Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới bài 16: Đường trung bình của tam giác

1. Định nghĩa đường trung bình của tam giác

2. Tính chất đường trung bình của tam giác

Hoạt động 1 trang 82 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15).Sử dụng định lí Thales đảo, chứng minh rằng DE // BC

Hướng dẫn trả lời:

Ta có:  D là trung điểm của AB nên $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$

E là trung điểm của AC nên $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ do đó DE // BC

Hoạt động 2 trang 82 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho DE là đường trung bình của tam giác ABC (H.4.15). Gọi F là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác DEFB là hình bình hành. Từ đó suy ra $DE=\frac{1}{2}BC$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có:  F là trung điểm của BC nên $\frac{BF}{BC}=\frac{1}{2}$

E là trung điểm của AC nên $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$ do đó EF // AB

Xét tứ giác DEFB ta có: DE // BF, EF // DB suy ra DEFB là hình bình hành $\Rightarrow DE=BF$ 

Mà $BF=\frac{1}{2}BC$ suy ra $DE=\frac{1}{2}BC$

Luyện tập trang 83 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC cân tại A, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tứ giác DECB là hình gì? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời:

ΔABC có: DA=DB(gt)  

                 EA=EC(gt)

=> DE là đường trung bình của ΔABC

=> DE//BC

Xét tứ giác BDEC có: DE//BC

=> Tứ giác BDEC là hình thang

Mà: $\widehat{B}=\widehat{C}$ (gt)

=> Tứ giác BDEC là hình thang cân

Bài tập

Bài tập 4.6 trang 83 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Tính các độ dài x, y trong Hình 4.18.

Hướng dẫn trả lời:

a) HK là đường trung bình suy ra $HK=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}x\Rightarrow x=6$

b) Ta có: $NM\perp AB,AC\perp AB\Rightarrow $ MN//AC

Mặt khác M là trung điểm AB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC 

Suy ra N là trung điểm BC $\Rightarrow $ y = BN = 5

Bài tập 4.7 trang 83 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang

b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC

suy ra MN // BC

Do đó tứ giác BMNC là hình thang

b) Ta có: MN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MN//BC và $MN=\frac{BC}{2}$

mà $BP=\frac{BC}{2}$

nên MN//BP và MN=BP

Xét tứ giác BMNP có 

MN//BP

MN=BP

Do đó: BMNP là hình bình hành

Bài tập 4.8 trang 83 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Lấy hai điểm D và E trên cạnh AB sao cho AD = DE = EB và D nằm giữa hai điểm A, E

a) Chứng minh DC // EM

b) DC cắt AM tại I. Chứng minh I là trung điểm của AM

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét ΔBDC có

E là trung điểm của BD(BE=ED; B,E,D thẳng hàng)

M là trung điểm của BC(gt)

Do đó: EM là đường trung bình của ΔBDC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒ ME//CD (Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

b) Xét ΔAEM có

D là trung điểm của AE(AD=DE; A,D,E thẳng hàng)

DI//EM(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AM (Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

nên AI=IM(đpcm)

Bài tập 4.9 trang 83 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng tứ giác AHOK là hình chữ nhật

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: OA = OB suy ra tam giác OAB cân tại B, OH là đường trung tuyến nên OH cũng là đường cao, do đó $\widehat{OHA}=90^{\circ}$

Tương tự, $\widehat{OKA}=90^{\circ}$

Xét tứ giác AHOK có: $\widehat{A}=\widehat{OKA}=\widehat{OHA}=90^{\circ}$ suy ra AHOK là hình chữ nhật