Giải cánh diều SBT Toán 6 tập 1 bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất

Bài 109. a) Số nào là ước chung của 15 và 105 trong các số sau: 1, 5, 13, 15, 35, 53?

b) Tìm ƯCLN(27, 156)

c) Tìm ƯCLN(106, 318), từ đó tìm các ước chung của 424 và 636

Lời giải:

a) Ước chung của 15 và 105 

b) ƯCLN(27, 156) = 3

c) ƯCLN(106, 318) = 106.

Ta có : 424 = 106.4 và 636 = 106.6 nên ƯCLN(424, 636) = 106.2 = 212

Các ước chung của 424 và 636 là Ư(212) = {1; 2; 4; 53; 106; 212}

Bài 110. a) Tìm các ước chung của 18, 27, 30, từ đó tìm ước chung lớn nhất của chúng.

b) Tìm ước chung lớn nhất của 51, 102, 144, từ đó tìm các ước chung của chúng.

Lời giải:

a) ƯC(18, 27, 30) = {1; 3}, suy ra ƯCLN(18, 27, 30) = 3

b) ƯCLN(51, 102, 144) = 3, suy ra ƯC(51, 102, 144) = {1; 3}

Bài 111. Một lớp học có 27 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chia lớp đó thành các tổ sao cho số học sinh nam và số học sinh nữ ở mỗi tổ là như nhau? Cách chia nào để mỗi tổ có số học sinh ít nhất?

Lời giải:

Để học sinh nam và học sinh nữ ở mỗi tổ là như nhau thì số tổ phải là ước chung của 18 và 27. Mà ƯC(18, 27) = {1; 3; 9} suy ra có 3 cách chia tổ để số học sinh nam và học sinh nữ ở mỗi tổ là như nhau. Ta có bảng sau:

Dựa vào bảng trên ta có:

Nếu chia thành 9 tổ thì mỗi tổ có số học sinh ít nhất

Bài 112. Ba khối 6, 7 và 8 lần lượt có 300 học sinh, 276 học sinh và 252 học sinh xếp thành các hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối như nhau. Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng? Khi đó ở mỗi hàng dọc của mỗi khối có bao nhiêu học sinh?

Lời giải:

Để chia mỗi khối 300 học sinh, 276 học sinh và 252 học sinh thành số hàng dọc nhiều nhất, số hàng dọc mỗi khối như nhau, mỗi khối đều không có ai lẻ hàng thì số hàng dọc là ước chung lớn nhất của 300, 276, 252

Ta có: 300 = $2^{2}.3.5^{2}$; 276 = $2^{2}.3.23$; 252 = $2^{2}.3^{2}.7$

Do đó ƯCLN(300, 276, 252) = $2^{2}.3$ = 12

Vậy xếp thành 12 hàng dọc và mỗi hàng dọc có 25 học sinh khối 6, 23 học sinh khối 7 và 21 học sinh khối 8

Bài 113. Tìm số tự nhiên a, biết:

a) 388 chia cho a thì dư 38, còn 508 chia cho a thì dư 18.

b) 1012 và 1178 khi chia cho a đều có số dư bằng 16.

Lời giải:

a) Ta có:

388 chia a dư 38 suy ra 388 - 38 chia hết cho a hay 350 chia hết cho a và a > 38

508 chia a dư 18 suy ra 508 - 18 chia hết cho a hay 490 chia hết cho a và a > 18

Từ đó ta thấy a là ƯC(490, 350) và a > 38

ƯC(490, 350) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70} nên a = 70

b) Ta có: 1012 và 1178 chia cho a đều có số dư bằng 16 nên 996 và 1162 đều chia hết cho a và a > 16

Từ đó ta thấy a là ƯC(996, 1162) và a > 16

ƯC(996, 1162) = {1; 2; 83; 166} nên a = 83 hoặc a = 166

Bài 114. Tìm số tự nhiên n để hai số sau nguyên tố cùng nhau:

a) n + 2 và n + 3

b) 2n + 1 và 9n + 4

Lời giải:

a) Gọi d = ƯCLN(n + 2; n + 3) 

=> n + 2 và n + 3 đều chia hết cho d

Mà n+ 3 = (n + 2) + 1 nên 1 chia hết cho d

Do đó d = ƯCLN(n + 2; n + 3) = 1 nên n + 2 và n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi giá trị của n

b) Gọi d = ƯCLN(2n + 1; 9n + 4) 

Suy ra 2n + 1 và 9n + 4 đều chia hết cho d

Hay 9.(2n + 1) và 2.(9n + 4) đều chia hết cho d

Do đó 9.(2n + 1) - 2.(9n + 4) chia hết cho d

<=> 1 chia hết cho d

Do đó d = ƯCLN(2n + 1; 9n + 4)  = 1 nên 2n + 1 và 9n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi giá trị của n

Bài 115. Tìm các số tự nhiên a, b biết:

a) a + b = 192 và ƯCLN(a, b) = 24

b) ab = 216 và ƯCLN(a, b) = 6

Lời giải:

a) Vì ƯCLN(a, b) = 24 nên a = 24p và b = 24q vơi p, q là hai số nguyên tố cùng nhau

Thay a = 24p và b = 24q vào biểu thức a + b = 192 ta được:

24p + 24q = 192

Suy ra p + q = 8

Mà p, q là hai số nguyên tố cùng nhau nên cặp giá trị (p; q) là: (1; 7), (7; 1), (3; 5), (5; 3)

Do đó ta có cặp giá trị (a, b) là: (24; 168), (168; 24), (72; 120), (120; 72)

b) Vì ƯCLN(a, b) = 6 nên a = 6p và b = 6q vơi p, q là hai số nguyên tố cùng nhau

Thay a = 6p và b = 6q vào biểu thức ab = 216 ta được:

6p.6q = 216

Suy ra p.q = 6

Mà p, q là hai số nguyên tố cùng nhau nên cặp giá trị (p; q) là: (1; 6), (6; 1), (2; 3), (3; 2)

Do đó ta có cặp giá trị (a, b) là: (6; 36), (36; 6), (12; 18), (18; 12)

Bài 116. Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng tỏ rằng 5a + 2b và 7a + 3b cũng là  hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Đặt d = ƯCLN(5a + 2b; 7a + 3b)

Suy ra 5a + 2b và 7a + 3b đều chia hết cho d

Khi đó ta có:

5.(7a + 3b) - 7.(5a + 2b) chia hết cho d. Hay b chia hết cho d

3.(5a + 2b) - 2.(7a + 3b) chia hết cho d. Hay a chia hết cho d

Do đó d là ước chung của a và b.

Mà a và b là hai số nguyên tố cùng nhau nên d = 1

Từ đó ta có ƯCLN(5a + 2b; 7a + 3b) = 1 nên 5a + 2b và 7a + 3b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 117. Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản:

a) $\frac{12}{24};\frac{13}{39};\frac{35}{105}$

b) $\frac{120}{245};\frac{134}{402};\frac{213}{852}$

c) $\frac{234}{1170};\frac{1221}{3663};\frac{2133}{31995}$

Lời giải:

$\frac{12}{24}=\frac{1}{2};\frac{13}{39}=\frac{1}{3};\frac{35}{105}=\frac{1}{3}$

b) $\frac{120}{245}=\frac{24}{49};\frac{134}{402}=\frac{1}{3};\frac{213}{852}=\frac{1}{4}$

c) $\frac{234}{1170}=\frac{1}{5};\frac{1221}{3663}=\frac{1}{3};\frac{2133}{31995}=\frac{1}{15}$

Bài 118. Một số học sinh đứng nắm tay nhau xếp thành vòng tròn lớn tham gia hoạt động tập thể. Thầy An đi quanh vòng tròn và gắn cho mỗi học sinh một số thứ tự 1, 2, 3, 4, 5, ... và nhận thấy học sinh được gắn số 12 đứng đối diện với học sinh được gắn số 30. Thầy tách các học sinh được gắn số từ số 1 đến số 12 vào nhóm 1, từ số 13 đến số cuối cùng trên vòng vào nhóm 2. Thầy muốn chia các học sinh của mỗi nhóm vào các câu lạc bộ (số câu lạc bộ nhiều hơn 1) sao cho số học sinh ở từng nhóm của mỗi câu lạc bộ là như nhau. 

a) Thầy An có bao nhiêu cách để chia học sinh vào các câu lạc bộ?

b) Số câu lạc bộ nhiều nhất mà thầy An có thể chia là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Ta có số học sinh được gắn số 12 đứng đối diện với học sinh gắn số 30 nên số học sinh tham gia hoạt động tập thể là:

   (30 - 12).2 = 36 (học sinh)

Suy ra nhóm 1 có 12 học sinh và nhóm 2 có 24 học sinh

Để chia 12 học sinh nhóm 1 và 24 học sinh nhóm 2 vào các câu lạc bộ (số câu lạc bộ nhiều hơn 1) thì số học sinh ở từng nhóm trong mỗi câu lạc bộ là như nhau.

Vậy nên số câu lạc bộ là ước chung lớn hơn 1 của 12 và 24 và bằng 2, 3, 4, 6, 12 nên có 5 cách chia số học sinh vào các câu lạc bộ.

b) Để số câu lạc bộ nhiều nhất thì số câu lạc bộ phải là ước chung lớn nhất của 12 và 24

Do vậy thầy An có thể chia học sinh vào nhiều nhất 12 câu lạc bộ.