Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới bài 15: Định lí Thales trong tam giác

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

Cho Hình 4.2, em hãy thực hiện các hoạt động sau:

Hoạt động 1 trang 77 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Hãy tìm độ dài của hai đoạn thẳng AB và CD nếu chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài. Với các độ dài đó hãy tính tỉ số $\frac{AB}{CD}$

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài thì MN = 1 (đvđd).

Khi đó, AB = 2 (đvđd); CD = 6 (đvđd).

$\frac{AB}{CD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Hoạt động 2 trang 77 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Dùng thước thẳng, đo độ dài hai đoạn AB và CD (đơn vị: cm) rồi dùng kết quả vừa đo để tính tỉ số $\frac{AB}{CD}$

Hướng dẫn trả lời:

AB = 4,8 cm

CD = 14,4 cm

$\frac{AB}{CD}=\frac{4,8}{14,4}=\frac{1}{3}$

Hoạt động 3 trang 77 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: So sánh tỉ số tìm được trong hai hoạt động trên

Hướng dẫn trả lời:

Tỉ số tìm được ở hai hoạt động bằng nhau

Luyện tập 1 trang 77 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Tìm tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) MN = 3 cm và PQ = 9 cm

b) EF = 25 cm và HK = 10 dm

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{MN}{PQ}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, $\frac{PQ}{MN}=\frac{9}{3}=\frac{3}{1}$

b) HK = 10 dm = 100 cm

$\frac{EF}{HK}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$, $\frac{HK}{EF}=\frac{100}{25}=\frac{4}{1}$

Luyện tập 2 trang 78 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC và một điểm B' nằm trên cạnh AB. Qua điểm B', ta vẽ một đường thẳng song song với BC, cắt AC tại C' (H.4.4). Dựa vào hình vẽ, hãy tính và so sánh các tỉ số sau và viết các tỉ lệ thức:

a) $\frac{AB'}{AB}$ và $\frac{AC'}{AC}$

b) $\frac{AB'}{B'B}$ và $\frac{AC'}{C'C}$

c) $\frac{B'B}{AB}$ và $\frac{C'C}{AC}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{AB'}{AB}=\frac{2}{3}$

$\frac{AC'}{AC}=\frac{2}{3}$

Ta có tỉ lệ thức $\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}$

b) $\frac{AB'}{B'B}=2$

$\frac{AC'}{C'C}=2$

Ta có tỉ lệ thức $\frac{AB'}{B'B}=\frac{AC'}{C'C}$

c) $\frac{B'B}{AB}=\frac{1}{3}$

$\frac{C'C}{AC}=\frac{1}{3}$

Ta có tỉ lệ thức $\frac{B'B}{AB}=\frac{C'C}{AC}$

2. Định lí Thales trong tam giác

Luyện tập 3 trang 79 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Tìm các độ dài x, y trong hình 4.6

Hướng dẫn trả lời:

a) MN // BC

Ta có: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{6,5}{x}=\frac{4}{2}=2\Rightarrow x=3,25$

b) $FE\perp PH,QH\perp PH \Rightarrow FE//QH$

Ta có: $\frac{PE}{PH}=\frac{PF}{PQ}\Rightarrow \frac{4}{y}=\frac{5}{5+3,5}\Rightarrow y=6,8$

Hoạt động 4 trang 79 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho $\Delta ABC$ có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Trên cạnh AB lấy điểm B', trên cạnh AC lấy điểm C' sao cho AB' = 4 cm, AC' = 6 cm (H.4.7)

• So sánh các tỉ số $\frac{AB'}{AB$ và $\frac{AC'}{AC}$
• Vẽ đường thẳng a đi qua B' và song song với BC, đường thẳng a cắt AC tại điểm C''. Tính độ dài đoạn thẳng AC''.
• Nhận xét gì về hai điểm C', C'' và hai đường thẳng B'C', BC?

Hướng dẫn trả lời:

$\frac{AB'}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$\frac{AC'}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}$

$B'C'' // BC\Rightarrow \frac{AB'}{AB}=\frac{AC''}{AC}\Rightarrow \frac{4}{6}=\frac{AC''}{9}\Rightarrow AC''=6$

Trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AC’ = 6 cm.

Đường thẳng a đi qua B’ và song song với BC, đường thẳng qua a cắt AC tại điểm C’’ nên điểm C’’ nằm trên cạnh AC sao cho AC’’ = 6 cm.

Do đó, hai điểm C’, C’’ trùng nhau.

Vì hai điểm C’, C’’ trùng nhau mà B’C’’ // BC nên B’C’ // BC.

Bài tập

Bài tập 4.1 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Tìm độ dài x, y trong Hình 4.9 (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Hướng dẫn trả lời:

a) HK // QE

Ta có: $\frac{HQ}{PH}=\frac{KE}{PK}\Rightarrow  \frac{4}{6}=\frac{x}{8} \Rightarrow x=5,3$

b) $\widehat{AMN}=\widehat{MBC}$ (hai góc đồng vị)

$\Rightarrow MN//BC \Rightarrow \frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC} \Rightarrow \frac{y}{6,5}=\frac{8}{11-8}\Rightarrow  y=17,3$

Bài tập 4.2 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10 và giải thích vì sao chúng song song với nhau

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\frac{ME}{EN}=\frac{MF}{FP}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF//NP$

b) Ta có: $\frac{QM}{MH}=\frac{QE}{EK}=\frac{2}{3}\Rightarrow ME//HK$

Bài tập 4.3 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC, từ điểm D trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F và kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E

Chứng minh rằng $\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=1$

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC có DE//AC, nên: $\frac{AE}{AB}=\frac{CD}{CB}$ (1)

Mặt khác, DF // AB (gt), ta có: $\frac{AF}{AC}=\frac{BD}{BC}$ (2)

Cộng các vế tương ứng của (1) và (2), suy ra:

$\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=\frac{CD}{CB}+\frac{BD}{BC}=\frac{CD+BD}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$

Bài tập 4.4 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng $BM=\frac{1}{3}BC$

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ AE là đường trung tuyến của tam giác ABC, E∈BC

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC ( gt ) nên ta có : $AG=\frac{2}{3}AE \Rightarrow \frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$

Xét tam giác ABE có GM//AB ( G∈AE; M ∈BE vì M∈BC mà E∈BC) ta có :

$\frac{BM}{BE}=\frac{AG}{AE}$ ( áp dụng định lý Ta-lét ) mà lại có : $\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$ ( cmt )

$\Rightarrow \frac{BM}{BE}=\frac{2}{3}$

Mà AE là đường trung tuyến của tam giác ABC ( E ∈BC ) nên E là trung điểm của BC

$\Rightarrow $ BE = EC và BE + EC = BC

$\Rightarrow \frac{BM}{BC}=\frac{BM}{BE+EC}=\frac{2}{2BE}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow BM=\frac{1}{3}BC$ (đpcm)

Bài tập 4.5 trang 80 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và E ở hai bên bờ sông, bác An chọn ba vị trí , F, C cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm C, E, B thẳng hàng, ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF (H.4.11). Sau đó bác An đo được khoảng cách giữa hai vị trí B và E bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC có: AB // EF nên $\frac{EB}{CE}=\frac{AF}{FC}\Rightarrow \frac{EB}{30}=\frac{40}{20}\Rightarrow EB=60$ (cm)