Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới bài 33: Hai tam giác đồng dạng

I. Hoạt động hoàn thành kiến thức

1. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 79 Toán 8 tập 2 KNTT. Trong hình 9.2, $\Delta ABC$ và $\Delta ABC$ là hai tam giác có các cạnh tương ứng song song và các góc tương ứng bằng nhau, tức là AB // DE, AC // DF, BC // EF và $\widehat{A}=\widehat{D}$,  $\widehat{B}=\widehat{E}$, $\widehat{C}=\widehat{F}$

Nhìn hình vẽ, hãy cho biết giá trị các tỉ số sau 

$\frac{AB}{DE}$; $\frac{BC}{EF}$; $\frac{AC}{DF}$

 Hướng dẫn giải

$\frac{AB}{DE}=2$; $\frac{BC}{EF}=2$; $\frac{AC}{DF}=2$

Luyện tập 1 trang 80 Toán 8 tập 2 KNTT. Trong các tam giác được vẽ trên ô lưới vuông, có một cặp tam giác đồng dạng. Hãy chỉ ra cặp tam giác đó, viết đúng kí hiệu đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng của chúng

 Hướng dẫn giải

$\Delta ABC$ ~ $\Delta DEF$ với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$

2. Định lí

Hoạt động 2 trang 80 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho tam giác ABC và các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC

- Hãy viết các cặp góc bằng nhau của hai tam giác ABC và AMN, giải thích vì sao chúng bằng nhau

- Kẻ đường thẳng đi qua N song song với AB và cắt BC tại P. Hãy chứng tỏ MN=BP và suy ra $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$

- Tam giác ABC và tam giác AMN có đồng dạng không? Nếu có hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng 

 Hướng dẫn giải

- Các cặp góc bằng nhau của hai tam giác ABC và AMN: $\widehat{B}=\widehat{M}$, $\widehat{C}=\widehat{N}$ 

- Có  MN // BP,  MB // NP (vì  AB // NP) => $MN=BP$ => $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$

- Có $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$ => $\Delta ABC$ ~ $\Delta AMN$

Luyện tập 2 trang 82 Toán 8 tập 2 KNTT: Trong hình 9.8, các đường thẳng AB, CD, EF song song với nhau. Hãy liệt kê ba cặp tam giác (phân biệt) đồng dạng 

 Hướng dẫn giải

$\Delta OCD$ ~ $\Delta OAB$

$\Delta OEF$ ~ $\Delta OCD$

$\Delta OEF$ ~ $\Delta OAB$

Vận dụng trang 82 Toán 8 tập 2 KNTT: Có một chiếc bóng điện được mắc trên đỉnh (Điểm A) của cột đèn thẳng đứng. Để tính chiều cao AB của cột đèn, bác Dương cắm một chiếc cọc gỗ (đoạn CD) thẳng đứng trên mặt đất rồi đo chiều dài bóng của cọc gỗ do ánh đèn điện tạo ra và đo khoảng cách từ điểm E đến chân cột đèn (điểm B). Hãy giải thích bác Dương đã tính được chiều cao cột đèn như thế nào, biết cọc gỗ cao 1m, $EC=80cm$ và $EB=4m$

 Hướng dẫn giải

Có $EB=4m=400cm$, $CD=1m=100cm$

Vì cọc gỗ và cột đèn đều thẳng đứng

=> AB // DC => ΔAEB ~ ΔDEC

=> $\frac{DE}{AE}=\frac{CE}{BE}=\frac{DC}{AB}$

Mà $\frac{CE}{BE}=\frac{80}{400}=\frac{1}{5}$

=> Hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{5}$

=> $\frac{DC}{AB}=\frac{100}{AB}=\frac{1}{5}$

=> $AB=500cm=5m$

Vậy cột đèn cao 5m

II. Vận dụng giải bài tập

Bài tập 9.1 trang 82 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho ΔABC ~ ΔMNP, khẳng định nào sau đây không đúng?

a) ΔMNP ~ ΔABC

b) ΔBCA ~ ΔNPM

c) ΔCAB ~ ΔPNM

d) ΔACB ~ ΔMNP

 Hướng dẫn giải

Khẳng định d) là khẳng định không đúng 

=> ΔACB ~ ΔMPN

Bài tập 9.2 trang 82 Toán 8 tập 2 KNTT: Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

b) Hai tam giác bất kì đồng dạng với nhau

c) Hai tam giác đều bất kì đồng dạng với nhau

d) Hai tam giác vuông bất kì đồng dạng với nhau

e) Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau 

 Hướng dẫn giải

Khẳng định a và c là khẳng định đúng

Khẳng định b sai vì hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau từng đôi một và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Khẳng định d sai vì hai tam giác vuông mới chỉ thỏa mãn một điều kiện để xét đồng dạng, cần thêm tỉ lệ cạnh tương ứng hoặc 1 góc tương ứng bằng nhau.

Khẳng định e sai vì hai tam giác đồng dạng chỉ có kích thước tỉ lệ với nhau, còn hai tam giác bằng nhau là có các góc, các cạnh tương ứng bằng nhau

Bài tập 9.3 trang 82 Toán 8 tập 2 KNTT. Trong hình 9.9, ABC là tam giác không cân; M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Hãy tìm trong hình năm tam giác khác nhau mà chúng đôi một đồng dạng với nhau. Giải thích vì sao chúng đồng dạng 

 Hướng dẫn giải

- Có $AP=BP$, $NA=NC$

=> NP // BC ($P\in AB, N\in AC$)

=> ΔABC ~ ΔAPN 

- Có $AP=BP$, $MB=MC$

=> MP // AC ($P\in AB, M\in BC$)

=> ΔABC ~ ΔPBM

- Có $NA=NC$, $MB=MC$

=> MN // AB ($N\in AC, M\in BC$)

=> ΔABC ~ ΔNMC

- Có ΔABC ~ ΔAPN và ΔABC ~ ΔPBM => ΔAPN ~ ΔPBM

- Có ΔABC ~ ΔNMC và ΔABC ~ ΔPBM => ΔNMC ~ ΔPBM 

Bài tập 9.4 trang 82 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}, AB=2MN$. Chứng minh  ΔMNP ~ ΔABC và tìm tỉ số đồng dạng 

 Hướng dẫn giải

- Có tam giác ABC cân tại A => $AB=AC$, $\widehat{B}=\widehat{C}$

- Có tam giác MNP cân tại M => $MN=MP$, $\widehat{N}=\widehat{P}$

Mà $AB=2MN$, $\widehat{A}=\widehat{M}$

=> $\widehat{B}=\widehat{N}=\widehat{C} =\widehat{P}$

=> $\frac{MN}{AB}=\frac{MP}{AC}=\frac{NP}{BC}=\frac{1}{2}$

=> ΔMNP ~ ΔABC với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$