Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới bài 24 Phép nhân và phép chia phân thức đại số

I. Hoạt động hình thành kiến thức 

1. Nhân hai phân thức

Hoạt động 1 trang 20 Toán 8 tập 2 KNTT: Làm theo hướng dẫn của anh Pi trong tình huống mở đầu để nhân hai phân thức $\frac{2x}{x+1}$ và $\frac{x-1}{x}$

Hướng dẫn giải

Có $\frac{2x}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x}=\frac{2x(x-1)}{x(x+1)} =\frac{2x(x-1)}{x(x+1)} =\frac{2x^{2}-2x}{x(x+1)}=\frac{2(x-1)}{x+1}$ 

Luyện tập 1 trang 20 Toán 8 tập 2 KNTT. Làm tính nhân:

a) $\frac{x}{x+y}\cdot \frac{2x+2y}{3xy}$

b) $\frac{3x}{4x^{2}-1}\cdot \frac{-2x+1}{2x^{2}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x}{x+y}\cdot \frac{2x+2y}{3xy}$

=$\frac{2x^{2}+2xy}{3xy(x+y)}$

=$\frac{2x(x+y)}{3xy(x+y)}=\frac{2x}{3xy}$

b) $\frac{3x}{4x^{2}-1}\cdot \frac{-2x+1}{2x^{2}}$

=$\frac{3x(-2x+1)}{2x^{2}(4x^{2}-1)}$

=$\frac{-3x}{2x^{2}(2x+1)}$

2. Chia hai phân thức

Luyện tập 2 trang 21 Toán 8 tập 2 KNTT:

Làm tính chia: $\frac{3x}{2y^{2}}:(\frac{-5x^{2}}{12y^{3}})$

Hướng dẫn giải

$\frac{3x}{2y^{2}}:(\frac{-5x^{2}}{12y^{3}})$

$=\frac{3x}{2y^{2}}\cdot \frac{12y^{3}}{-5x^{2}}$

$=\frac{3x\cdot 12y^{3}}{2y^{2}\cdot (-5x^{2})}$

$=\frac{36xy^{3}}{-10x^{2}y^{2}}=\frac{-18y}{5x}$

Vận dụng trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT:

Bác Châu vay ngân hàng 1,2 tỉ đồng để mua nhà theo hình thức trả góp. Số tiền bác Châu phải trả mỗi tháng bao gồm số tiền gốc phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc chia đều cho số tháng vay) và số tiền lãi phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc nhân với lãi suất tháng).

a) Gọi r là lãi suất năm của khoản vay trả góp này. Tính số tiền x (triệu đồng) mà bác Châu phải trả mỗi thàng theo số tháng vay y (tháng) và lãi suất năm r. Từ đó suy ra công thức tính lãi suất năm r theo x và y

b) Tính giá trị của r tại x=30, y=48 rồi cho biết, nếu trả góp mỗi tháng 30 triệu đồng trong vòng 4 năm thì lãi suất năm (tính theo %) của khoản vay là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Số tiền x (triệu đồng) mà bác Châu phải trả mỗi tháng là: 

$x=\frac{1200}{y}+(1200.\frac{r}{12})$

=> $x=\frac{1200}{y}+100r$

=>$r=\frac{xy-1200}{100y}$

b) Thay x=30, y=48, ta có: $r=0.05$

Lãi suất năm của khoản vay khi mỗi tháng trả góp 30 triệu đồng trong vòng 4 năm là:

$r=\frac{30.48-1200}{100.48}=0.05$= 5(%)

II. Vận dụng giải bài tập

Bài tập 6.26 trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT: Làm tính nhân phân thức:

a)$\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right )\cdot \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$

b) $\frac{x^{2}-x}{2x+1}\cdot \frac{4x^{2}-1}{x^{3}-1}$

Hướng dẫn giải

a)$\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right )\cdot \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$

$=\frac{15xy^{2}}{60x^{2}y^{3}}=\frac{1}{4xy}$

b) $\frac{x^{2}-x}{2x+1}\cdot \frac{4x^{2}-1}{x^{3}-1}$

$=\frac{x(2x-1)(2x+1)}{(2x+1)(x-1)(x^{2}+x+1)}$

$=\frac{x(2x-1)}{x^{2}+x+1)}$

 Bài tập 6.27 trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT:

a)$\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right )\: \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$

b) $\frac{4x^{2}-1}{8x^{3}-1}:\frac{4x^{2}+4x+1}{4x^{2}+2x+1}$

Hướng dẫn giải

a) $\left (- \frac{3x}{5xy^{2}} \right ): \left ( -\frac{5y^{2}}{12xy} \right )$

$=\frac{-3x}{5xy^{2}}\cdot \frac{-12xy}{5y^{2}}$

$=\frac{36x^{2}y}{25xy^{4}}$

b) $\frac{4x^{2}-1}{8x^{3}-1}:\frac{4x^{2}+4x+1}{4x^{2}+2x+1}$

$=\frac{(4x^{2}-1)(4x^{2}+2x+1)}{(8x^{3}-1)(4x^{2}+4x+1)}$

$=\frac{(2x-1)(2x+1)(4x^{2}+2x+1)}{(2x-1)(4x^{2}+2x+1)(2x+1)^{2}}$

$=\frac{1}{2x+1}$

Bài tập 6.28 trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT: Tìm hai phân thức P và Q thỏa mãn: 

a) $P\cdot \frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}$

b) $Q:\frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{x^{2}-2x}$

Hướng dẫn giải

a) $P\cdot \frac{x+1}{2x+1}=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}$

=>$P=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}:\frac{x+1}{2x+1}$

$P=\frac{x^{2}+x}{4x^{2}-1}\cdot \frac{2x+1}{x+1}$

$P=\frac{x(x+1)(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)(x+1)}=\frac{x}{2x-1}$

b) $Q:\frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}=\frac{(x+1)(x+2)}{x^{2}-2x}$

=> $Q=\frac{(x+1)(x+2)}{x^{2}-2x}\cdot \frac{x^{2}}{x^{2}+4x+4}$

$Q=\frac{(x+1)(x+2)x^{2}}{x(x-2)(x+2)^{2}}=\frac{x(x+1)}{x^{2}-4}$

 Bài tập 6.29 trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT: 

Cho hai phân thức $P=\frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}+3x}$ và $Q=\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-9}$

a) Rút gọn P và Q

b) Sử dụng kết quả câu a, Tính P.Q và P:Q

Hướng dẫn giải

a) Có $P=\frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}+3x}=\frac{(x+3)^{2}}{x(x+3)}=\frac{x+3}{x}$

 Có $Q=\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-9}=\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x}{x-3}$

b) Có  $P.Q=\frac{x+3}{x}\cdot \frac{x}{x-3}=\frac{x(x+3)}{x(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}$

Có $P:Q=\frac{x+3}{x}:\frac{x}{x-3}=\frac{x+3}{x}\cdot \frac{x-3}{x}=\frac{x^{2}-9}{x^{2}}$

Bài tập 6.30 trang 22 Toán 8 tập 2 KNTT. Trở lại tình huống trong Vận dụng

a) Nếu mỗi tháng bác Châu trả 15 triệu đồng trong 10 năm thì lãi suất năm (tính theo %) là bao nhiêu? Hãy cho biết tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả chênh lệch bao nhiêu so với khoản vay 1,2 tỉ đồng

b) Trong công thức tĩnh lãi suất năm nói trên, hai biến x, y phải thỏa mãn các điều kiện x>0, y>0, xy>1200. Em hãy giải thích ý nghĩa thực tiễn của các điều kiện này

Hướng dẫn giải

a) Lãi suất năm nếu mỗi tháng bác Châu trả 15 triệu đồng trong 10 năm:

$r=\frac{15.120-1200}{100.120}=0.05$= 5(%). Tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả chênh lệch 600 triệu đồng so với khoản vay 1,2 tỉ đồng

b) Điều kiện để thỏa mãn điều kiện của một phân thức