Giải chi tiết Toán 8 kết nối mới Bài tập cuối chương III

A. Trắc nghiệm

Bài tập 3.39 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Không có tứ giác nào mà không có góc tù.

B. Nếu tứ giác có ba góc nhọn thì còn lại là góc tù

C. Nếu tứ giác có hai góc tù thì hai góc còn lại phải nhọn

D. Không có tứ giác nào có ba góc tù.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

Bài tập 3.40 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình bình hành

b) Tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau là hình bình hành

c) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

d) Tứ giác có ba cạnh bằng nhau là hình thoi.

Hướng dẫn trả lời:

a) b) c) Sai

c) Đúng

Bài tập 3.41 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình chữ nhật

b) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành

c) Tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

d) Tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh còn lại bằng nhau là hình bình hành

Hướng dẫn trả lời:

a) b) c) Đúng

d) Sai

B. Tự luận

Bài tập 3.42 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình thang cân.

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABD và BAC ta có:

AB chung

AD = BC (gt)

BD = AC (gt)

Suy ra $\Delta ABD=\Delta BAC$ (c.c.c) $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{BAC}$

Xét tam giác ADC và BCD ta có:

AD = BC

DC chung

AC = BD

Suy ra $\Delta ADC=\Delta BCD$ (c.c.c) $\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{BDC}$

Gọi giao điểm của AC và BD là O

$\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$ suy ra tam giác OAB cân tại O $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{BAC}=\frac{180^{\circ}-\widehat{AOB}}{2}$

$\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ suy ra tam giác ODC cân tại O $\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{BDC}=\frac{180^{\circ}-\widehat{DOC}}{2}$

Mà $\widehat{AOB}=\widehat{DOC}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ , hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD, do đó ABCD là hình thang

Xét hình thang ABCD có AC = BD suy ra ABCD là hình thang cân

Bài tập 3.43 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm P trên tia AB sao cho AP = 2 AB.

a) Tứ giác BPCD có phải là hình bình hành không? Tại sao?

b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A, hãy tính số đo các góc của tứ giác BPCD.

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tứ giác BPCD ta có: BP // CD, BP = CD (cùng bằng AB) suy ra BPCD là hình bình hành

b) ABD vuông cân tại A suy ra AB = AD, do đó ABCD là hình vuông

Khi đó BD là phân giác $\widehat{ABC}\Rightarrow \widehat{DBC}=45\Rightarrow \widehat{DBP}=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$

$\widehat{PCD}=\widehat{DBP}=135^{\circ}$

$BD // PC\Rightarrow \widehat{BPC}=\widehat{ABD}=45^{\circ}$ (hai góc đồng vị)

$\widehat{BDC}=\widehat{BPC}=45^{\circ}$

Bài tập 3.44 trang 74 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.59)

a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau

b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật. Từ đó suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC

c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh rằng tứ giác AMCQ là một hình thoi

d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có là hình vuông không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $MP\perp AC,AB\perp AC\Rightarrow MP//AB\Rightarrow \widehat{CMP}=\widehat{B}$

Xet tam giác vuông CMP và MBN ta có:

CM = MB (gt)

$\widehat{CMP}=\widehat{B}$

Suy ra $\Delta CMP=\Delta MBN$ (ch - gn) 

b) Xét tứ giác APMN có $\widehat{P}=\widehat{A}=\widehat{N}=90^{\circ}\Rightarrow $APMN là hình chữ nhật

Xét tam giác ABC có: M là trung điểm AB, MP//AB $\Rightarrow $ P là trung điểm AC

Tương tự ta có: M là trung điểm AB, MN//AC $\Rightarrow $ N là trung điểm AB

c) Xét tứ giác AMCQ có: P là trung điểm MQ, P là trung điểm AC, $AC\perp MQ\Rightarrow $ AMCQ là hình thoi

d) Nếu ABC vuông cân tại A , AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao $\Rightarrow \widehat{AMC}=90^{\circ}$

Xét hình thoi AMCQ có $\widehat{AMC}=90^{\circ}$ suy ra AMCQ là hình vuông

Bài tập 3.45 trang 75 sgk Toán 8 tập 1 KNTT: Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N là chân đường vuông góc hạ từ B xuống ME (H.3.60)

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật

b) BK và NE cùng bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và AB (dù M thay đổi trên đường thẳng MC miễn là B nằm giữa M và C)

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tứ giác BKEN có: $\widehat{BKE}=\widehat{KEN}=\widehat{ENB}=90^{\circ}$

$\Rightarrow $ BKEN là hình chữ nhật

b) D là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB

Ta có BN // AC (do BKNE là hình chữ nhật)  $\Rightarrow \widehat{MBN}=\widehat{BCA}$ (hai góc đồng vị)

$\widehat{MBD}=\widehat{ABC}$ (đối đỉnh)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{BCA}$ (tam giác ABC cân tại A) suy ra $\widehat{MBN}=\widehat{MBD}$

Xét tam giác vuông MBD và MBN ta có:

AB chung

$\widehat{ABC}=\widehat{BCA}$

Suy ra $\Delta MBD=\Delta MBN$ (ch - gn)

$\Rightarrow $ MD = MN

Lại có: BK = NE = ME - MN $\Rightarrow BK =NE=ME-MD$