE}{AB}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Hai tam giác vuông ABC (vuông tại A) và HAC (vuông tại H) có 

$\widehat{C}$ chung

Suy ra $\Delta ABC$ ∽ $\Delta HAC$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\frac{CA}{CH} = \frac{CB}{CA}$ hay $CA^{2} = CH \cdot CB$

b) Hai tam giác vuông ABC (vuông tại A) và EHA (vuông tại E) có 

$\widehat{ACB} = 90^{o} - \widehat{ABC} = 90^{o} - \widehat{ABH} = \widehat{HAB} = \widehat{HAE}$

Suy ra $\Delta ABC$ ∽ $\Delta EHA$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\frac{AB}{EH} = \frac{BC}{HA}$ hay $\frac{AH}{BC} = \frac{HE}{AB}$

Bài tập 9.46 toán 8 tập 2 KNTT trang 63: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết rằng AB = 6 cm và AC = 8 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng đính lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$

Suy ra BC = 10 cm.

Mặt khác $\frac{BC \cdot AH}{2} = \frac{AB \cdot AC}{2}$ (diện tích tam giác ABC)

Suy ra AH = $\frac{AB \cdot AC}{BC}$ = 4,8 cm

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại A) và HBA (vuông tại H) có 

$\widehat{B}$ chung

Suy ra $\Delta ABC$ ∽ $\Delta HBA$ 

Suy ra $\frac{AB}{HB} = \frac{BC}{BA}$ hay 

BH = $\frac{AB^{2}}{BC}$ = 3,6 cm

Tương tự: CH = $\frac{AC^{2}}{BC}$ = 6,4 cm

Bài tập 9.47 toán 8 tập 2 KNTT trang 63: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) $HA \cdot HD = HB \cdot HE = HC \cdot HF$

b) $\Delta AFC$ ∽ $\Delta AEB$ và $AF \cdot AB = AE \cdot AC$

c) $\Delta BDF$ ∽ $\Delta EDC$ và DA là tia phân giác của góc EDF.

Hướng dẫn trả lời:

a) Hai tam giác vuông HAE (vuông tại E) và HBD (vuông tại D) có 

$\widehat{AHE} = \widehat{DHB}$ (2 góc đối đỉnh)

Suy ra $\Delta HAE$ ∽ $\Delta HBD$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\frac{HA}{HB} = \frac{HE}{HD}$ hay $HA \cdot HD = HB \cdot HE$

Tương tự: $HA \cdot HD = HC \cdot HF$

Suy ra $HA \cdot HD = HB \cdot HE = HC \cdot HF$

b) Hai tam giác vuông AFC (vuông tại F) và AEB (vuông tại E) có 

$\widehat{A}$ chung

Suy ra $\Delta AFC$ ∽ $\Delta AEB$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\frac{AF}{AE} = \frac{AC}{AB}$ hay $AF \cdot AB = AE \cdot AC$

c) Từ $HA \cdot HD = HB \cdot HE$

Suy ra $\frac{HA}{HE} = \frac{HB}{HD}$

Hai tam giác AHB và EHD có 

$\widehat{AHB} = \widehat{EHD}$ (2 góc đối đỉnh)

$\frac{HA}{HE} = \frac{HB}{HD}$

Suy ra $\Delta AHB$ ∽ $\Delta EHD$ 

Suy ra $\widehat{HAB} = \widehat{HED}$

Suy ra $\widehat{CED} = 90^{o} - \widehat{HED} = 90^{o} - \widehat{HEB} = \widehat{FBD}$

Tương tự ta có $\widehat{BFD} = \widehat{ECD}$

Hai tam giác BDF và EDC có 

$\widehat{FBD} = \widehat{CED}$ 

$\widehat{BFD} = \widehat{ECD}$ 

Suy ra $\Delta BDF $ ∽ $\Delta EDC$ (g.g)

Suy ra $\widehat{FDB} = \widehat{CDE}$

Suy ra $\widehat{FDA}= 90^{o} - \widehat{FDB} = 90^{o} - \widehat{CDE} = \widehat{EDA}$ 

Suy ra DA là tia phân giác của góc EDF.

Bài tập 9.48 toán 8 tập 2 KNTT trang 63: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

a) $\Delta BDF$ ∽ $\Delta BAC$ và $\Delta CDE$ ∽ $\Delta CAB$

b) $BF \cdot BA + CE \cdot CA = BC^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Hai tam giác vuông BDA (vuông tại D) và BFC (vuông tại F) có 

$\widehat{B}$ chung

Suy ra $\Delta BDA$ ∽ $\Delta BFC$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\frac{BD}{BF} = \frac{BA}{BC}$ 

hay $\frac{BF}{BC} = \frac{BD}{BA}$ 

Hai tam giác BDF và BAC có 

$\frac{BF}{BC} = \frac{BD}{BA}$  (chứng minh trên)

$\widehat{B}$ chung

Suy ra $\Delta BDF$ ∽ $\Delta BAC$ (c.g.c)

Tương tự: $\Delta CDE$ ∽ $\Delta CAB$

b) $\Delta BDF$ ∽ $\Delta BAC$ 

Suy ra $\frac{BF}{BC} = \frac{BD}{BA}$ hay $BF \cdot BA = BD \cdot BC$

$\Delta CDE$ ∽ $\Delta CAB$ 

Suy ra $\frac{CE}{CB} = \frac{CD}{CA}$ hay $CE \cdot CA = CD \cdot BC$

Vậy $BF \cdot BA + CE \cdot CA = BD \cdot BC + CD \cdot BC = BC^{2}$

Bài tập 9.49 toán 8 tập 2 KNTT trang 63: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ANP$ ∽ $\Delta HBA$ và $\Delta MCN$ ∽ $\Delta MPB$

b) $\frac{MB}{MC} \cdot \frac{NC}{NA} \cdot \frac{PA}{PB} = 1$

Hướng dẫn trả lời:

a) Hai tam giác vuông ANP (vuông tại A) và HBA (vuông tại H) có 

$\widehat{ANP} = \widehat{MNC} = 90^{o} - \widehat{NCM} = 90^{o} - \widehat{ACB} = \widehat{CBA} = \widehat{HBA}$

Suy ra $\Delta ANP$ ∽ $\Delta HBA$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Hai tam giác vuông MCN (vuông tại M) và MPB (vuông tại M) có 

$\widehat{MNC} = 90^{o} - \widehat{MCN} = 90^{o} - \widehat{BCA} = \widehat{CBA} = \widehat{MBP}$

Suy ra $\Delta MCN$ ∽ $\Delta MPB$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

b) Áp dụng định lí Thalès cho MN // AH và AH // MP, ta được:

$\frac{MB}{MC} \cdot \frac{NC}{NA} \cdot \frac{PA}{PB}$ 

= $\frac{MB}{PB} \cdot \frac{NC}{NA} \cdot \frac{PA}{MC}$

= $\frac{MH}{PA} = \frac{MC}{MH} = \frac{PA}{MC}$

= 1

Bài tập 9.50 toán 8 tập 2 KNTT trang 64: Cho tứ giác ABCD như Hình 9.11. Biết rằng $\widehat{BAD} = \widehat{BDC} = 90^{o}$, AD = 4cm, BD=6 cm và BC=9 cm. Chứng minh rằng BC // AD.

Hướng dẫn trả lời:

Hai tam giác vuông ABD (vuông tại A) và DCB (vuông tại D) có 

$\frac{AD}{DB} = \frac{DB}{BC} = \frac{2}{3}$

Suy ra $\Delta ABD$ ∽ $\Delta DCB$ (cạnh góc vuông – cạnh huyền)

Suy ra $\widehat{ADB} = \widehat{DBC}$

Suy ra AD // BC (cặp góc so le trong bằng nhau)

Bài tập 9.51 toán 8 tập 2 KNTT trang 64: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AHGọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) $AM \cdot AB = AH^{2}$ và $AM \cdot AB = AN \cdot AC$

b) $\Delta AMN$ ∽ $\Delta ACB$

Hướng dẫn trả lời:

a) Hai tam giác vuông AHM (vuông tại M) và ABH (vuông tại H) có 

$\widehat{A}$ chung

Suy ra $\Delta AHM$ ∽ $\Delta ABH$ (một cặp góc nhọn bằng nhau)

Suy ra $\frac{AM}{AH} = \frac{AH}{AB}$ hay $AM \cdot AB = AH^{2}$

Tương tự: $AN \cdot AC = AH^{2}$

Suy ra $AM \cdot AB = AN \cdot AC$

b) Từ $AM \cdot AB = AN \cdot AC$

Suy ra $\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$

Hai tam giác AMN và ACB có 

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$

Suy ra $\Delta AMN$ ∽ $\Delta ACB$ (c.g.c)

Bài tập 9.52 toán 8 tập 2 KNTT trang 64: Cho ABC và A'B'C' lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của AC và A'C'. Chứng minh rằng:

a) $BC^{2} + 3BA^{2} = 4BM^{2}$ và $B’C’^{2} + 3B’A’^{2} = 4B’M’^{2}$

b) Nếu $\frac{BC}{BM} = \frac{B’C’}{B’M’}$ thì $\Delta ABC$ ∽ $\Delta A’B’C’$

Hướng dẫn trả lời:

a) Áp dụng đính lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta có

$4BM^{2} = 4(BA^{2} + AM^{2}) = 4BA^{2} + AC^{2} = 3BA^{2} + BC^{2}$

Tương tự: 

$4B’M’^{2} = 4(B’A’^{2} + A’M’^{2}) = 4B’A’^{2} + A’C’^{2} = 3B’A’^{2} + B’C’^{2}$

b) Giả sử $\frac{BC}{BM} = \frac{B’C’}{B’M’}$. Theo phần trên ta có:

$\frac{BC^{2}}{BM^{2}} + 3\frac{BA^{2}}{BM^{2}}$

= 4

= $\frac{B’C’^{2}}{B’M’^{2}} + 3\frac{B’A’^{2}}{B’M’^{2}}$

Suy ra $\frac{BA^{2}}{BM^{2}}$ = $\frac{B’A’^{2}}{B’M’^{2}}$

Hay $\frac{BA}{BM} = \frac{B’A’}{B’M’}$

Vậy $\frac{BC}{B’C’} = \frac{BM}{B’M’} = \frac{BA}{B’A’}$

Hai tam giác vuông ABC (vuông tại A) và A’B’C’ (vuông tại A’) có 

$\frac{BC}{B’C’} = \frac{BA}{B’A’}$

Suy ra $\Delta ABC$ ∽ $\Delta A’B’C’$ (cạnh góc vuông – cạnh huyền)

Bài tập 9.53 toán 8 tập 2 KNTT trang 64: Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN

a) Chứng minh rằng CM $\bot$ DN.

b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.

Hướng dẫn trả lời:

a) Dễ thấy tam giác CBM = tam giác DCN (hai tam giác vuông có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau). 

Do đó $\widehat{CNO} + \widehat{NCO}$

= $\widehat{CND} + \widehat{BCM}$

= $\widehat{BMC} + \widehat{BCM}$

= $90^{o}$

Vì tổng các góc trong tam giác CNO bằng $180^{o}$

Nên $\widehat{NOC} = 180^{o} - \widehat{CNO} - \widehat{NCO} = 90^{o}$

Suy ra $CM \bot DN$

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác CND vuông tại C, ta được: 

$ND^{2} = NC^{2} + CD^{2} = 5NC^{2}$

$\frac{NC}{ND} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Hai tam giác vuông ONC (vuông tại O) và CND (vuông tại C) có 

$\widehat{N}$ (góc chung). 

Suy ra $\Delta ONC$ ∽ $\Delta CND$ (một cặp góc nhọn bằng nhau).

Do đó:

$\frac{ON}{CN} = \frac{OC}{CD} = \frac{NC}{ND} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Vậy diện tích tam giác ONC là:

$\frac{ON \cdot OC}{2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{CN \cdot CD}{2}$

 = 0,8 ($cm^{2}$).