Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới bài 11: Hình thang cân

1. Hình thang. Hình thang cân

Luyện tập 1 trang 53 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB // CD, biết $\widehat{C}=40^{\circ} $ (H.3.15)

Hướng dẫn trả lời:

Xét hình thang cân ABCD ta có: $\widehat{D}=\widehat{C}=40^{\circ}$

$\widehat{A}=\widehat{B}=\frac{360^{\circ} -80^{\circ} }{2}=140^{\circ}$

2. Tính chất của hình thang cân

Hoạt động 1 trang 53 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho hình thang cân ABCD, AB // CD và AB < CD (H.3.16).

a) Từ A và B kẻ $AH\perp  DC, BI \perp DC, H\in  CD, I \in CD$. Chứng minh rằng AH = BI bằng cách chứng minh $\Delta AHI=\Delta IBA$

b) Chứng minh $\Delta AHD=\Delta BIC$, từ đó suy ra AD = BC

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác vuông AHI và IBA ta có:

AI chung

$\widehat{AIH}=\widehat{IAB}$ (so le trong)

Suy ra, $\Delta AHI=\Delta IBA$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AH = BI$

b) Xét tam giác AHD và BIC ta có:

AH = BI

$\widehat{ADH}=\widehat{BCI}$ 

Suy ra, $\Delta AHD=\Delta BIC$

$\Rightarrow AD = BC$

Luyện tập 2 trang 53 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18.

Biết rằng $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{D1}$

Chứng minh rằng AD = BC

Hướng dẫn trả lời:

Xét tứ giác ABCD, ta có: $\widehat{A}=\widehat{D1}$(hai góc đồng vị) suy ra AB // DC $\Rightarrow $ ABCD là hình thang

Lại có $\widehat{A}=\widehat{B}$ suy ra hình thang ABCD cân $\Rightarrow $ AD = BC

Hoạt động 2 trang 54 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19). Hãy chứng minh $\Delta ACD=\Delta BDC$. Từ đó suy ra AC = BD.

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ACD và BDC, ta có:

AD = BC

$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

DC chung

Suy ra, $\Delta ACD=\Delta BDC$ (c.g.c) $\Rightarrow AC = BD$

Luyện tập 3 trang 54 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (H.3.20).

a) Tứ giác DECB là hình gì?

b) Chứng minh BE = CD.

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tứ giác DECB có: DE // BC, $\widehat{DBC}=\widehat{ECB}$ suy ra DECB là hình thang cân

b) DECB là hình thang cân, BE và CD là hai đường chéo của hình thang suy ra BE = CD

Bài tập

Bài tập 3.4 trang 55 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Hình thang trong Hình 3.23 có là hình thang cân không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

$\widehat{D}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\neq \widehat{C}$ suy ra ABCD không là hình thang cân

Bài tập 3.5 trang 55 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân

Hướng dẫn trả lời:

Gọi giao điểm của AC và BD là H

Xét tam giác vuông ECH và EDH, ta có:

EH chung

EC = ED (gt)

Suy ra $\Delta ECH=\Delta EDH$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông) $\Rightarrow CH = DH$ (1)

Ta có $\widehat{CEH}=\widehat{DEH}$ (do $\Delta ECH=\Delta EDH$ ) suy ra EH là tia phân giác của tam giác cân ECD $\Rightarrow EH\perp CD\Rightarrow  EH\perp AB$ (do AB//CD)

Gọi giao điểm của EH và AB là K

$\Delta ECH=\Delta EDH\Rightarrow \widehat{EHC}=\widehat{EHD}\Rightarrow \widehat{BHK}=\widehat{AHK}$

Xét tam giác vuông BHK và AHK ta có:

HK chung

$\widehat{BHK}=\widehat{AHK}$

Suy ra $\Delta BHK=\Delta AHK$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề) $\Rightarrow BH = AH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC = BD $\Rightarrow $hình thang ABCD là hình thang cân

Bài tập 3.6 trang 55 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Vẽ hình thang cân ABCD (AB // CD) biết đáy lớn CD dài 4 cm, cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm

Hướng dẫn trả lời:

- Vẽ đáy lớn CD = 4 cm

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 3 cm, cung tròn tâm D bán kính 2 cm, giao điểm của 2 cung tròn là A

- Vẽ cung tròn tâm C bán kính 2 cm, cung tròn tâm D bán kính 3 cm, giao điểm của 2 cung tròn là B

Bài tập 3.7 trang 55 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD (AB// CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD. Chứng minh rằng EC = ED

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $\widehat{EAB}=\widehat{EBA}$ suy ra tam giác EAB cân $\Rightarrow EA=EB$

Xét tam giác EAD và EBC ta có:

EA = EB

$\widehat{EAD}=\widehat{EBC}$

AD = BC

Suy ra $\Delta EAD=\Delta EBC$ (c.g.c) $\Rightarrow EC=ED$

Bài tập 3.8 trang 55 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Hình thang cân ABCD (AB // CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:

AD = BC (tính chất hình thang)

CD chung

AC = BD (do ABCD là hình thang cân)

Do đó, ∆ACD = ∆BDC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ hay $\widehat{JCD}=\widehat{JDC}$

⇒ Tam giác JCD cân tại I.

Do đó JD = JC (1)

Tam giác ICD có hai góc ở đáy bằng nhau $\widehat{C}=\widehat{D}$ nên tam giác ICD cân tại I

⇒ ID = IC (2)

Từ (1) và (2) suy ra IJ là đường trung trực của CD.

Chứng minh tương tự có JA = JB, IA = IB

Suy ra J và I cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó, IJ là đường trung trực của AB.