Giải chi tiết chuyên đề Toán 12 KNTT bài 2: Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và ứng dụng

1. PHÉP THỬ LẶP VÀ CÔNG THỨC BERNOULLI

Hoạt động 1 trang 15 chuyên đề toán 12

Hình thành khái niệm phép thử lặp và công thức Bernoulli

Trong tình huống mở đầu. Xét phép thử T là gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

a) Trong phương án 1, phép thử T được lặp lại bao nhiêu lần? Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện bao nhiêu lần?

b) Cũng hỏi như trên với phương án 2.

Bài làm chi tiết:

a) Trong phương án 1, phép thử T được lặp lại 12 lần

Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện ít nhất 2 lần

b) Trong phương án 2, phép thử T được lặp lại 6 lần

Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện ít nhất 1 lần.

Luyện tập 1 trang 16 chuyên đề toán 12

Hai bạn An và Bình thi đấu bóng bàn. Xác suất thắng của An trong một ván là 0,4. Hai bạn thi đấu đủ 3 ván đấu. Người nào có số ván đấu thnawgs nhiều hơn là người thắng trận đấu đó. Giả sử các ván đấu là độc lập. Tính xác suất để An thắng trong trận đấu.

Bài làm chi tiết:

Xác suất để An thắng trận đấu là xác suất để An thắng ít nhất hai ván đấu

Gọi biến cố A: “An thắng trận đấu đó”

Trường hợp 1: An thắng cả ba ván đấu

Khi đo P₁ =

Trường hợp 2: An thắng 2 ván đấu

Khi đó P₂ =

Vậy xác suất để An thắng trong trận đấu là: 

P(A) = P₁ + P₂ = 0,064 + 0,288 = 0,352.

Luyện tập 2 trang 17 chuyên đề toán 12

Trở lại tình huống mở đầu.

a) Tính xác suất thắng của người chơi khi chơi theo phương án 2

b) Qua các kết quả đã tính được, hãy cho biết người chơi nên chọn chơi theo phương án nào để xác suất thắng cao hơn.

Bài làm chi tiết:
a) 

* Xác suất nếu người chơi chọn phương án 1:

Gọi T là phép thử: “Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất”;

E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Xét phép thử lặp với n = 12 và P(E) =

Gọi B là biến cố: “Người chơi thắng”

B cũng là biến cố: “Trong phép thử lặp T, với n = 12, biến cố E xuất hiện ít nhất hai lần”

Xét biến cố đối “Trong phép thử lặp T, biến cố E xuất hiện nhiều nhất một lần”

Ta có: Theo quy tắc cộng xác suất và công thức bernoulli, ta có:

P(

Do đó P(B) = 1 – 0,3813 = 0,6187

* Xác suất nếu người chơi chọn phương án 2:

Gọi T là phép thử: “Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất”;

E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Xét phép thử lặp với n = 6 và P(E) =

Gọi B là biến cố: “Người chơi thắng”

B cũng là biến cố: “Trong phép thử lặp T, với n = 6, biến cố E xuất hiện ít nhất một lần”

Xét biến cố đối “Trong phép thử lặp T, biến cố E không xuất hiện”

Khi đó P(

Do đó P(B) =

b) Qua các kết quả đã tính được, ta thấy người chơi nên chọn phương án 2 thì xác suất thắng cao hơn.

2. BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN BỐ NHỊ THỨC VÀ ÁP DỤNG

Hoạt động 2 trang 17 chuyên đề toán 12

Hình thành khái niệm biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức

Cho T là một phép thử và E là một biến cố liên quan tới phép thử T. Ta thực hiện phép thử T lặp lại n lần một cách độc lập. Ở mỗi lần thực hiện phép thử T, biến cố E có xác suất xuất hiện bằng p, tức là P(E) = p, 0 < p < 1. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố E trog n lần thực hiện lặp lại phép thử T. Tính P(X = k) với mỗi k ; n}.

Bài làm chi tiết:

Vận dụng công thức Bernoulli, ta có:

P(X = 0) =

P(X = 1) =

P(X = 2) =

...

P(X = k) =

...

P(X = n) =

Câu hỏi trang 17 chuyên đề toán 12

Viết bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli

Bài làm chi tiết:

Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên có phân bố Bernoulli:

Luyện tập 3 trang 18 chuyên đề toán 12

Khi tham gia một một trò chơi, người chơi gieo xúc xắn cân đối, đồng chất một cách độc lập liên tiếp 5 lần. Mỗi lần gieo nếu số chấm xuất hiện lớn hơn 4 thì người chơi được 10 điểm. Tính xác suất để người chơi nhận được ít nhất 30 điểm.

Bài làm chi tiết:

Phép thử T là: “Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất”

Biến cố E: “Số chấm xuất hiện lớn hơn 4”

Ta có P(E) =

X là số lần xuất hiện biến cố E trong 5 lần thực hiện lặp lại phép thử T

Người chơi nhận được ít nhất 30 điểm khi số lần xuất hiện số chấm lớn hơn 4 ít nhất 3 lần. Tức là khi X

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

Vậy ác suất để người chơi nhận được ít nhất 30 điểm là

Vận dụng trang 20 chuyên đề toán 12

Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu

Bài làm chi tiết:

Gọi X là số câu trả lời đúng của An.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10; p =

Số điểm trung bình là E(X)

Vậy trung bình An nhận được số điểm trung bình là:

E(X) = np =

b) An vượt qua bài thi khi làm đúng ít nhất 5 câu tức là khi

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

P(X

Vậy xác suất vượt qua bài thi của An xấp xỉ là 7,81%.

3. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ

Giải chi tiết bài 1.6 chuyên đề toán 12

Tại một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, các linh kiện được sắp xếp vào từng hộp một cách độc lập, mỗi hộp 10 linh kiện. Hộp được xếp loại I nếu hộp đó có nhiều nhất một linh kiện không đạt tiêu chuẩn. Biết rằng xác suất để nhà máy sản xuất ra một linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn là 0,01. Hỏi tỉ lệ những hộp linh kiện điện tử loại I là bao nhiêu?

Bài làm chi tiết:

X là số linh kiện không đạt tiêu chuẩn

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10, p = 0,01

Hộp được xếp loại I nếu hộp đó có nhiều nhất một linh kiện không đạt tiêu chuẩn tức là 

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

P(

Vậy tỉ lệ những hộp linh kiện điện tử loại I là 99,6%.

Giải chi tiết bài 1.7 chuyên đề toán 12

Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả:

a) 15 điểm;

b) Bị âm điểm

Bài làm chi tiết:

Gọi X là số câu trả lời đúng của thí sinh

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10; p =

a) Thí sinh đạt 15 điểm thì có 5 câu trả lời đúng và 5 câu trả lời sai tức là X = 5

Khi đó, P = .

Vậy xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả 15 điểm là 5,8%

b) Thí sinh bị âm điểm tức là thí sinh trả lời đúng nhiều nhất 1 câu tức là

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có: 

Vậy xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả bị âm điểm là 24,4%

Giải chi tiết bài 1.8 chuyên đề toán 12

Trong một trò chơi, mỗi ván người chơi gieo đồng thời 3 xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu có ít nhất 2 xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm thì người chơi giành chiến thắng ván chơi đó. Bác Hưng tham gia chơi 3 ván. Tính xác suất để bác Hưng thắng ít nhất 2 ván.

Bài làm chi tiết:

Xác suất để một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là

Gọi X là số con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.

Bác Hưng thắng cuộc 1 ván khi X ≥ 2.

Xác suất để bác Hưng thắng cuộc 1 ván là: 

Gọi Y là số ván thắng của bác Hưng.

Khi đó,

Vậy xác suất để bác Hưng thắng ít nhất 2 ván là

Giải chi tiết bài 1.9 chuyên đề toán 12

Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: màu vàng và màu xanh. Có hai gene ứng với hai kiểu hình này là allele trội A và allele lặn a. Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. 

Bốn bạn An, Bình, Sơn và Dương, mỗi bạn độc lập với nhau, thực hiện phép thử là lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố có kiểu gene là Aa, cây mẹ có kiểu gene là Aa.

Gọi X là số cây con có hạt màu vàng trong số 4 cây con.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Hỏi trung bình có bao nhiêu cây con có hạt màu xanh?

Bài làm chi tiết:

Ta vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các kết quả có thể của kiểu gene ứng với màu hạt của cây con.

a) X là số cây con có hạt màu vàng trong số 4 cây con.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức n = 4; p =

Giá trị của X thuộc tập {0; 1; 2; 3; 4}

Ta có P(X = 0) =

Ta có P(X = 0) =

P(X = 1) =

P(X = 2) =

P(X = 3) =

P(X = 4) =

Bảng phân bố xác suất của X

X	0	1	2	3	4
P

b) Gọi Y là số cây con có hạt màu xanh

Khi đó Y là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 4; P =

Ta có: E(Y) = 4.

Vậy trung bình có 1 cây có hạt màu xanh.

Giải chi tiết bài 1.10 chuyên đề toán 12

Trong một lớp học có 6 bóng đèn hoạt động độc lập với nhau. Mỗi bóng có xác suất bị hỏng là 0,25. Gọi X là số bóng sáng.

a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.

b) Biết rằng lớp học có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng. Tính xác suất để lớp học đủ ánh sáng.

c) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Bài làm chi tiết:

a) X là số bóng sáng.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 6; p =

b) Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng tức là X ≥ 4

Khi đó

Vậy xác suất để lớp học đủ ánh sáng là

c) 

Kì vọng: E(X) = 6.

Phương sai: V(X) =

Độ lệch chuẩn:

Giải chi tiết bài 1.11 chuyên đề toán 12

Sơn và Tùng thi đấu bóng bàn với nhau. Trận đấu gồm 5 ván độc lập. Xác suất thắng của Sơn trong mỗi ván là . Biết rằng mỗi ván không có kết quả hòa. Người thắng trận đấu nếu thắng ít nhất 3 ván đấu.

a) Gọi X là số trận thắng của Sơn. Hỏi X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất gì?

b) Tính xác suất để Sơn thắng Tùng trong trận đấu.

Bài làm chi tiết:

a) X là số trận thắng của Sơn.

X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhị thức với tham số 

n = 5;

b) Sơn thắng Tùng trong trận đấu tức là X ≥ 3.

Ta có P(.

Vậy xác suất để Sơn thắng Tùng trong trận đấu là

Giải chi tiết bài 1.12 chuyên đề toán 12

Cam xuất khẩu được đóng thành từng thùng. Xác suất để một quả cam không đạt chất lượng là 0,03. Vì số lượng cam trong mỗi thùng rất lớn nên không thể kiểm tra toàn bộ số cam trong thùng, người ta lấy ngẫu nhiên từ thùng cam 20 lần một cách độc lập, mỗi lần lấy 1 quả để kiểm tra rồi trả lại nó vào thùng. Gọi X là số quả cam không đạt chất lượng.

a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.

b) Các thùng cam được phân thành ba loại theo cách sau:

Trong 20 lần lấy đó:

- Nếu tất cả các quả cam lấy ra đều đạt chất lượng thì thùng được xếp loại I;

- Nếu có 1 hoặc 2 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại II;

- Nếu có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại III.

Tính tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, III.

Bài làm chi tiết:

a) X là số quả cam không đạt chất lượng.

X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhị thức với tham số n = 20; p = 0,03.

b) Thùng cam đạt xếp loại I nếu X = 0.

P₁ = P(X = 0) = ≈ 0,5438.

Khi đó P₂ = P(X = 1) + P(X = 2) 

=

Thùng cam không đạt chất lượng nếu X ≥ 3.

Khi đó P(X ≥ 3) = 1 – P₁ – P₂ = 1 – 0,5438 – 0,4352 = 0,021.

Vậy tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I là 0,5438; loại 2 là 0,4352 và loại III là 0,021