Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới bài 23 Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

A. Hoạt động hình thành kiến thức 

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Hoạt động 1 trang 15 Toán 8 tập 2 KNTT: Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng: $\frac{2x+y}{x-y}+\frac{-x+3y}{x-y}$

Cộng các tử thức của hai phân thức đã cho.

Hướng dẫn giải

Cộng các tử thức của hai phân thức, ta có: $2x+y-x+3y=x+4y$

Hoạt động 2 trang 15 Toán 8 tập 2 KNTT: Viết phân thức có tử là tổng các tử thức và mẫu là mẫu thức chung ta được kết quả của phép cộng đã cho

Hướng dẫn giải

Có MTC=$x-y$ => Phân thức là $\frac{x+4y}{x-y}$

Luyện tập 1 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT: Tính các tổng sau:

a)$\frac{3x-1}{xy}+\frac{2x-1}{xy}$;

b)$\frac{3x}{x^{2}+1}+\frac{-3x+1}{x^{2}+1}$

Hướng dẫn giải 

a)$\frac{3x-1}{xy}+\frac{2x-1}{xy}=\frac{5x}{xy}$

b)$\frac{3x}{x^{2}+1}+\frac{-3x+1}{x^{2}+1}=\frac{1}{x^{2}+1}$

2. Cộng hai phân thức khác mẫu

Hoạt động 3 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT: Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng: $\frac{1}{x}+\frac{-1}{y}$

Hướng dẫn giải

Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho 

MTC=xy

Nhân tử phụ của x là: y

Nhân tử phụ của y là: x

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng có: $\frac{1}{x}=\frac{y}{xy}$ và $\frac{-1}{y}=\frac{-x}{xy}$

 Hoạt động 4 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT: 

Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức nhận được trong HĐ3 ta được kết quả phép cộng $\frac{1}{x}+\frac{-1}{y}$

Hướng dẫn giải

Có $\frac{y}{xy}+\frac{-x}{xy}=\frac{y-x}{xy}$

=> $\frac{1}{x}+\frac{-1}{y}=\frac{y-x}{xy}$

Luyện tập 2 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT: Tính tổng $\frac{5}{2x^{2}(6x+y)}+\frac{3}{5xy(6x+y)}$

Hướng dẫn giải

$\frac{5}{2x^{2}(6x+y)}+\frac{3}{5xy(6x+y)}$

$=\frac{10xy+6x^{2}}{2x^{2}5xy(6x+y)}$

3. Trừ hai phân thức

Hoạt động 5 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT: Trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức để tính $\frac{x-y}{x+1}-\frac{2x+3}{x+1}$

Hướng dẫn giải

$\frac{x-y}{x+1}-\frac{2x+3}{x+1}=\frac{-x-4}{x+1}$

Hoạt động 6 trang 16 Toán 8 tập 2 KNTT: Quy đồng mẫu thức của hai phân thức $\frac{1}{x+1}$ và $\frac{1}{x}$; trừ các tử thức nhận được và giữ nguyên mẫu thức chung để tính $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}$

Hướng dẫn giải

MTC=$x(x+1)$

Nhân tử phụ của $x+1$ là: $x$

Nhân tử phụ của $x$ là: $x+1$

=> Ta có $\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x(x+1)}$ và $\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x(x+1)}$

Trừ các tử thức của hai phân thức, có: $x-x-1=-1$ 

=> $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}=\frac{-1}{x(x+1)}$

Luyện tập 3 trang 17 Toán 8 tập 2 KNTT:Thực hiện các phép tính sau:

a)$\frac{3-2x}{x-1}-\frac{2+5x}{x-1}$

b)$\frac{1}{4x^{2}y}-\frac{1}{6xy^{2}}$

Hướng dẫn giải

a)$\frac{3-2x}{x-1}-\frac{2+5x}{x-1}=\frac{1-7x}{x-1}$

b)$\frac{1}{4x^{2}y}-\frac{1}{6xy^{2}}=\frac{3y}{12x^{2}y^{2}}-\frac{2x}{12x^{2}y^{2}}=\frac{3y-2x}{12x^{2}y^{2}}$

4. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số 

Luyện tập 4 trang 18 Toán 8 tập 2 KNTT: 

Rút gọn biểu thức $P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

Hướng dẫn giải

$P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

$P=\frac{1}{x}+\frac{-1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{-1}{y}+\frac{1}{z}=0+0+\frac{1}{z}=\frac{1}{z}$

Luyện tập 5 trang 18 Toán 8 tập 2 KNTT: Em hãy giải thích cách làm của Vuông trong tình huống mở đầu 

Rút gọn biểu thức: $P=\frac{x}{x+1}-\left [ \left ( \frac{1}{x-1}+\frac{x}{x+1} \right )-\frac{1}{x-1} \right ]$. Giải thích tại sao kết quả $P=0$

Hướng dẫn giải

Có $P=\frac{x}{x+1}- \frac{1}{x-1}+\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x-1}=0$

Giải vận dụng 3 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT

Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng 20km, xe chạy trong thành thành phố với vận tốc x(km/h) (x>0). Trên 50km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm 55km/h. Ra khỏi cao tốc, xe còn phải chạy thêm 15 phút thì về đến quê

a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên đường cao tốc

b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê 

Hướng dẫn giải

a) Phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố: $t1=\frac{20}{x}$ (giờ)

Phân thức biểu thị thời gian xe chạy trên đường cao tốc; $t2=\frac{50}{x+55}$ (giờ)

b)Phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê:

$t1+t2+\frac{1}{4}$

$=\frac{20}{x}+\frac{50}{x+55}+\frac{1}{4}$

$=\frac{80(x+55)+200x+x(x+55)}{4x(x+55)}$

$=\frac{x^{2}+335x+4400}{4x(x+55)}$

B.Vận dụng giải bài tập

Giải bài tập 6.20 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT: Thực hiện các phép tính

a) $\frac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}}+\frac{5x-1-x^{2}}{2x^{2}}$

b) $\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}$

c) $\frac{x}{2x-6}+\frac{9}{2x(3-x)}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x^{2}-3x+1}{2x^{2}}+\frac{5x-1-x^{2}}{2x^{2}}$

$=\frac{x^{2}-3x+1+5x-1-x^{2}}{2x^{2}}$

$=\frac{2x}{2x^{2}}$

b) $\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}$

$=\frac{y(x+y)+x(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

$=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)(x+y)}$

c) $\frac{x}{2x-6}+\frac{9}{2x(3-x)}$

$=\frac{x}{2(x-3)}-\frac{9}{2x(x-3)}$

$=\frac{x^{2}-9}{2x(x-3)}$

$=\frac{(x-3)(x+3)}{2x(x-3)}$

$=\frac{x+3}{2x}$

Bài tập 6.21 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT:

a)$\frac{5-3x}{x+1}-\frac{-2+5x}{x+1}$

b)$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}$

c)$\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{x^{3}+1}$

Hướng dẫn giải

a)$\frac{5-3x}{x+1}-\frac{-2+5x}{x+1}$

$=\frac{5-3x+2-5x}{x+1}=\frac{7-8x}{x+1}$

b)$\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}=\frac{x(x+y)-y(x+y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)(x+y)}$

c)$\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{x^{3}+1}$

$=\frac{3}{x+1}-\frac{2+3x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$=\frac{3(x^{2}-x+1)-2-3x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

$=\frac{3x^{2}-6x+1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

Bài tập 6.22 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT:

a)$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}$

b)$\frac{2x-1}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{3}{x^{2}-9}+\frac{1-2x}{x}+\frac{x-1}{2x+1}-\frac{3}{x+3}$

Hướng dẫn giải

a)$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}$

=$\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{2(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}$

=$\frac{2x-2-2x-2}{(x+1)(x-1)}=\frac{-4}{(x+1)(x-1)}$

b)$\frac{2x-1}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{3}{x^{2}-9}+\frac{1-2x}{x}+\frac{x-1}{2x+1}-\frac{3}{x+3}$

=$\frac{2x-1}{x}+\frac{1-2x}{x}+\frac{1-x}{2x+1}+\frac{x-1}{2x+1}+\frac{3}{x^{2}-9}-\frac{3}{x+3}$

=$\frac{3}{x^{2}-9}-\frac{3}{x+3}$

=$\frac{3}{(x-3)(x+3)}-\frac{3}{x+3}$

=$\frac{3-3(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

=$\frac{12-3x}{(x-3)(x+3)}$

 Bài tập 6.23 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT:

a)$\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}+\frac{x}{2-x}+\frac{4-x}{5x-10}$

b)$\frac{x}{x^{2}+1}-\left ( \frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4} \right )+\left [ \frac{3}{x+6}-\left ( \frac{1}{x^{2}+1}-\frac{x-2}{x+4} \right ) \right ]$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}+\frac{x}{2-x}+\frac{4-x}{5x-10}$

$=\frac{(x+2)^{2}}{(x-2)(x+2)}-\frac{x}{x-2}+\frac{4-x}{5(x-2)}$

$=\frac{x+2}{x-2}-\frac{x}{x-2}+\frac{4-x}{5(x-2)}$

$=\frac{5(x+2)-5x+4-x}{5(x-2)}$

$=\frac{-x+14}{5(x-2)}$

b) $\frac{x}{x^{2}+1}-\left ( \frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4} \right )+\left [ \frac{3}{x+6}-\left ( \frac{1}{x^{2}+1}-\frac{x-2}{x+4} \right ) \right ]$

$=\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{3}{x+6}-\frac{x-2}{x+4}+\frac{3}{x+6}-\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{x-2}{x+4}$

$=\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1}$

$=\frac{x-1}{x^{2}+1}$

Bài tập 6.24 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT:

a)$\frac{x-y}{xy}+\frac{y-z}{yz}+\frac{z-x}{zx}$

b)$\frac{x}{(x-y)^{2}}+\frac{y}{y^{2}-x^{2}}$

Hướng dẫn giải

a)$\frac{x-y}{xy}+\frac{y-z}{yz}+\frac{z-x}{zx}$

=$\frac{z(x-y)+x(y-z)+y(z-x)}{xyz}$

=$\frac{zx-zy+xy-xz+yz-xy}{xyz}=0$

b)$\frac{x}{(x-y)^{2}}+\frac{y}{y^{2}-x^{2}}$

$=\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{x^{2}-y^{2}}$

$=\frac{x}{(x-y)^{2}}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}$

$=\frac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^{2}(x+y)}$

$=\frac{x^{2}+xy-xy+y^{2}}{(x-y)^{2}(x+y)}$

$=\frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)^{2}(x+y)}$

 Giải bài tập 6.25 trang 19 Toán 8 tập 2 KNTT: 

Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 15km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 10km/h và vận tốc của dòng nước là x (km/h)

a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo x thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy

b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là 2km/h

Hướng dẫn giải

a) Thời gian xuôi dòng là: $t1=\frac{15}{10+x}$

    Thời gian ngược dòng là $t2=\frac{15}{10-x}$

b) Tổng thời gian tàu chạy là: $t1+t2=\frac{15}{10+x}+\frac{15}{10-x}$

Thay x=2 (km/h), ta có: $t1+t2=\frac{5}{4}+\frac{15}{8}=\frac{25}{8}$ (giờ)