Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới bài Luyện tập chung trang 73

Bài tập 

Bài tập 3.34 trang 73 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC; M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Lấy điểm P sao cho N là trung điểm của đoạn MP

a) Hỏi tứ giác AMCP là hình gì? Vì sao?

b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác AMCP là hình chữ nhật; hình thoi; hình vuông?

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tứ giác AMCP có NA = NC, NM = NP suy ra AMCP là hình bình hành

b) Để AMCP là hình chữ nhật thì $\widehat{AMC}=90^{\circ}$ suy ra tam giác ABC cân tại C

Để AMCP là hình thoi thì $AC\perp MP$ mà MN // BC $\Rightarrow AC\perp BC$ suy ra tam giác ABC vuông tại C

Để AMCP là hình vuông thì AMCP là hình thoi có 1 góc bằng $90^{\circ}$ suy ra tam giác ABC vuông cân tại C

Bài tập 3.35 trang 73 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng EFGH là hình chữu nhật.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của các đường phân giác với các cạnh của hình bình hành.

Ta có: $\widehat{D1}=\widehat{D2}=\frac{\widehat{ADC}}{2}$(DN là phân giác $\widehat{ADC}$)

$\widehat{B1}=\widehat{B2}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$(BQ là phân giác $\widehat{ABC}$)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (hai góc đối của hình bình hành ABCD)

$\Rightarrow \widehat{D1}=\widehat{B1}$

Vì ABCD là hình bình hành AB // CD $\Rightarrow \widehat{Q1}=\widehat{B1}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{D1}=\widehat{B1}$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

⇒DN // BQ hay HE // GF

Ta có: $\widehat{A1}=\widehat{A2}=\frac{\widehat{DAB}}{2}$ (AP là phân giác $\widehat{DAB}$)

$\widehat{C1}=\widehat{C2}=\frac{\widehat{DCB}}{2}$(CM là phân giác$\widehat{DCB}$)

Mà $\widehat{DAB}=\widehat{DCB}$ (hai góc đối của hình bình hành ABCD)

$\Rightarrow \widehat{A1}=\widehat{C1}$

Vì ABCD là hình bình hành AB // CD $\Rightarrow \widehat{A1}=\widehat{QPG}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \widehat{C1}=\widehat{QPG}$

⇒AP //DM hay GH // EF

Xét tứ giác EFGH có:

HE // GF (cmt)

GH // EF (cmt)

⇒EFGH là hình bình hành (1)

Xét tam giác BFC, có:

$\widehat{B2}+\widehat{C2}=\frac{\widehat{ABC}}{2}+\frac{\widehat{BCD}}{2}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{BCD}}{2}$

Mà $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180$(hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{B2}+\widehat{C2}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{BFC}=180^{\circ}-(\widehat{B2}+\widehat{C2})=90^{\circ}$ hay $\Rightarrow \widehat{EFG}=90^{\circ}$

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Bài tập 3.36 trang 73 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Một khung tre hình chữ nhật có lắp đinh vít tại bốn đỉnh. Khi khung tre này bị xô lệch (do các đinh vít bị lỏng), các góc không còn vuông nữa thì khung đó là hình gì? Tại sao? Hỏi khi nẹp thêm một đường chéo vào khung đó thì nó còn bị xô lệch không?

Hướng dẫn trả lời:

Khi khung tre này bị xô lệch (do các đinh vít bị lỏng), các góc không còn vuông nữa thì khung đó là hình bình hành (do hình bình có 1 góc vuông thì là hình chữ nhật)

Khi nẹp thêm một đường chéo vào khung đó thì nó không còn bị xô lệch do khung đã được cố định bởi đường chéo nẹp thêm

Bài tập 3.37 trang 73 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Gọi Ou và Ov lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù xOy và x'Oy; A là một điểm khác O trên tia Ox. Gọi B và C là chân đường vuông góc hạ từ A lần lượt xuống đường thẳng chứa Ou và Ov. Hỏi tứ giác OBAC là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $\widehat{uOv}$ là góc tạo bởi hai đường phân giác của hai góc kề bù $\Rightarrow \widehat{uOv}=90^{\circ}$

Xét tứ giác OBAC ta có: $\widehat{OCA}=\widehat{BOC}=\widehat{OBA}=90^{\circ}$ nên OBAC là hình chữ nhật

Bài tập 3.38 trang 73 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N. Chứng minh DM + BN = MN

Hướng dẫn trả lời:

Gọi giao điểm của AE và MN là H

Xét tam giác vuông AMD và AMH ta có:

AM chung

$\widehat{A1}=\widehat{A2}$

Suy ra $\Delta AMD=\Delta AMH$ (ch - gn) $\Rightarrow DM=MH, AD=AH$

Xét tam giác vuông ANH và ANB ta có:

AN chung

AH = AB ( do cùng = AD)

Suy ra $\Delta ANH=ANB$ (ch - cgv) $\Rightarrow NH =  BN$

Ta có $DM = MH, NH = BN \Rightarrow DM+BN=MH+NH=MN$