Giải chi tiết chuyên đề Toán 12 KNTT bài 5: Tiền tệ lãi suất

1. KHÁI NIỆM TIỀN TỆ

Câu hỏi trang 47 chuyên đề toán 12

Hãy kể tên các mệnh giá thường gặp của tờ tiền đồng Việt Nam

Bài làm chi tiết:

Các mệnh giá thường gặp của tờ tiền đồng Việt Nam: 1000, 2000, 5000, 10000, 20000, 50000, 100000, 200000, 500000.

2. LÃI SUẤT VÀ CÁCH TÍNH LÃI SUẤT

Hoạt động 1 trang 49 chuyên đề toán 12

Xây dụng công thức lãi đơn

Giả sử gửi một khoản tiền vốn P vào ngân hàng theo thể thức lãi đơn với lãi suất năm là r( r được cho dưới dạng số thập phân).

a) Tính số tiền lãi I nhận được sau t năm

b) Số tiền nhận được sau t năm bao gồm số tiền vốn P ban đầu và số tiền lãi I. Hãy tính tổng số tiền A nhận được sau t năm.

Bài làm chi tiết:

a) Số tiền lãi I nhận được sau t năm: 

I = Prt

b) Số tiền A nhận được sau t năm:

A = P + I = P(1 + rt)

Luyện tập 1 trang 49 chuyên đề toán 12

Anh Hưng cho một tổ chức tín dụng vay 50 triệu đồng trong thời hạn 6 tháng theo thể thức lãi đơn. Lãi suất năm của khoản cho vay này là bao nhiêu nếu số tiền anh Hưng nhận được sau 6 tháng là 52 triệu đồng.

Bài làm chi tiết:

Ta có: P = 50 (triệu đồng); t = 0,5 năm

Số tiền lãi bác Hưng nhận được là: 

I = Prt = 50.r.0,5 = 25r

Tổng số tiền Hưng nhận được là: 

A = P + I = 50 + 25r = 52 (triệu đồng)

r = 0,08 = 8%

Vậy nếu số tiền anh Hưng nhận được sau 6 tháng là 52 triệu đồng thì lãi suất năm của khoản vay này là 8%.

Hoạt động 2 trang 50 chuyên đề toán 12

Xây dựng công thức tính lãi kép

Giả sử một khoản tiền vốn P vào ngân hàng theo thể thức lãi suất năm là r(r được cho dưới dạng số thập phân), được tính lãi n kì trong một năm.

a) Tính lãi suất của mỗi kì.

b) Tính số tiền nhận được (cả vố lẫn lãi) sau 1 kì, sau 2 kì.

c) Dự đoán công thức tính số tiền nhận được sau N kì gửi.

Bài làm chi tiết:

a) Lãi suất mỗi kì được tính bằng lãi suất năm cho số kì

Lãi suất mỗi kì =

b) Số tiền nhận được sau mỗi kì bao gồm cả vốn và lãi. 

Số tiền nhận được sau 1 kì: A = P(1 + r)^t

Số tiền nhận được sau 2 kì: A = P

c) Công thức tính số tiền nhận được sau N kì gửi

A =

Luyện tập 2 trang 51 chuyên đề toán 12

Trở lại Ví dụ 2, hãy tính số tiền nhận được và số tiền lãi tương ứng sau 3 năm gửi tiết kiệm nếu việc tĩnh lãi diễn ra hằng ngày (giả sử một năm có 365 ngày)

Bài làm chi tiết:

Khi tính lãi hằng ngày thì số kì tính lãi trong một năm là 365

A =

Vậy số tiền nhận được sau 3 năm gửi tiết kiệm nếu việc tĩnh lãi diễn ra hằng ngày là 130,99 triệu đồng

Vận dụng trang 51 chuyên đề toán 12

Giải quyết bài toán trong Tình huống mở đầu

Bài làm chi tiết:

Nếu bác An gửi lãi đơn, lãi suất năm là 6,1% 

Số tiền của bác nhận được sau 9 tháng (0,75 năm)

A = P(1 + rt) = 500(1 + 0,061.0,75) = 522,975 (triệu đồng)

Nếu bác An gửi lãi kép kì hạn 1 tháng, lãi suất năm là 6%

Một năm có 12 tháng, thì n = 12

Do đó số tiền nhận được là: A =

Vậy bác An gửi lãi đơn sẽ lãi hơn.

3. LẠM PHÁT

Luyện tập 4 trang 52 chuyên đề toán 12

Giả sử tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là 4%. Sử dụng công thức tính sức mua ở Ví dụ 3, hãy cho biết mất bao nhiêu năm thì sức mua giảm xuống chỉ còn một nửa.

Bài làm chi tiết:

Ta có: A=

Khi sức mua giảm còn 1 nửa:

Vậy sau 17 năm nữa sức mua giảm còn một nửa

Luyện tập 4 trang 53 chuyên đề toán 12

Thực hiện các yêu cầu như trong Ví dụ 4, nếu tỉ lệ lạm phát của nền kinh tế năm đó là 7%

Bài làm chi tiết:

P = 500 (triệu đồng); r = 9% = 0,09; g = 7% = 0,07

a) Thu thập thực cho khoản cho khoản tiết kiệm của anh Nam là 

Lãi suất thực cho khoản tiết kiệm của anh Nam là:

r_thực =

Vậy thu thập thực của anh Nam là:

500.0,018 = 9 (triệu đồng)

b) Lãi suất thực sau thuế khi chưa tính lạm phát là:

r _{sau thuế} = 9%.(100% - 10%) = 8,1% = 0,081.

Do đó thu nhập thực sau khi tính thuế của anh Nam là:

4. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ

Giải chi tiết bài 3.1 trang 53 chuyên đề toán 12

Tìm lãi suất đơn (tính theo năm), biết số tiền vốn ban đầu là 900 triệu đồng và số tiền lãi thu được trong thời hạn 6 tháng là 54 triệu đồng.

Bài làm chi tiết:

Ta có 6 tháng = 0,5 năm

I = Prt ó54 = 900.r.0,5 

• r = 0,12 = 12%

Vậy lãi suất đơn (tính theo năm) là 12%

Giải chi tiết bài 3.2 trang 53 chuyên đề toán 12

Tìm thời gian gửi t (tính theo ngày), để 100 triệu đồng tích lũy được tích lũy được thành 105 triệu đồng với lãi suất đơn là 11% một năm. Ở đây một năm tài chính được lấy là 365 ngày.

Bài làm chi tiết:

Ta có: 11% = 0,11

105 = 100.(1 + 0,11.t) 

t = 0.45

Vậy để 100 triệu đồng tích lũy được tích lũy được thành 105 triệu đồng với lãi suất đơn là 11% một năm thì cần ít nhất 0,4545 năm, tương đương 166 ngày (giả định 1 năm là 365 ngày)

Giải chi tiết bài 3.3 trang 53 chuyên đề toán 12

Ngân hàng A đấu giá lô trái phiếu Chính phủ có mệnh giá 100 tỉ đồng, thời hạn 9 tháng với  mức giá sẵn lòng trả là 96 tỉ đồng. Giả sử cuộc đấu giá thành công như mong muốn thì ngân hàng A sẽ được hưởng lãi suất bao nhiêu, nếu tính được theo hình thức lãi suất đơn.

Bài làm chi tiết:

Ta có 96 = 100.(1-rt)

96 = 100(1-r.0,75)

r = 0,053 = 5,3% 

Vậy nếu cuộc đấu giá thành công như mong muốn thì ngân hàng A sẽ được hưởng lãi suất 5,3% năm tương đương 19 ngày

Giải chi tiết bài 3.4 trang 53 chuyên đề toán 12

Tính số tiền A thu được sau 5 năm nếu số tiền 200 triệu đồng được gửi ngân hàng với lãi suất 9% mọt năm theo thể mức:

a) Tính lãi kép hằng năm;

b) Tính lãi kép hằng quý.

Bài làm chi tiết: 

a) Khi tính lãi hằng năm thì số kì tính lãi trong một năm là n = 1

Vậy, số tiền A thu được sau 5 năm là 307,72 triệu đồng.

b) Khi tính lãi hằng quý thì số kì tính lãi trong một năm là n = 4

A =

Vậy, số tiền A thu được sau 5 năm là 312,10 triệu đồng.

Giải chi tiết bài 3.5 trang 53 chuyên đề toán 12

Giả sử tỉ lệ lạm phát của nền kinh tế là 3,5%/năm.

a) Với tỉ lệ lạm phát này, sức mua của 10 triệu đồng ở hiện tại là bao nhiêu sau 1 năm nữa?

b) Một người gửi tiết kiệm 600 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất năm là 8%. Hỏi thu nhập thực của người đó khi rút sổ tiết kiệm sau 1 năm nữa, tức là tiền lãi gửi tiết kiệm sau khi tính theo lãi suất thực đã tính đến yếu tố lạm phát, là bao nhiêu?

Bài làm chi tiết:

a) Với tỉ lệ lạm phát là 3,5%/năm thì ức mua của 10 triệu đồng sau 1 năm nữa là:

A = 10.(1-0,035)¹ = 9,65 (triệu đồng)

b) P = 600 (triệu đồng); g = 3,5% = 0,035; r = 8% = 0,08

Lãi suất thực cho khoản tiết kiệm của người đó là

r _thực =

Thu nhập thực của người đó là

600.

Giải chi tiết bài 3.6 trang 54 chuyên đề toán 12

Chỉ số giá tiêu dùng (CPI) cho biết sự thay đổi tương đối về giá theo thời gian của một giỏ hàng hóa và dịch vụ cố định. Nó là một chỉ số giá sinh hoạt giúp đo lường ảnh hưởng của lạm phát đến chi phí hàng hóa và dịch vụ. Nếu lấy chỉ số CPI của kì gốc 2014 để so sánh (coi CPI cho năm nay là 100) thì chỉ số CPI tháng 1 năm 2020 là 118,09 (Theo Tổng cục thống kê). Điều này có nghĩa là 100 nghìn đồng trong năm 2014 có sức mua tương đương với 118,09 nghìn đồng vào tháng 1 năm 2020. Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là g mỗi năm (g cho dưới dạng số thập phân) trong n năm, thì chỉ số CPI sau n năm là

CPI = CPI₀ (1+g)ⁿ

ở đó CPI₀ và CPI đầu của chu kì n năm.

a) Chỉ số CPI là 100 vào tháng 1 năm 2014 và 118,09 vào tháng 1 năm 2020. Giả sử rằng tỉ lệ lạm phát hằng năm không đổi trong khoảng thời gian này, hãy xác định tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm trong giai đoạn này.

b) Sử dụng tỉ lệ lạm phát tính được từ câu a, CPI sẽ đạt mức 115 vào năm nào?

c) Nếu CPI tháng 1 năm 2020 là 118,09 và tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là 3,21% thì CPI vào tháng 1 năm 2030 sẽ là bao nhiêu?

d) Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là 3%, thì sẽ mất bao lâu để chỉ số giá tiêu dùng tăng gấp đôi?

Bài làm chi tiết:

a) Ta có CPI = CPI₀ (1+g)ⁿ

118,09 = 100.(1+g)⁶

g = 0,028 = 2,8%

Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm trong giai đoạn này là 2,8%/năm

b) 115 = 100.(1+2,8%)ⁿ

n = 5,06

Vậy CPI đạt mức 115 vào năm 2020

c) CPI = CPI₀ (1+g)ⁿ

Vậy CIP vào tháng 1 năm 2030 là 118,09.(1+3,21%)¹⁰ = 161,96 

d) Ta có CPI = CPI₀ (1+g)ⁿ

CPI = CPI₀ (1+3%)ⁿ

Vậy mất 23,45 năm để chỉ số giá tiêu dùng tăng gấp đôi