Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới bài 34 Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

I. Hoạt động hoàn thành kiến thức

1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Hoạt động 1 trang 83 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}$

a) Nếu $A'B=AB$ thì hai tam giác có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Nếu $A'B < AB$ như Hình 9.11. Trên đoạn thẩng AB lấy điểm M sao cho $AM=A'B'$. Kẻ đường thẳng qua M song song với BC và cắt AC tại N

- Hãy giải thích vì sao ΔAMN ~ ΔABC

- Hãy chứng tỏ rằng $AN=A'C'$, $MN=B'C'$ để suy ra ΔAMN = ΔA'B'C' (c.c.c)

- Hai tam giác A'B'C' và ABC có đồng dạng với nhau không? Nếu có, em hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng giữa chúng.

c) Nếu A'B' > AB thì tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Vì sao?

 Hướng dẫn giải

a)  Nếu $A'B'=AB$ thì tam giác có đồng dạng. Vì $A'B'=AB$ => $A'C'=AC$ => $B'C'=BC$ => $\widehat{A}=\widehat{A'}$, $\widehat{B}=\widehat{B'}$, $\widehat{C}=\widehat{C'}$

=> Hai tam giác đồng dạng

b) MN // BC ( $M∈AB,N∈AC$) => $\Delta AMN$ ~ $\Delta ABC$ 

=> $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

mà $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}$

=> $\frac{A'B'}{AM}=\frac{A'C'}{AN}=\frac{B'C'}{MN}$

- Có $AM=A'B'$ => $A'C'=AN$ => $B'C'=MN$ 

=>  ΔAMN = ΔA'B'C'

=>  ΔAMN ~ ΔA'B'C'

Mà $\Delta AMN$ ~ $\Delta ABC$ 

=> $\Delta ABC$ ~ $\Delta A'B'C'$ 

c) Nếu A'B' > AB thì tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC. Vì $\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}$ 

Luyện tập 1 trang 85 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27cm. Biết rằng AB=4cm, BC=6cm, DE=6cm, FD=12cm. Chứng minh  ΔABC ~ ΔDEF

 Hướng dẫn giải

Vì chu vi tam giác ABC bằng 18cm

=> $AB+AC+BC=18$ => $4+AC+6=18$ => $AC=8$ (cm)

Vì chu vi tam giác DEF bằng 27cm

=> $DE+EF+DF=27$ => $6+EF+12=27$ => $EF=9$ (cm)

Ta thấy $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$

            $=\frac{4}{6}=\frac{8}{12}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

=> ΔABC ~ ΔDEF

2. Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác 

Hoạt động 2 trang 85 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có độ dài các cạnh (theo đơn vị cm) như Hình 9.15. Biết rằng $\widehat{A}=\widehat{A'}$

- So sánh các tỉ số $\frac{A'B'}{AB}$, $\frac{A'C'}{AC}$

- Dùng thước có vạch chia đo độ dài BC, B'C' và tính tỉ số $\frac{B'C'}{BC}$

- Theo em, tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

 Hướng dẫn giải

- Có $\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{2}{3}$

- Có $\frac{B'C'}{BC} = \frac{2}{3}$

- Tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC và đồng dạng với tỉ số $\frac{2}{3}$

Luyện tập 2 trang 87 Toán 8 tập 2 KNTT Cho ΔA'B'C' ~ ΔABC. Trên tia đối của các tia CB, C'B' lần lượt lấy các điểm M, M' sao cho $\frac{MC}{MB}=\frac{M'C'}{M'B'}$. Chứng minh rằng  ΔA'B'M' ~ ΔABM

 Hướng dẫn giải

Có $\frac{MC}{MB}=\frac{M'C'}{M'B'}$

=> $\frac{MB-BC}{MB}=\frac{M'B'-B'C'}{M'B'}$

=> $1-\frac{BC}{MB}=1-\frac{B'C'}{M'B'}$

=> $\frac{BC}{MB}=\frac{B'C'}{M'B'}$

=> $\frac{M'B'}{MB}=\frac{B'C'}{BC}$ (1)

Vì $\Delta A'B'C' \sim \Delta ABC$

=> $\widehat{B}=\widehat{B'}$

$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{M'B'}{MB}=\frac{A'B'}{AB}$

Xét tam giác ABM và tam giác A'B'M' có

$\widehat{B}=\widehat{B'}, \frac{M'B'}{MB}=\frac{A'B'}{AB}$

=> $\Delta ABM\sim  \Delta A'B'M'$

3. Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Hoạt động 3 trang 88 Toán 8 tập 2 KNTT: Bạn Tròn đang đứng ở vị trí điểm A bên bờ sông và nhờ anh Pi tính giúp khoảng cách từ chỗ mình đứng đến chân một cột cờ tại điểm C bên kia sông (H.9.20a). Anh Pi lấy một vị trí B sao cho $AB=10m$, $\widehat{ABC}=70°$, $\widehat{BAC}=80°$ và vẽ một tam giác A'B'C' trên giấy với $A'B'=2cm$, $\widehat{A'B'C'}=70°$, $\widehat{B'A'C'}=80°$ (H.9.20b)

Em hãy dự đoán xem tam giác A'B'C' có đồng dạng với tam giác ABC không? nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu

 Hướng dẫn giải

 Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{5}$

Hoạt động 4 trang 88 Toán 8 tập 2 KNTT: Nếu $\Delta ABC$ ~ $\Delta A'B'C'$ và anh Pi đo được $A'C'=3,76$cm thì khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là bao nhiêu mét? 

 Hướng dẫn giải

Luyện tập 3 trang 89 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho các điểm A, B, C, D như Hình 9.24. Biết rằng $\widehat{ABC}=\widehat{ADB}$. Hãy chứng minh $\Delta ABC$ ~ $\Delta ADB$  và $AB^{2}=AD.AC$

 Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC và tam giác ADB có 

$\widehat{ABC}=\widehat{ADB}$ và $\widehat{A}$ chung

=> ΔABC ~ ΔADB (g.g)

=> $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$

=> $AB^{2}=AD.AC$

II. Vận dụng giải bài tập

Bài tập 9.5 trang 90 Toán 8 tập 2 KNTT: Khẳng đinh nào sau đây chứng tỏ hai tam giác đồng dạng?

a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia

b) Hai cạnh của tam giá này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau

c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia

d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia

 Hướng dẫn giải

Khẳng định a chứng tỏ hai tam giác đồng dạng 

Bài tập 9.6 trang 90 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4cm, 8cm và 10cm. Tam giác thứ hai có chu vi là 33cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứu hai là bộ ba nào sau đây?

a) 6cm, 12cm, 15cm                         b) 8cm, 16cm, 20cm

c) 6cm, 9cm, 18cm                           d) 8cm, 10cm, 15cm

 Hướng dẫn giải

Có chu vi tam giác là: a+b+c=33cm => loại phương án b

Xét phương án a, nhận thấy $\frac{4}{6}=\frac{8}{12}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$

=> phương án a là phương án đúng

Bài tập 9.7 trang 90 Toán 8 tập 2 KNTT: Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng $\Delta A'B'C'$ ~ $\Delta ABC$ 

Chứng minh rằng  $\frac{A'M'}{AM}=\frac{B'N'}{BN}=\frac{C'P'}{CP}$

 Hướng dẫn giải

Vì $\Delta A'B'C'$ ~ $\Delta ABC$ 

=> $\Delta A'M'B'$ ~ $\Delta AMB$ 

=> $\frac{A'M'}{AM}=\frac{A'B'}{AB}$ (1)

 Vì $\Delta A'B'C'$ ~ $\Delta ABC$ 

=> Vì $\Delta A'B'N'$ ~ $\Delta ABN$ 

=> $\frac{B'N'}{BN}=\frac{A'B'}{AB}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{A'M'}{AM}=\frac{B'N'}{BN}$ (3)

 Vì $\Delta A'B'C'$ ~ $\Delta ABC$ 

=>  Vì $\Delta A'C'P'$ ~ $\Delta ACP$ 

=>  $\frac{C'P'}{CP}=\frac{A'C'}{AC}$ (4)

 Vì $\Delta A'B'C'$ ~ $\Delta ABC$ 

=> $\Delta A'M'C'$ ~ $\Delta AMC$ 

=> $\frac{A'M'}{AM}=\frac{A'C'}{AC}$ (5)

Từ (4) và (5) => $\frac{C'P'}{CP}=\frac{A'M'}{AM}$ (6)

Từ (3) và (6) =>  $\frac{A'M'}{AM}=\frac{B'N'}{BN}=\frac{C'P'}{CP}$

 Bài tập 9.8 trang 90 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho tam giác ABC có $AB=12cm$, $AC=5cm$. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $AM=10cm$, $AN=8cm$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ ~ $\Delta ANM$ 

 Hướng dẫn giải

Có  $AB=12cm$ , $AN=8cm$ => $\frac{AN}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

      $AC=5cm$,  $AM=10cm$ => $\frac{AM}{AC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$

=> $\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$

- Xét hai tam giác ABC và tam giác ANM, có

$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$, góc A chung

=> ΔABC ~ ΔANM' (c.g.c) 

Bài tập 9.9 trang 90 Toán 8 tập 2 KNTT. Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$

a) Chứng minh rằng ΔABN ~ ΔACM

b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng $IB.IN=IC.IM$

 Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABN và tam giác ACM

có góc A chung, $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$

=> ΔABN ~ ΔACM

b) Có ΔABN ~ ΔACM

$\widehat{ANB}=\widehat{AMC}$

Có $\widehat{ANB}+\widehat{CNB}=180°$

     $\widehat{AMC}+\widehat{BMC}=180°$

=> $\widehat{CNB}=\widehat{BMC}$

Xét tam giác IBM và tam giác ICN 

Có $\widehat{CNB}=\widehat{BMC}$ và $\widehat{IBM}=\widehat{ICN}$

  => ΔIBM ~ ΔICN (g.g)

=> $\frac{IB}{IC}=\frac{IM}{IN}$

=> $IB.IN=IC.IM$

Bài tập 9.10 trang 90 Toán 8 tập 2 KNTT. Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 3m và 2m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25), hãy tính độ cao h của điểm đó so với mặt đất

 Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ: 

- Có AB // CD

=> $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (2 góc so le trong)

     $\widehat{BDC}=\widehat{ABD}$ (2 góc so le trong)

- Xét hai tam giác ABE và tam giác CDE, có $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$, $\widehat{BDC}=\widehat{ABD}$

=>  ΔABE ~ ΔCDE

=> $\frac{CD}{AB}=\frac{CE}{AE}=\frac{2}{3}$

=> $\frac{CE}{AE}=\frac{2}{3}$ => $\frac{CE}{CA}=\frac{2}{5}$

- Xét hai tam giác CEF và tam giác CAB có EF // AB

=> ΔCEF ~ ΔCAB (theo định lý)

=> $\frac{FE}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{2}{5}$

=> $\frac{FE}{AB}=\frac{2}{5}$ => $\frac{FE}{3}=\frac{2}{5}$ => $EF=frac{6}{5}=1,2$ (m)

Vậy độ cao h là 1,2 m