Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới bài 35 Định lý Pythagore và ứng dụng

I. Hoạt động hoàn thành kiến thức

1. Định lý Pythagore

Hoạt động 1 trang 93 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông $AB=3cm, AC=4cm$ (H.9.31). Hãy đo độ dài cạnh BC và so sánh hai đại lượng $AB^{2}+AC^{2}$ với $BC^{2}$

 Hướng dẫn giải

- Đo độ dài có $BC=5cm$

- Có $AB^{2}+AC^{2}=3^{2}+4^{2}=25$

với $BC^{2}=5^{2}=25$

=> $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$

Hoạt động 2 trang 93 Toán 8 tập 2 KNTT. Lấy giấy trắng cắt bốn tam giác vuông bằng nhau. Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của các tam giác vuông này. Cắt một hình vuông bằng tấm bìa có cạnh dài $a+b$. Dán bốn tam giác vuông lên tấm bìa như Hình 9.32

- Dùng ê ke kiểm tra phần bìa không bị che lấp có phải là hình vuông cạnh bằng c không. Từ đó tính diện tích phần bìa này theo c

- Tổng diện tích bốn tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông a, b là bao nhiêu?

- Diện tịch cả tấm bìa hình vuông cạnh a+ b bằng bao nhiêu?

- So sánh $c^{2}+2ab$ với $(a+b)^{2}$ để rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa hai đại lượng $c^{2}$ và $a^{2}+b^{2}$

 Hướng dẫn giải

- Phần bìa bị che lấp là hình vuông cạnh c. Diện tích của hình vuông là: $c^{2}$

- Diện tích tấm bìa hình vuông là là: $(a+b)^{2}$ 

=> Diện tích bốn tam giác vuông là: $(a+b)^{2}-c^{2}$

Luyện tập 1 trang 95 Toán 8 tập 2 KNTT. Trên giấy kẻ ô vuông (cạnh ô vuông bằng 1 cm), cho các điểm A, B, C như Hình 9.35. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

 Hướng dẫn giải

Từ A kẻ AM sao cho AM ⊥ MB

Tử C kẻ CM sao cho CN ⊥ NB

Từ C kẻ EC sao cho EC ⊥ EA

- Xét ΔAMB có AM ⊥ MB 

=> ΔAMB là tam giác vuông

=> $AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}$

=> $AB^{2}=10^{2}+15^{2}$

=> $AB=5\sqrt{13}$ cm

- Xét ΔBNC có CN ⊥ NB

=> ΔBNC là tam giác vuông tại N

=> $BC^{2}=NB^{2}+NC^{2}$

=> $BC^{2}=15^{2}+5^{2}$

=> $BC=5\sqrt{10} cm$

- Xét ΔAEC có EC ⊥ EA

=> ΔAEC là tam giác vuông tại E

=> $AC^{2}=EA^{2}+EC^{2}$

=> $AC^{2}=5^{2}+10^{2}$

=> $AC=5\sqrt{5} cm$

2. Ứng dụng của định lý Pythagore

Luyện tập 2 trang 95 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác vuông với kích thước như Hình 9.37. Hãy tính độ dài x và cho biết những tam giác nào đồng dạng, viết đúng kí hiệu đồng dạng 

 Hướng dẫn giải

Những tam giác đồng dạng là 

- Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là 1

- Tam giác MPN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$

- Tam giác MPN đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$

Vận dụng trang 96 Toán 8 tập 2 KNTT. Để đón được một người khách, một xe taxi xuất phát từ vị trí điểm A, chạy dọc một con phố dài 3km đến điểm B thì rẽ vuông góc sang trái, chạy được 3km đến điểm C thì tài xế cho xe rẽ vuông góc sang phải, chạy 1km nữa thì gặp người khách tại điểm D (H.9.38). Hỏi lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khác là bao nhiêu kilômét

 Hướng dẫn giải

Có$BC=AM=3km$

     $AB=CM=3km$

=> MD=CM+CD=3+1=4(km)$

Xét tam giác AMD vuông tại M

=> $AD^{2}=AM^{2}+MD^{2}$

=> $AD^{2}=3^{2}+4^{2}$

=> $AD=5$

Vậy lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khách là 5km

Luyện tập 3 trang 96 Toán 8 tập 2 KNTT. Trước đây chúng ta thừa nhận định lí về trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam giác vuông: "Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau 

 Hướng dẫn giải

- Xet tam giác ABC vuông tại A, có

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ (1)

- Xét tam giác A'B'C' vuông tại A' có:

$B'C'^{2}=A'B'^{2}+A'C'^{2}$ (2)

mà $AB=A'B'$, $BC=B'C'$ (3)

=> Từ (1), (2), (3): $AC=A'C'$

=> Hai tam giác bằng nhau

II. Vận dụng giải bài tập

Giải bài tập 9.17 trang 97 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai 

a) $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

b) $BC^{2}-AC^{2}=AB^{2}$

c) $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$

d) $BC^{2}-AB^{2}=AC^{2}$

 Hướng dẫn giải

Khẳng định b, d đúng

Khẳng định a, c sai 

Bài tập 9.18 trang 97 Toán 8 tập 2 KNTT. Những bộ ba số đo nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông

a) $1 cm, 1cm, 2cm$

b) $2 cm, 4 cm, 20 cm$

c) $5 cm, 4 cm, 3 cm$

d) $2 cm, 2 cm, 2\sqrt{2} cm$

 Hướng dẫn giải

Đáp án c và d

Bài tập 9.19 trang 97 Toán 8 tập 2 KNTT. Tính độ dài x, y, z, t trong Hình 9.43

- $x^{2}=4^{2}+2^{2}=20$ => $x=2\sqrt{5}$

- $y^{2}=5^{2}-4^{2}=9$ => $y=3$

- $z^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=25$ => $z=5$

- $t^{2}=1^{2}+2^{2}=5$ => $t=\sqrt{5}$

Bài tập 9.20 trang 97 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, chiều cao $AH=3cm$ và cạnh đáy $BC=10cm$. Hãy tính độ dài các cạnh bên AB, AC

 Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC cân tại A => $AB=AC$, $HB=HC=5cm$

Xét tam giác AHB vuông tại H có

$AB^{2}=AH^{2}+HB^{2}=3^{2}+5^{2}=34$

=> $AB=\sqrt{34}cm$

Bài tập 9.21 trang 97 Toán 8 tập 2 KNTT. Hãy tính diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 8cm và đường chéo dài 17cm

 Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ 

Xét tam giác ABC vuông tại B, có

 $BC^{2}=AC^{2}-AB^{2}=17^{2}-8^{2}=225$

=> $BC=15(cm)$

=> Diện tích của hình chữ nhật là: $AB.BC=8.15=120(cm^{2})$

Bài tập 9.22 trang 97 Toán 8 tập 2 KNTT. Chú cún bị xích bởi một sợi dây dài 6m để canh một mảnh vườn giới hạn bởi các điểm A, B, E, F, D trong hình vuông ABCD có cạnh 5m như Hình 9.44. Đầu xích buộc cố định tại điểm A của mảnh vườn. Hỏi chú cún có thể chạy đến tất cả các điểm của mảnh vườn mình phải canh không

 Hướng dẫn giải

- Xét tam giác ABE vuông tại B, có 

 $AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}=5^{2}+3^{2}=34$

=> $AE=\sqrt{34}(m)$

=> Chú chó có thể chạy đến điểm E do khoảng cách AE ngắn hơn sợi dây

- Xét tam giác ADF vuông tại D, có 

 $AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}=5^{2}+4^{2}=41$

=> $AE=\sqrt{41}(m)$

=> Chú chó không thể chạy đến điểm F do khoảng cách AF dài hơn sợi dây

- Xét tam giác ADC vuông tại D, có 

 $AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}=5^{2}+5^{2}=50$

=> $AE=5\sqrt{2}(m)$

=> Chú chó không thể chạy đến điểm C do khoảng cách AC dài hơn sợi dây

Vậy chú chó không thể chạy hết tất cả các điểm của mảnh vườn. Chú chó chỉ có thể chạy đến điểm B, D, E