Giải chi tiết chuyên đề Toán 12 KNTT bài 3: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

1. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH HAI BIÊN

Hoạt động 1 trang 24 chuyên đề toán 12

Trong bài toán mở đầu, gọi x và y lần lượt là số kilôgam sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.

a) Kí hiệu F(x; y) là lợi nhuận của xí nghiệp khi sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg sản phẩm loại II. Viết biểu thức F(x; y) theo x và y.

b) Lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ràng buộc x và y thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

c) Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ để thấy rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình tìm được trong ý b là một miền tứ giác. Tìm góc tọa độ các đỉnh của miền tứ giác này.

d) Tính giá trị của F(x; y) tại các đỉnh của miền tứ giác tìm được trong ý b, từ đó dự đoán về mức lợi nhuận cao nhất

Bài làm chi tiết:

a) F(x; y) = 40000x + 30000y.

b) Số kg nguyên liệu để sản xuất x kg sản phẩm loại I  và y sản phẩm loại II là: 2x + 4y.

Thời gian để sản xuất x kg sản phẩm loại I  và y sản phẩm loại II là: 30x + 15y.

Vì xí nghiệp có 200 kg nguyên liệu và tối đa 1200 giờ làm việc nên ta có hệ:

{2x+4y≤200  30x+15y≤1200 x≥0,y≥0  

c) Tập các phương án chấp nhận được là miền tứ giác trong hình sau:

O(0; 0), A(0; 50), B(20; 40), D(40;0)

d) Ta có:

F(0; 0) = 40000.0 + 30000.0 = 0.

F(0; 50) = 40000.0 + 30000.5 = 1500000.

F(20; 40) = 40000.20 + 30000.40 = 2000000.

F(40; 0) = 40000.40 + 30000.0 = 1600000.

Vậy để có giá trị lợi nhuận cao nhất thì sản xuất 20 kg sản phẩm loại I, 40 kg sản phẩm loại II.

Luyện tập 1 trang 26 chuyên đề toán 12

Người ta dự định dùng hai nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất X và 9 kg chất Y. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng có thể chiết xuất được 20 kg chất X và 0,6 kg chất Y. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10 kg chất X và 1,5 kg chất Y. Cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II.

Phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất mà vẫn đáp ứng được các yêu cầu đặt ra ở trên?

a) Đặt ẩn và viết bài toán quy hoạch tuyến tính diễn tả yêu cầu bài toán trên.

b) Biểu diễn tập các phương án chấp nhận được và tìm các phương án cực biên.

Bài làm chi tiết:

a) 

-  Gọi x là số tấn nguyên liệu loại I và y là số tấn nguyên liệu loại II (0 ≤ x ≤ 10;

0 ≤ y ≤ 9).

- Ký hiệu F(x; y) là chi phí mua nguyên liệu sản xuất: 

F(x; y) = 4000000x + 3000000y

- Số kg chất X có thể tạo ra là: 20x + 10y.

- Số kg chất Y có thể tạo ra là: 0,6x + 1,5y.

- Bài toán quy hoạch tuyến tính được ký hiệu như sau:

F(x; y) = 4000000x + 3000000y  min

với các ràng buộc: {2x+10y≥140  0,6x+1,5y≤9 0≤x≤10, 0≤y≥9  

b) Tập nghiệm của hệ các ràng buộc là miền không bị chặn được gạch chéo trong hình sau:

A(2,5; 9), B(10; 9), C(10; 2), D(5;4)

Ta có:

F(2,5; 9) = 4000000.2,5 + 3000000.9 = 37000000.

F(10; 9) = 4000000.10 + 3000000.9 = 67000000.

F(10; 2) = 4000000.10+ 3000000.2 = 46000000.

F(5; 4) = 4000000.5 + 3000000.4 = 32000000.

Vậy để chi phí là ít nhất thì cần 5 tấn sản phẩm loại I và 4 tấn sản phẩm loại II.

2. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI MIỀN CHẤP NHẬN ĐƯỢC LÀ MIỀN ĐA GIÁC

Hoạt động 2 trang 26 chuyên đề toán 12

Ta giải bài toán trong Tình huống mở đầu.

Từ Hoạt động 1 ta có bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

F(x; y) = 40x + 30y  max

với các ràng buộc

{x + 2y≤100  2x+y≤80 x≥0 y≥0 

Miền chấp nhận được S của bài toán là miền tứ giác tô màu trong Hình 2.3.

a) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thỏa mãn

F(x; y) = 40x + 30y = 1 200.

b) Với mỗi số thực m xét đường thẳng d_m: 40x + 30y = m.

Từ hình vẽ, tìm điều kiện của m để dm∩S≠∅.

c) Từ câu b suy ra giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền S, từ đó suy ra lời giải của bài toán.

Bài làm chi tiết:

a) Tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn là (30; 0), (0; 40).

b) Nhìn vào hình vẽ ta thấy d₁₂₀₀ cắt S tại vô số điểm. Đến d₂₀₀₀ chỉ cắt S tại 1 điểm  để d_m không cắt S thì m > 2000.

c) Ta có:

F(20; 40) = 40.20 + 30.40 = 2000.

F(0; 50) = 40.0 + 30.50 = 1500.

F(0; 40) = 40.0 + 30.40 = 1200.

F(0; 0) = 40.0 + 30.0 = 0.

Với x = 40; y = 20, giá trị lớn nhất của F(x; y) là 2200.

Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Luyện tập 2 trang 29 chuyên đề toán 12

Một công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó loại xe A có 10 chiếc và loại xe B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; mỗi loại xe B có thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Phải thuê bao nhiêu xe loại A và bao nhiêu xe loại B để chi phí bỏ ra là ít nhất mà vẫn chở được hết hàng và người.

Bài làm chi tiết:

Gọi số chiếc xe A và xe B cần thuê lần lượt là x và y.

Chi phí thuê xe là: F(x; y) = 4000000x  + 3000000y  min

Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là: {2x+10y≥140   0,6x+1,5y≤9 0≤x≤10, 0≤y≥9 

A(2,5; 9), B(10; 9), C(10; 2), D(5;4)

Ta có:

F(2,5; 9) = 4000000.2,5 + 3000000.9 = 37000000.

F(10; 9) = 4000000.10 + 3000000.9 = 67000000.

F(10; 2) = 4000000.10+ 3000000.2 = 46000000.

F(5; 4) = 4000000.5 + 3000000.4 = 32000000.

Vậy để chi phí bỏ ra ít nhất cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B.

3. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI MIỀN CHẤP NHẬN ĐƯỢC KHÔNG LÀ MIỀN ĐA GIÁC

Hoạt động 3 trang 29 chuyên đề toán 12

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính

F(x; y) = 3x + 4y  max

với các ràng buộc

{x≥0,y≥0  x+2y≥4 4x+y≥3 

a) Kiểm tra lại rằng miền S tô màu trong Hình 2.6 là miền chấp nhận được của bài toán.

b) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thỏa mãn

F(x; y) = 3x  + 4y = 12.

c) Với mỗi số thực m, xét đường thẳng

d_m: 3x + 4y = m.

Từ hình vẽ, tìm điều kiện của m để dm∩S≠∅.

d) Từ phần c suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền chấp nhận được. Chứng tỏ rằng, giá trị nhỏ nhất này chính là giá trị của F(x; y) tại một điểm cực biên của miền chấp nhận được.

Bài làm chi tiết:

a) Miền S tô màu trong hình 2.6 là miền chấp nhận được.

b) Tập hợp các điểm M(x; y) thỏa mãn là: (0; 3), (4; 0).

c) Nhìn vào đồ thị ta thấy:

- d₁₂ cắt S tại vô số điểm

- d₁₀ cắt S tại 1 điểm duy nhất

Để dm∩S≠∅ thì m < 10.

d) Ta có:

F(2; 1) = 3.2 + 4.1 = 10.

F(0; 3) = 3.0 + 4.3 = 12.

F(4; 0) = 3.4 + 4.0 = 12.

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) là 10 với điểm (2; 1) là điểm cực biên của miền chấp nhận được.

Luyện tập 3 trang 32 chuyên đề toán 12

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

F(x; y) = x + 2y  max

với các ràng buộc

{x≥0,y≥0  x+y≥1  2x+4y≥3  

Bài làm chi tiết:

Miền nghiệm của hệ là phần gạch chéo được thể hiện qua hình vẽ sau:

Có ba điểm cực biên là A(0; 1), B(0,5; 0,5), C(1,5; 0)

F(0; 1) = 0 + 2.1 = 2.

F(0,5; 0,5) = 0,5 + 2.0,5 = 1,5.

F(1,5; 0) = 1,5 + 2.0 = 1,5.

Vậy hệ có hai nghiệm thỏa mãn là B(0,5; 0,5) và C(1,5; 0).

Vận dụng trang 32 chuyên đề toán 12

Một chủ trang trại cần sử dụng phân bón để chăm sóc cho một loại đậu tương. Loại đậu tương này cần ít nhất 18 đơn vị đạm và ít nhất 6 đơn vị photsphate. Ông chủ trang trại có thể sử dụng hai loại phân bón X và Y. Giá cả, hàm lượng đạm và hàm lượng phosphate có trong một tạ phân X và một tạ phân Y được cho bởi bảng sau:

Hãy cho biết cần phải mua bao nhiêu tạ phan loại X, bao nhiêu phân loại Y để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo chế độ dinh dưỡng cho loại đậu tương trên?

Bài làm chi tiết:

Gọi số tạ phân bón X và Y cần mua lần lượt là x và y

Chi phí mua phân là: F(x; y) = 1,7x + 1,2y  min.

Hệ bất phương trình ràng buộc bởi x và y là: {3x+6y≥1  2x+y≥6  x≥0,y≥0 

Miền nghiệm của hệ là phần gạch chéo được biểu diễn qua hình:

A(0; 6), B(2; 2), C(6; 0)

Ta có:

F(0; 6) = 1,7.0 + 1,2.6 = 7,2 triệu đồng.

F(2; 2) = 1,7.2 + 1,2.2 = 5,8 triệu đồng.

F(6; 0) = 1,7.6 + 1,2.0 = 10,2 triệu đồng.

Vậy cần mua 2 tạ phân bón loại X và 2 tạ phân bón loại Y để chi phí là ít nhất.

4. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ

Giải chi tiết bài 2.1 trang 32 chuyên đề toán 12

Một trung tâm tổ chức sự kiện có một phòng tổ chức lễ cưới với hai kiểu bàn ăn: bàn hình chữ nhật ngồi 6 người với giá thuê 200 nghìn đồng và bàn tròn ngồi 10 người với giá thuê 300 nghìn đồng. Anh Nam muốn thuê phòng để tổ chức đám cưới với 250 khách mời. Căn phòng chỉ chứa được tối đa 35 bàn các loại và chỉ có 15 bàn hình chữ nhật. Hỏi anh Nam phải thuê mỗi loại bàn bao nhiêu để giảm thiểu tối đa chi phí mà vẫn đáp ứng được các yêu cầu trên.

Bài làm chi tiết:

- Gọi số bàn hình chữ nhật phải mua là x, số bàn hình tròn phải mua là y.

- Chi phí thuê bàn là: F(x; y) = 200x + 300y → min

- Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là: {6x+10y≥250   x+y≥35  0≤x≤15,y≥0 

Miền nghiệm của hệ là phần gạch chéo được biểu diễn qua hình:

A(15; 20), B(0; 25), C(0; 35), D(15; 16)

Ta có: 

F(15; 20) = 200.15+ 300.20 = 8000.

F(0; 25) = 200.0+ 300.25 = 7500.

F(0; 35) = 200.0+ 300.35 = 10500.

F(15; 16) = 200.15+ 300.16 = 7800.

Vậy anh Nam phải thuê 25 bàn tròn và không thuê bàn hình chữ nhật để giảm thiểu tối đa chi phí mà vẫn đáp ứng được các yêu cầu trên.

Giải chi tiết bài 2.2 trang 32 chuyên đề toán 12

Một cơ sở sản xuất hai loại sữa chua X và Y. Nguyên liệu chính để sản xuất hai loại sữa chua này dâu tây, sữa và đường. Để sản xuất một đơn vị sữa cua X và một đơn vị sữa chua Y cần lượng nguyên liệu như trong bảng:

Nguồn nguyên liệu dự trữ dâu tây, sữa và đường lần lượt là 1,2 tấn; 0,8 tấn và 0,3 tấn. Giá bán mỗi đơn vị sữa chua X và Y lần lượt là 800 nghìn đồng và 1,2 triệu đồng. Cơ sở sản xuất cần sản xuất bao nhiêu đơn vị sữa chua X và Y để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Bài làm chi tiết:

- Gọi số đơn vị sản xuất sữa chua X là x, số đơn vị sản xuất sữa chua Y là y.

- Lợi nhuận thu được là: F(x; y) = 8x + 12y  max

- Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là: {2x+3y≤1,2  2x+y≤0,8  0≤y≤0,3,x≥0 

Miền nghiệm của hệ là phần gạch chéo được biểu diễn qua hình:

A(0; 0,3), B(0,15; 0,3), C(0,3; 0,2), D(0,4; 0)

Ta có: 

F(0; 0,3) = 8.0 + 12.0,3 = 3,6.

F(0,15; 0,3) = 8.0,15 + 12.0,3 = 4,8.

F(0,3; 0,2) = 8.0,3 + 12.0,2 = 4,8.

F(0,4; 0) = 8.0,4 + 12.0 = 3,2.

Vậy cơ sở sản xuất cần sản xuất số đơn vị sữa chua X và Y lần lượt là 0,15 và 0,3 hoặc 0,3 và 0,2 để lợi nhuận là cao nhất thì.

Giải chi tiết bài 2.3 trang 33 chuyên đề toán 12

Một nhà máy hóa chất sản xuất hai hợp chất X và Y. Khi sản xuất một đơn vị hợp chất X sẽ có 2 dm³ khí CO (carbon monoxide) và 6 dm³ khí SO₂ (sulfur dioxide) phát tán ra môi trường. Khi sản xuất một đơn vị hợp chất Y sẽ có 4 dm³ khí CO và 3 dm³ khí SO₂ phát tán ra môi trường. Các yêu cầu về khí thải chỉ cho phép nhà máy phát thải ra môi trường mỗi tuần không quá 3 000 dm³ khí CO và không quá 5 400 dm³ khí SO₂. Nhà máy có thể bán hết tất cả các đơn vị hợp chất X và Y sản xuất ra với giá 36 000 đồng một đơn vị hợp chất X và 24 000 đồng một đơn vị hợp chất Y. Xác định số đơn vị hợp chất X và Y mỗi loại cần sản xuất trong một tuần để thu được lợi nhuận cao nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu về khí thải môi trường.

Bài làm chi tiết:

- Gọi số đơn vị hợp chất X là x, số đơn vị hợp chất Y là y 

- Lợi nhuận thu được là: F(x; y) = 36x + 24y  max

- Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là: {2x+4y≤3000 6x+3y≤5400  x≥0,y≥0 

Miền nghiệm của hệ là phần gạch chéo được biểu diễn qua hình:

A(0; 0), B(0; 750), C(700; 400), D(900; 0)

Ta có: 

F(0; 0) = 36.0 + 24.0 = 0.

F(0; 750) = 36.0 + 24.750 = 18000.

F(700; 400) = 36.700 + 24.400 = 34800.

F(900; 0) = 36.960 + 24.0 = 32400.

Vậy cần sản xuất 700 đơn vị hợp chất X và 400 đơn vị hợp chất Y để lợi nhuận là lớn nhất.

Giải chi tiết bài 2.4 trang 33 chuyên đề toán 12

Chế độ ăn của một người yêu cầu mỗi ngày tối thiểu 400 đơn vị vitamin, 500 đơn vị khoáng chất và 1 400 đơn vị calo. Có hai loại thức ăn F₁ và F₂ mỗi đơn vị F₁ giá 1 200 đồng và mỗi đơn vị F₂ giá 720 đồng. Mỗi đơn vị thức ăn F₁ chứa 2 đơn vị vitamin, 1 đơn vị khoáng chất và 4 đơn vị calo. Mỗi đơn vị thức ăn F₂ chứa 1 đơn vị vitamin, 2 đơn vị khoáng chất và 4 đơn vị calo. Tìm chế độ hỗn hợp F₁ và F₂ sao cho chi phí là ít nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu về dinh dưỡng.

Bài làm chi tiết:

- Gọi số đơn vị ăn F₁ là x; số đơn vị ăn F₂ là y.

- Chi phí hai loại đơn vị này là: F(x; y) = 1200x + 720y  min

- Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là: {2x+y≥400  x+2y≥500  x≥0,y≥0  

Miền nghiệm của hệ là phần gạch chéo được biểu diễn qua hình:

A(0; 400), B(50; 300), C(200; 150), D(500; 0)

Ta có: 

F(0; 400) = 1200.0 + 720.400 = 288000.

F(50; 300) = 1200.50 + 720.300 = 276000.

F(200; 150) = 1200.200 + 720.150 = 348000.

F(500; 0) = 1200.500 + 720.0 = 600000.

Vậy cần 50 đơn vị ăn F₁ và 300 đơn vị ăn F₂ để chi phí là ít nhất.

Giải chi tiết bài 2.5 trang 33 chuyên đề toán 12

Một hãng bán gà rán nghiên cứu thấy rằng để làm ra món gà rán có chất lượng tốt nhất thì thức ăn cho gà cần được bổ sung thêm 4 loại vitamin V1, V2, V3 và V4. Tổng lượng vitamin tối thiểu phải bổ sung cho mỗi 100 gam thức ăn cho gà là: V1 cần 50 đơn vị, V2 cần 100 đơn vị, V3 cần 60 đơn vị và V4 cần 180 đơn vị. Có hai loại thức ăn S1 và S2 cung cấp 4 loại vitamin này. Loại S1 có giá 720 đồng một gam và mỗi gam S1 có chứa 5 đơn vị V1, 25 đơn vị V2, 10 đơn vị V3 và 35 đơn vị V4. Loại S2 có giá 960 đồng một gam và mỗi gam S2 có chứa 25 đơn vị V1, 10 đơn vị V2, 10 đơn vị V3 và 20 đơn vị V4. Hỏi cần phải thêm vào 100 gam thức ăn cho gà mỗi loại S1 và S2 bao nhiêu gam để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo dinh dưỡng cho gà.

Bài làm chi tiết:

- Gọi số thức ăn S1 cần thêm là x; số thức ăn S2 cần thêm là y.

- Chi phí mua là: F(x; y) = 720x + 960y  min

- Hệ bất phương trình ràng buộc x và y là: {5x+25y≥50; 10x+10y≥60  25x+10y≥100  x≥0;y≥0 35x+20y≥180 

Miền nghiệm của hệ là phần gạch chéo được biểu diễn qua hình:

A(0; 10), B 43;203, C(4; 2), D(5; 1), E(10; 0)

Ta có: 

F(0; 10) = 720.0 + 960.10 = 9600.

F43;203 = 720. 43 + 960. 203 = 7360.

F(4; 2) = 720.4 + 960.2 = 4800.

F(5; 1) = 720.5 + 960.1 = 4560.

F(10; 0) = 720.10 + 960.0 = 7200.

Vậy để chi phí là ít nhất cần thêm 5 thức ăn loại S1 và 1 thức ăn loại S2.