Giải chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều bài 2: Nhị thức Newton

I. Công thức nhị thức Newton

Hoạt động 1.

a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau:

$(a+3)^{3}=C_{3}^{?}a^{3-?}+C_{3}^{?}a^{3-?}b^{1}+C_{3}^{?}a^{3-?}b^{2}+C_{3}^{?}a^{3-?}b^{3}$

Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức $(a + b)^{3}$.

b) Xét biểu thức $(a + b)^{n}$.

Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức $(a + b)^{n}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $(a+b)^{3}=C_{3}^{0}a^{3-0}+C_{3}^{1}a^{3-1}b^{1}+C_{3}^{2}a^{3-2}b^{2}+C_{3}^{3}a^{3-3}b^{3}$

Mỗi số hạng trong khai triển biểu thức $(a + b)^{3}$ đều có dạng $C_{3}^{k}a^{3-k}b^{k}$

b) Cũng như thế, mỗi số hạng trong khai triển biểu thức $(a + b)^{n}$ đều có dạng $C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$

Luyện tập 1. Khai triển biểu thức $(x + 2)^{7}$.

Hướng dẫn trả lời:

$(x+2)^{7}=x^{7}+C_{7}^{1}x^{6}2+C_{7}^{2}x^{5}2^{2}+C_{7}^{3}x^{4}2^{3}+C_{7}^{4}x^{3}2^{4}$$+C_{7}^{5}x^{2}2^{5}+C_{7}^{6}x2^{6}+2^{7}$

Luyện tập 2. Cho n ∈ ℕ*. Chứng minh $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=2^{n}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có:

$(x+1)^{n}=C_{n}^{0}x^{n}+C_{n}^{1}x^{n-1}\times 1+C_{n}^{2}x^{n-2}\times 1^{2}+...+C_{n}^{n-1}x\times 1^{n-1}+C_{n}^{n}\times 1^{n}$

$=C_{n}^{0}x^{n}+C_{n}^{1}x^{n-1}+C_{n}^{2}x^{n-2}+...+C_{n}^{n-1}x+C_{n}^{n}$

Cho x =1, ta được:

$(1+1)^{n}=C_{n}^{0}1^{n}+C_{n}^{1}1^{n-1}+C_{n}^{2}1^{n-2}+...+C_{n}^{n-1}1+C_{n}^{n}$

$=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}$

Vậy $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=(1+1)^{n}=2^{n}$

II. Tam giác Pascal

Hoạt động 2. 

Ta đã biết:

$(a+b)^{2}=C_{2}^{0}a^{2}+C_{2}^{1}ab+C_{2}^{2}b^{2}$

$(a+b)^{3}=C_{3}^{0}a^{3}+C_{3}^{1}a^{2}b+C_{3}^{2}ab^{2}+C_{3}^{3}b^{3}$

$(a+b)^{4}=C_{4}^{0}a^{4}+C_{4}^{1}a^{3}b+C_{4}^{2}a^{2}b^{2}+C_{4}^{3}ab^{3}+C_{4}^{4}b^{4}$

$(a+b)^{5}=C_{5}^{0}a^{5}+C_{5}^{1}a^{4}b+C_{5}^{2}a^{3}b^{2}+C_{5}^{3}a^{2}b^{3}+C_{5}^{4}ab^{4}+C_{5}^{5}b^{5}$

Ta sắp xểp những hệ số tổ hợp ở trên như sau:

Nêu phép toán để từ hai số hạng của dòng trên suy ra được số hạng tương ứng (thể hiện ở mũi tên ↓) ở dòng dưới trong bảng các hệ số nói trên.

Hướng dẫn trả lời:

Tổng của hai số hạng của dòng trên bằng số hạng tương ứng ở dòng dưới.

Luyện tập 3. Sử dụng tam giác Pascal để khai triển:

a) $(x + y)^{7}$;

b) $(x – 2)^{7}$.

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác Pascal ứng với n ≤ 7 là:

a) $(x+y)^{7}=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}$

b) $(x-2)^{7}$

$=x^{7}+7x^{6}(-2)+21x^{5}(-2)^{2}+35x^{4}(-2)^{3}+35x^{3}(-2)^{4}+21x^{2}(-2)^{5}+7x(-2)^{6}+(-2)^{7}$

$=x^{7}-14x^{6}+84x^{5}-280x^{4}+560x^{3}-672x^{2}+448x-128$

III. Hệ số trong khai triển nhị thức Newton

1. Sự biến thiên của dãy hệ số trong khai triển nhị thức $(a+b)^{n}$

Hoạt động 3. Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức $(a + b)^{4}$ ( Hình 7a) và nhị thức $(a + b)^{5}$ (Hình 7b) sau:

a) So sánh từng cặp hệ số $C_{4}^{0}$ và $C_{4}^{4};C_{4}^{1}$ và $C_{4}^{3}$ ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số $C_{5}^{0}$ và $C_{5}^{5};C_{5}^{1}$ và $C_{5}^{4};C_{5}^{2}$ và $C_{5}^{3}$ ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số:

$C_{4}^{0} C_{4}^{1} C_{4}^{2} C_{4}^{3} C_{4}^{4}$ (trong khai triển (a + b)$^{4}$)

$C_{5}^{0} C_{5}^{1} C_{5}^{2} C_{5}^{3} C_{5}^{4} C_{5}^{5}$ (trong khai triển (a + b)$^{5}$)

Hướng dẫn trả lời:

a) $C_{4}^{0}=1=C_{4}^{4};C_{4}^{1}=4=C_{4}^{3}$

$C_{5}^{0}=1=C_{5}^{5};C_{5}^{1}=5=C_{5}^{4};C_{5}^{2}=10=C_{5}^{3}$

b) Dãy $C_{4}^{0} C_{4}^{1} C_{4}^{2} C_{4}^{3} C_{4}^{4}$ tăng từ $C_{4}^{0}$ đến $ C_{4}^{2}$ rồi giảm từ $ C_{4}^{2}$ đến $ C_{4}^{4}$

Dãy $C_{5}^{0} C_{5}^{1} C_{5}^{2} C_{5}^{3} C_{5}^{4} C_{5}^{5}$ tăng từ $C_{5}^{0}$ đến $ C_{5}^{2}, C_{5}^{2}=C_{5}^{3}$ rồi giảm từ $ C_{5}^{3}$ đến $ C_{5}^{5}$

Luyện tập 4. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)$^{2022}$;

b) (a + b)$^{2023}$.

Hướng dẫn trả lời:

Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)$^{n}$ tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên:

a) Hệ số lớn nhất của (a + b)$^{2022}$ là $C_{2022}^{1011}$

b) Hệ số lớn nhất của (a + b)$^{2023}$ là $C_{2023}^{1011}$ và $C_{2023}^{1012}$

2. Hệ số của x$^{k}$ trong khai triển (ax+b)$^{n}$ thành đa thức

Hoạt động 4. Quan sát khai triển nhị thức:

$(ax+b)^{n}=C_{n}^{0}(ax)^{n}+C_{n}^{1}(ax)^{n-1}b+C_{n}^{2}(ax)^{n-2}b^{2}+...+C_{n}^{n-1}(ax)b^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}$

$=C_{n}^{0}a^{n}x^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bx^{n-1}+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}x^{n-2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}x+C_{n}^{n}b^{n}$

Nêu công thức tính của $x^{k}$ trong khai triển trên.

Hướng dẫn trả lời:

Hệ số của $x^{k}$ trong khai triển trên là $C_{n}^{n-k}a^{k}b^{n-k}$với k ∈ ℕ, k ≤ n, n ∈ ℕ*.

Luyện tập 5. Xét khai triển của (x + 5)4^{15}$.

a) Nêu số hạng chứa x$^{7}$, từ đó nêu hệ số của x$^{7}$.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ak của x$^{k}$ với 0 ≤ k ≤ 15.

Hướng dẫn trả lời:

a) Số hạng chứa x$^{7}$ là $C_{15}^{5}x^{7}x^{5}$. Hệ số của x$^{7}$ là $C_{15}^{5}5^{5}$

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $C_{15}^{15-k}x^{k}5^{15-k}$ Hệ số của xk là $C_{15}^{15-k}5^{15-k}$

Bài tập

Bài tập 1. Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)$^{6}$;

b) (x – 3y)$^{6}$;

c) (x – 1)$^{n}$;

d) (x + 2)$^{n}$;

e) (x + y)$^{2n}$;

g) (x – y)$^{2n}$;

trong đó n lả số nguyên dương.

Hướng dẫn trả lời:

a) $(2x+y)^{6}$

$=C_{6}^{0}(2x)^{6}+C_{6}^{1}(2x)^{5}y+C_{6}^{2}(2x)^{4}y^{2}+C_{6}^{3}(2x)^{3}y^{3}+C_{6}^{4}(2x)^{2}y^{4}+C_{6}^{5}(2x)y^{5}+C_{6}^{6}y^{6}$

$=2^{6}x^{6}+C_{6}^{1}2^{5}x^{5}y+C_{6}^{2}2^{4}x^{4}y^{2}+C_{6}^{3}2^{3}x^{3}y^{3}+C_{6}^{4}2^{2}x^{2}y^{4}+C_{6}^{5}2xy^{5}+C_{6}^{6}y^{6}$

b) $(x-3y)^{6}=[x+(-3y)]^{6}$

$=C_{6}^{0}x^{6}+C_{6}^{1}x^{5}(-3y)+C_{6}^{2}x^{4}(-3y)^{2}+C_{6}^{3}x^{3}(-3y)^{3}+C_{6}^{4}x^{2}(-3y)^{4}+C_{6}^{5}x(-3y)^{5}+C_{6}^{6}(-3y)^{6}$

$=x^{6}-C_{6}^{1}3x^{5}y+C_{6}^{2}3^{2}x^{4}y^{2}-C_{6}^{3}3^{3}x^{3}y^{3}+C_{6}^{4}3^{4}x^{2}y^{4}+C_{6}^{5}3^{5}xy^{5}+3^{6}y^{6}$

c) $(x-1)^{n}=[x+(-1)]^{n}$

$=C_{n}^{0}x^{n}+C_{n}^{1}x^{n-1}(-1)+C_{n}^{2}x^{n-2}(-1)^{2}+...+C_{n}^{n-1}x(-1)^{n-1}+C_{n}^{n}(-1)^{n}$

$=x^{n}+C_{n}^{1}(-1)x^{n-1}+C_{n}^{2}(-1)^{2}x^{n-2}+...+C_{n}^{n-1}(-1)^{n-1}x+(-1)^{n}$

d) $(x+2)^{n}$

$=C_{n}^{0}x^{n}+C_{n}^{1}x^{n-1}2+C_{n}^{2}x^{n-2}2^{2}+...+C_{n}^{n-1}x2^{n-1}+C_{n}^{n}2^{n}$

 $=x^{n}+C_{n}^{1}2x^{n-1}+C_{n}^{2}2^{2}x^{n-2}+...+C_{n}^{n-1}2^{n-1}+2^{n}$

e) $(x+y)^{2n}$

$=C_{2n}^{0}x^{2n}+C_{2n}^{1}x^{2n-1}y+C_{2n}^{2}x^{2n-2}y^{2}+...+C_{2n}^{2n-1}xy^{2n-1}+C_{2n}^{2n}y^{2n}$

$=x^{2n}+C_{2n}^{1}x^{2n-1}y+C_{2n}^{2}x^{2n-2}y^{2}+...+C_{2n}^{2n-1}xy^{2n-1}+y^{2n}$

g) $(x-y)^{2n}$

$=C_{2n}^{0}x^{2n}+C_{2n}^{1}x^{2n-1}(-y)+C_{2n}^{2}x^{2n-2}(-y)^{2}+...+C_{2n}^{2n-1}x(-y)^{2n-1}+C_{2n}^{2n}(-y)^{2n}$

$=x^{2n}-C_{2n}^{1}y+C_{2n}^{2}x^{2n-2}y^{2}-...-C_{2n}^{2n-1}xy^{2n-1}+y^{2n}$

Bài tập 2. Tính

a) $S= C_{2022}^{0}9^{2022}+C_{2022}^{1}9^{2021}+...+C_{2022}^{k}9^{2022-k}+...+C_{2022}^{2021}9+C_{2022}^{2022}$

b) $T=C_{2022}^{0}4^{2022}-C_{2022}^{1}4^{2021}\times 3+...-C_{2022}^{2021}4\times 3^{2021}+C_{2022}^{2022}3^{2022}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $S= C_{2022}^{0}9^{2022}+C_{2022}^{1}9^{2021}+...+C_{2022}^{k}9^{2022-k}+...+C_{2022}^{2021}9+C_{2022}^{2022}$

$=C_{2022}^{0}9^{2022}+C_{2022}^{1}9^{2021}\times 1+...+C_{2022}^{k}9^{2022-k}\times 1^{k}+...+C_{2022}^{2021}9\times 1^{2021}+C_{2022}^{2022}\times 1^{2022}$

$=(9+1)^{2020}=10^{2022}$

b) $T=C_{2022}^{0}4^{2022}-C_{2022}^{1}4^{2021}\times 3+...-C_{2022}^{2021}4\times 3^{2021}+C_{2022}^{2022}3^{2022}$

 $=C_{2022}^{0}4^{2022}+C_{2022}^{1}4^{2021}\times (-3)^{1}+...-C_{2022}^{2021}4\times (-3)^{2021}+C_{2022}^{2022}(-3)^{2022}$

$=[4+(-3)]^{2022}=1^{2022}=1$

Bài tập 3. Chứng minh:

$C_{n}^{0}3^{n}+C_{n}^{1}3^{n-1}+...+C_{n}^{k}3^{n-k}+...+C_{n}^{n-1}3+C_{n}^{n}$

$=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}3+...+C_{n}^{k}3^{k}+...+C_{n}^{n-1}3^{n-1}+C_{n}^{n}3^{n}$

với $0\leq k\leq n;k,n\in N$*

Hướng dẫn trả lời:

$C_{n}^{0}3^{n}+C_{n}^{1}3^{n-1}+...+C_{n}^{k}3^{n-k}+...+C_{n}^{n-1}3+C_{n}^{n}$

=$C_{n}^{0}3^{n}+C_{n}^{1}3^{n-1}\times 1^{1}+...+C_{n}^{k}3^{n-k}\times 1^{k}+...+C_{n}^{n-1}3\times 1^{n-1}+C_{n}^{n}\times 1^{n}$

$=(3+1)^{n}=4^{n}$

$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}3+...+C_{n}^{k}3^{k}+...+C_{n}^{n-1}3^{n-1}+C_{n}^{n}3^{n}$

$=C_{n}^{0}\times 1^{n}+C_{n}^{1}\times 1^{n-1}3+...+C_{n}^{k}\times 1^{n-k}3^{k}+...+C_{n}^{n-1}\times 1^{n-1}3^{n-1}+C_{n}^{n}3^{n}$

$=(1+3)^{n}=4^{n}$

Vậy $C_{n}^{0}3^{n}+C_{n}^{1}3^{n-1}+...+C_{n}^{k}3^{n-k}+...+C_{n}^{n-1}3+C_{n}^{n}$

$=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}3+...+C_{n}^{k}3^{k}+...+C_{n}^{n-1}3^{n-1}+C_{n}^{n}3^{n}$

Bài tập 4. Xác định hệ số của:

a) x$^{12}$ trong khai triển của (x + 4)$^{30}$;

b) x$^{10}$ trong khai triển của (3 + 2x)$^{30}$;

c) x$^{15}$ và x$^{16}$ trong khai triển của $(\frac{2x}{3}-\frac{1}{7})^{51}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Số hạng chứa x$^{12}$ là $C_{30}^{18}x^{12}4^{18}$ Hệ số của $C_{30}^{18}4^{18}$

b) Số hạng chứa Hệ số của x$^{10}$ là $C_{30}^{10}3^{20}(2x^){10}=C_{30}^{10}3^{20}2^{10}x^{10}$. Hế số của $x^{10}$ là $C_{30}^{10}3^{20}2^{10}$

c) Số hạng chứa x$^{15}$ là $C_{51}^{36}(\frac{2x}{3})^{15}(-\frac{1}{7})^{36}=C_{51}^{36}\frac{2^{15}}{3^{15}7^{36}}x^{15}$

Hệ số của x$^{15}$ là $C_{51}^{36}\frac{2^{15}}{3^{15}7^{36}}$

 Số hạng chứa x$^{16}$ là $C_{51}^{35}(\frac{2x}{3})^{16}(-\frac{1}{7})^{35}=C_{51}^{35}\frac{2^{16}}{3^{16}7^{35}}x^{16}$

Hệ số của x$^{16}$ là $C_{51}^{35}\frac{2^{16}}{3^{16}7^{35}}$

Bài tập 5. Xét khai triển của $(x+\frac{5}{2})^{12}$

a) Xác định hệ số của x$^{7}$.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ak của x$^{k}$ với 0 ≤ k ≤ 12.

Hướng dẫn trả lời:

a) Số hạng chứa x$^{7}$ là $C_{12}^{5}x^{7}(\frac{5}{2})^{5}$. Hệ số của x^{7} là  $C_{12}^{5}(\frac{5}{2})^{5}$

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là  $C_{12}^{12-k}x^{k}(\frac{5}{2})^{12-k}$ Hệ số của $x^{k}$ là  $C_{12}^{12-k}(\frac{5}{2})^{12-k}$

Bài tập 6. Xét khai triển của $(\frac{x}{2}+\frac{1}{5})^{21}$

a) Xác định hệ số của x1$^{10}$.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số ak của x$^{k}$ với 0 ≤ k ≤ 21.

Hướng dẫn trả lời:

a) Số hạng chứa $x^{10}$ là $C_{21}^{11}(\frac{x}{2})^{10}(\frac{1}{5})^{11}$ .Hệ số của x$^{10}$ là $C_{21}^{11}(\frac{1}{2})^{10}(\frac{1}{5})^{11}=C_{21}^{11}\frac{1}{2^{10}5^{11}}$

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $C_{21}^{21-k}(\frac{x}{2})^{k}(\frac{1}{5})^{21-k}$. Hệ số của x$^{k}$ là $C_{21}^{21-k}\frac{1}{2^{k}5^{21-k}}$

Bài tập 7. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)$^{8}$;

b) (a + b)$^{9}$.

Hướng dẫn trả lời:

Vì dãy hệ số của khai triển (a + b)$^{n}$ tăng dần đến "giữa" rồi giảm dần nên:

a) Hệ số lớn nhất của (a + b)$^{8}$ là $C_{8}^{4}$

b) Hệ số lớn nhất của (a + b)$^{9}$ là $C_{9}^{4}$ và $C_{9}^{5}$

Bài tập 8. Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

$(a+b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}$ với  n ∈ ℕ*.

Hướng dẫn trả lời:

• Với n = 1, ta có: $(a+1)^{1}=a+b=C_{1}^{0}a+C_{1}^{1}b$

Vậy công thức đúng với n = 1.

• Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

$(a+b)^{k+1}=C_{k+1}^{0}a^{k+1}+C_{k+1}^{1}a^{(k+1)-1}b+...+C_{k+1}^{(k+1)-1}ab^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}b^{k+1}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$(a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+...+C_{k}^{k-1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k}$

Khi đó: $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$

$=a(a+b)^{k}+b(a+b)^{k}$

$=a(C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+...+C_{k}^{k-1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k})+b(C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+...+C_{k}^{k-1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k})$

$=(C_{k}^{0}a^{k+1}+C_{k}^{1}a^{k}b+C_{k}^{2}a^{k-1}b^{2}+...+C_{k}^{k-1}a^{2}b^{k-1}+C_{k}^{k}ab^{k})+(C_{k}^{0}a^{k}b+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{2}+...+C_{k}^{k-2}a^{2}b^{k-1}+C_{k}^{k-1}ab^{k}+C_{k}^{k}b^{k+1})$

$=C_{k}^{0}a^{k+1}+(C_{k}^{0}+C_{k}^{1})a^{k}b+(C_{k}^{1}+C_{k}^{2})a^{k-1}b^{2}+...+(C_{k}^{k-2}+C_{k}^{k-1})a^{2}b^{k-1}+(C_{k}^{k-1}+C_{k}^{k})ab^{k}+C_{k}^{k}b^{k+1}$

$=a^{k+1}+C_{k+1}^{1}a^{k}b+C_{k+1}^{2}a^{k-1}b^{2}+...+C_{k+1}^{k-1}a^{2}b^{k-1}+C_{k+1}^{k}ab^{k}+b^{k+1}$ (vì $C_{k}^{i}+C_{k}^{i+1}=C_{k+1}^{i+1}\forall 0\leq i\leq k,i\in N,k\in N$*)

$=C_{k+1}^{0}a^{k+1}+C_{k+1}^{1}a^{(k+1)-1}b+...+C_{k+1}^{(k+1)-1}ab^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}b^{k+1}$

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Bài tập 9. Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) $n^{5}$ – n chia hết cho 5 ∀ n ∈ ℕ*;

b) n$^{7}$ – n chia hết cho 7 ∀ n ∈ ℕ*.

Hướng dẫn trả lời:

a)

• Với n = 1, ta có: 1$^{5}$ – 1 = 0 ⁝ 5.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

• Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $(k + 1)^{5} – (k + 1) ⁝ 5.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $k^{5} – k ⁝ 5.$

Khi đó:

$(k+1)^{5}-(k+1)$

$=(k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1)-(k+1)$

$=(k^{5}-k)+(5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k)$

Mà $(k^{5} - k)$ và $(5k^{4} + 10k^{3} + 10k^{2} + 5k)$  đều chia hết cho 5, do đó

$(k^{5} - k) + (5k^{4} + 10k^{3} + 10k^{2} + 5k) ⁝ 5$ hay $(k + 1)^{5} – (k + 1) ⁝ 5.$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

b)

• Với n = 1, ta có: $1^{7} – 1 = 0 ⁝ 7.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

• Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $(k + 1)^{7} – (k + 1) ⁝ 7.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $k^{7} – k ⁝ 7.$

Khi đó:

$(k + 1)^{7} – (k + 1)$

$= (k^{7} + 7k^{6} + 21k^{5} + 35k^{3} + 21k^{2} + 7k +1) - (k+ 1)$

$= (k^{7} - k) + (7k^{6} + 21k^{5} + 35k^{3} + 21k^{2} + 7k)$

Mà $(k^{7} - k)$ và $(7k^{6} + 21k^{5} + 35k^{3} + 21k^{2} + 7k)$  đều chia hết cho 7, do đó

$(k^{7} - k) + (7k^{6} + 21k^{5} + 35k^{3} + 21k^{2} + 7k) ⁝ 7$ hay $(k + 1)^{7} – (k + 1) ⁝ 7.$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Bài tập 10. Cho tập hợp A = {x₁; x₂; x₃; ... ; x_n} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A.

Hướng dẫn trả lời:

Vì A có n phần tử nên số tập hợp con có k phần tử của tập hợp A là: $C_{n}^{k}$

Như vậy tổng số tập con của tập hợp A là:

$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}$

Lại có $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=2^{n}$ (theo luyện tập 2).

Vậy tập hợp A có tất cả 2$^{n}$ tập con.

Bài tập 11. Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế?

Hướng dẫn trả lời:

Đội công tác có thể có từ 2 đến 10 học sinh.

Nếu đội công tác có k học sinh thì ta có $C_{10}^{k}$ cách chọn.

Như vậy tổng số cách chọn là: $C_{10}^{2}+C_{10}^{3}+...+C_{10}^{10}$

Lại có $C_{10}^{0}+C_{10}^{1}+C_{10}^{2}+C_{10}^{3}+...+C_{10}^{10}=2^{10}=1024$ (áp dụng luyện tập 2 với n = 10 )

$\Rightarrow C_{10}^{2}+C_{10}^{3}+...+C_{10}^{10}=2^{10}=1024-(C_{10}^{0}+C_{10}^{1})=1024-(1+10)=1013$

Vậy có 1013 cách

Bài tập 12. Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đó?

Hướng dẫn trả lời:

Số bánh bạn Tiến có thể chọn để cho vào hộp có thể là 2, 4, 6, 8, 10 hoặc 12.

Như vậy tổng số cách chọn là: $C_{12}^{2}+C_{12}^{4}+...+C_{12}^{12}$

Lại có $C_{12}^{0}+C_{12}^{2}+C_{12}^{4}+...+C_{12}^{12}=2^{2\times 6-1}=2^{11}=2048$ (áp dụng câu c ví dụ 3 với n = 6)

$C_{12}^{2}+C_{12}^{4}+...+C_{12}^{12}=2^{2\times 6-1}=2048-C_{12}^{0}=2048-1=2047$

Vậy có 2047 cách.

Bài tập 13. Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con?

Hướng dẫn trả lời:

Số cách chọn nếu bác Thành mua: 

• Bộ trực thăng điều khiển từ xa là: $C_{10}^{1}$
• Bộ đồ chơi lego là: $C_{10}^{3}$
• Bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời là: $C_{10}^{5}$
• Rubik là: $C_{10}^{7}$
• Mô hình khủng long là: $C_{10}^{9}$

Vậy tổng số cách chọn là: $C_{10}^{1}+C_{10}^{3}+C_{10}^{5}+C_{10}^{7}+C_{10}^{9}$

Lại có $C_{10}^{1}+C_{10}^{3}+C_{10}^{5}+C_{10}^{7}+C_{10}^{9}=2^{2\times 5-1}=2^{9}=512$ (áp dụng câu c Ví dụ 3 với n = 5).

Vậy có 512 cách.

Bài tập 14. Giả sử tính trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen phân li độc lập A1a1, A2a2, ..., Anan. Cho cây F1 dị hợp về n cặp alen giao phối với nhau. Tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 là hệ số của khai triển nhị thức Newton (a + b)$^{2n}$, nghĩa là tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 là $C_{2n}^{0}:C_{2n}^{1}:C_{2n}^{2}:...:C_{2n}^{2n-2}:C_{2n}^{2b-1}:C_{2n}^{2n}$

Cho biết một loài cây có tính trạng được quy định bởi tác động cộng gộp của 4 cặp alen phân li độc lập. Tìm tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 nếu cây F1 dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Thay n = 4 vào công thức trong đề bài, ta được:

Tỉ lệ phân li kiểu hình của F2 nếu cây F1 dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau là: $C_{2\times 4}^{0}:C_{2\times 4}^{1}:C_{2\times 4}^{2}:...:C_{2\times 4}^{2\times 4}$

hay $C_{8}^{0}:C_{8}^{1}:C_{8}^{2}:C_{8}^{3}:C_{8}^{4}:C_{8}^{5}:C_{8}^{6}:C_{8}^{7}:C_{8}^{8}$