Giải sách bài tập Toán 8 kết nối bài 33: Hai tam giác đồng dạng

Bài tập 9.1 toán 8 tập 2 KNTT trang 51: Khi viết $\Delta ABC$ ∽ $\Delta MNP$ thì góc nào của tam giác ABC tương ứng với góc PNM của tam giác MNP. Hãy viết các cặp góc bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ của hai tam giác đã cho.

Hướng dẫn trả lời:

Khi viết $\Delta ABC$∽$\Delta MNP$ thì góc CBA của tam giác ABC tương ứng với góc PNM của tam giác MNP.

Các cặp góc tương ứng bằng nhau: 

$\widehat{BAC} = \widehat{NMP}$

$\widehat{ABC} = \widehat{MNP}$

$\widehat{ACB} = \widehat{MPN}$

Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ:

$\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP} = \frac{BC}{NP}$

Bài tập 9.2 toán 8 tập 2 KNTT trang 51: Cho $\Delta ABC$ ∽ $\Delta DEF$. Những cách viết nào dưới đây đúng?

(1) $\Delta BCA$ ∽ $\Delta FED$

(2) $\Delta CAB$ ∽ $\Delta EDF$

(3) $\Delta BAC$ ∽ $\Delta EDF$

(4) $\Delta CBA$ ∽ $\Delta FED$

Hướng dẫn trả lời:

Do các cặp đỉnh tương ứng là: A và D, B và E, C và F nên các cách viết (3) và (4) đúng, các cách viết (1) và (2) sai. 

Bài tập 9.3 toán 8 tập 2 KNTT trang 52: Với hai tam giác ABC và MNP bất kì sao cho $\Delta ABC$ ∽ $\Delta MNP$. Những câu nào dưới đây đúng?

(1) AB = MN, AC = MP, BC = NP

(2) $\widehat{A} = \widehat{M}$

$\widehat{B} = \widehat{N}$

$\widehat{C} = \widehat{P}$

(3) $\frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP} = \frac{BC}{NP}$

(4) $\widehat{B} = \widehat{P}$

$\widehat{C} = \widehat{M}$

$\widehat{A} = \widehat{N}$

Hướng dẫn trả lời:

Các câu (2) và (3) đúng, các câu (1) và (4) sai.

Bài tập 9.4 toán 8 tập 2 KNTT trang 52: Cho $\Delta ABC$ ∽ $\Delta A’B’C’$, biết $\widehat{A} = 60^{o}$, $\widehat{B’} = 50^{o}$. Hãy tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC và tam giác A'B'C'.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\widehat{A’} = \widehat{A} = 60^{o}$

$\widehat{B} = \widehat{B’} = 50^{o}$

$\widehat{C} = \widehat{C’} = 180^{o} - \widehat{A’} - \widehat{B’} = 180^{o} - 60^{o} - 50^{o} = 70^{o}$

Bài tập 9.5 toán 8 tập 2 KNTT trang 52: Cho $\Delta ABC$ ∽ $\Delta MNP$. Biết AB = 5 cm, MN = 8 cm và chu vi tam giác ABC bằng 20 cm. Hỏi $\Delta ABC$ ∽ $\Delta MNP$ với tỉ số đồng dạng bằng bao nhiêu và chu vi tam giác MNP bằng bao nhiêu ?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\frac{5}{8} = \frac{AB}{MN} = \frac{AC}{MP} = \frac{BC}{NP} = \frac{AB + AC + BC}{MN + MP + NP}$

Do $\Delta ABC$ ∽ $\Delta MNP$ với tỉ số đồng dạng bằng $\frac{5}{8}$ và chu vi của $\Delta ABC$ là 20 cm, suy ra chu vi tam giác MNP là: 

$ MN + MP + NP = \frac{8}{5}(AB + AC + BC) = \frac{8 \cdot 20}{5} = 32$ (cm)

Bài tập 9.6 toán 8 tập 2 KNTT trang 52: Cho tam giác ABC đồng dạng với một tam giác có ba đỉnh là D, E, F. Biết rằng $\widehat{A} > \widehat{B} = 60^{o} = \widehat{D} > \widehat{E}$, hãy chỉ ra các đỉnh tương ứng và viết đúng kí hiệu đồng dạng của hai tam giác đó.

Hướng dẫn trả lời:

Do tổng các góc trong một tam giác bằng $180^{o}$ nên ta có:

$\widehat{A} > \widehat{B} = 60^{o} > \widehat{C}$

$\widehat{F} > \widehat{D} = 60^{o} > \widehat{E}$

Vì hai tam giác đồng dạng thì có các đỉnh tương ứng bằng nhau nên chỉ có thể xảy ra: 

$\widehat{A} = \widehat{F}$

$\widehat{B} = \widehat{D}$

$\widehat{C} = \widehat{E}$

Do đó $\Delta ABC$ ∽ $\Delta FDE$

Bài tập 9.7 toán 8 tập 2 KNTT trang 52: Cho tam giác không cân ABC đồng dạng với một tam giác có ba đỉnh là M, N, P. Biết rằng $\frac{AB}{NP} = \frac{AC}{PM} = \frac{BC}{MN}$, hãy chỉ ra các đỉnh tương ứng và viết đúng kí hiệu đồng dạng của hai tam giác đó.

Hướng dẫn trả lời:

Ta thấy các cạnh cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng đã cho là: AB và NP, AC và PM, BC và MN. Do các đỉnh tương ứng sẽ đối diện các cạnh tương ứng nên các cặp đỉnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng đã cho là: C và M, B và N, A và P. 

Do đó $\Delta ABC$ ∽ $\Delta PNM$

Bài tập 9.8 toán 8 tập 2 KNTT trang 52: Trong Hình 9.3, cho PQ và MN cùng song song với AB. Hãy liệt kê ba cặp tam giác phân biệt đồng dạng với nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Do MN // AB nên $\Delta CMN$ ∽ $\Delta CAB$

Do PQ // AB nên $\Delta CPQ$ ∽ $\Delta CAB$

Do PQ // MN (cùng song song với AB) nên $\Delta CPQ$ ∽ $\Delta CMN$

Bài tập 9.9 toán 8 tập 2 KNTT trang 52: Cho hình bình hành ABCD và cho E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng $\Delta AEF$ ∽ $\Delta CDA$.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có EF // BC (EF là đường trung bình của tam giác ABC) nên $\Delta AEF$ ∽ $\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng bằng $\frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$

Mặt khác $\Delta ABC = \Delta CDA$ (c.c.c) nên $\Delta ABC$ ∽ $\Delta CDA$ với tỉ số đồng dạng bằng 1. 

Do đó $\Delta AEF$ ∽ $\Delta CDA$ với tỉ số đồng dạng bằng $\frac{1}{2}$

Bài tập 9.10 toán 8 tập 2 KNTT trang 52: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng $\widehat{ABC} = \widehat{MNP}$ và BC =2NP. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ ∽ $\Delta MNP$ và tìm tỉ số đồng dạng.

Hướng dẫn trả lời:

Lấy E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. 

Khi đó $\Delta ABC$ ∽ $\Delta AEF$ với tỉ số đồng dạng bằng 2. 

Xét hai tam giác AEF và MNP, ta có:

$\widehat{AEF} = \widehat{ABC} = \widehat{MNP}$

$EF = \frac{BC}{2} = NP$

$\widehat{AFE} = \widehat{ACB} = \widehat{ABC} = \widehat{MNP} = \widehat{MPN}$

Vậy $\Delta AEF = \Delta MNP$ (g.c.g). Do đó $\Delta AEF$ ∽ $\Delta MNP$ với tỉ số đồng dạng bằng 1.

Vậy $\Delta ABC$ ∽ $\Delta MNP$ với tỉ số đồng dạng bằng 2.

Bài tập 9.11 toán 8 tập 2 KNTT trang 52: 

Cho tam giác ABC với AB = 6 cm, AC = 9 cm. 

a) Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho AM = 4 cm, AN = 6 cm. Chứng minh rằng $\Delta AMN$ ∽ $\Delta ABC$ và tìm tỉ số đồng dạng.

b) Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho AP = 4 cm. Chứng minh rằng $\Delta APB$ ∽ $\Delta ABC$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}$ 

Do đó theo định lí Thalès đảo áp dụng cho tam giác ABC và cát tuyến MN ta có: MN // AB. Vì vậy $\Delta AMN$ ∽ $\Delta ABC$.

b) Xét 2 tam giác APB và AMN, ta có: AP = AM, $\widehat{A}$ chung, AB = AN

Suy ra $\Delta APB$ ∽ $\Delta AMN$ (c.g.c)

Do đó $\Delta APB$ ∽ $\Delta ABC$ (tính chất bắc cầu)