Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới bài 14: Hình thoi và hình vuông

1. Hình thoi

Hoạt động 1 trang 68 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O (H.3.48)

a) $\Delta ABD$ có cân tại A không?

b) AC có vuông góc với BD không và AC có là đường phân giác của góc A không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có AB = AD nên ABD là tam giác cân tại A

b) Ta có O là trung điểm của BD (do ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành) $\Rightarrow OB = OD$

Xet tam giác AOB và AOD ta có:

AO chung

OB = OD

AB = AD

$\Rightarrow \Delta AOB=\Delta AOD$ (c.c.c) $\Rightarrow \widehat{A1}=\widehat{A2}$

Suy ra AC là phân giác $\widehat{A}$

Mà tam giác ABD cân suy ra AC vuông góc với BD

Luyện tập 1 trang 69 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

Hình a) Vì là hình bình hành (có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường) có hai đường chéo vuông góc với nhau

2. Hình vuông

Hoạt động 2 trang 70 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Hãy giải thích tại sao hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau

Hướng dẫn trả lời:

Vì hình vuông có bốn góc vuông nên hình vuông cũng là hình chữ nhật nên có hai đường chéo bằng nhau.

Vì hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên hình vuông cũng là hình thoi nên có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Luyện tập 2 trang 71 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Với mỗi hình dưới đây, ta dùng dấu hiệu nhận biết nào để khẳng định đó là hình vuông?

Hướng dẫn trả lời:

a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

b) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông

c) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc

Bài tập

Bài tập 3.29 trang 71 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Tìm các hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55

Hướng dẫn trả lời:

Xét tứ giác EFGH ta có: hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường $\Rightarrow $EFGH là hình bình hành

Lại có $EG\perp FH\Rightarrow $EFGH là hình thoi

Xét tứ giác MNPQ ta có: các góc đều bằng $90^{\circ}\Rightarrow $MNPQ là hình chữ nhật

Lại có $MP\perp NQ\Rightarrow $ MNPQ là hình vuông

Bài tập 3.30 trang 72 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?

d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị tri nào trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?

Hướng dẫn trả lời:

a) Tứ giác AEDF là hình bình hành.

Vì có DE // AF, DF // AE (gt) (theo định nghĩa)

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A. Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.

Mà ABC là tam giác cân tại A nên D là trung điểm của BC.

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì là hình bình hành có một góc vuông).

d) Nếu ABC vuông tại A và D là trung điểm cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi).

Bài tập 3.31 trang 72 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi

Hướng dẫn trả lời:

* Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD

=> EH là đường trung bình của tam giác

$\Rightarrow EH=\frac{BD}{2}$ (1)

* Chứng minh tương tự, ta có:

$FG=\frac{BD}{2};EF=\frac{AC}{2};HG=\frac{AC}{2}$ (2)

* Lại có, ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: EF = FG = GH= HE

=> tứ giác EFGH là hình thoi.

Bài tập 3.32 trang 72 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh tring một hình thôi là các đỉnh của một hình chữ nhật

Hướng dẫn trả lời:

* Xét tam giác ABC có E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow EF//AC$ và $EF=\frac{AC}{2}$ (1)

* Tương tự tam giác ADC có HG là đường trung bình nên:

HG // AC và $HG=\frac{AC}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

=> tứ giác EFGH là hình bình hành.

Lại có: EF // AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF

EH // BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EH

Nên $\widehat{FEH}=90^{\circ}$

Hình bình hành EFGH có $\widehat{E}=90^{\circ}$ nên là hình chữ nhật

Bài tập 3.33 trang 72 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Biết rằng $MA\perp MD$. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD (H.3.56)

Hướng dẫn trả lời:

Gọi I là trung điểm AD

$\Rightarrow MI=\frac{AD}{2}$ (do $\Delta AMD$ vuông tại M)

Mà M là trung điểm BC nên :

MI = AB

$\Rightarrow AB=\frac{AD}{2}$

Mà AB + AD = $\frac{36}{2}$= 18 (cm)

Suy ra : $AB=\frac{18}{1+2}=6$ (cm)

$AD=\frac{18}{1+2}\times 2=12$(cm)