Giải chuyên đề học tập Toán 10 KNTT bài 2: Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

1. GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ, HÓA HỌC VÀ SINH HỌC

ỨNG DỤNG SINH HỌC

Hoạt động 1: Gọi x; y;z lần lượt là số gà trống, số gà mái, số gà trống cần chuyển sang mục địch lấy thịt trong đàn gà.

a, Điều kiện của x, y, z là gì?

b, Từ giả thiết của bài toán, hãy tìm ba phương trình bậc nhất ràng buộc x,y,z, từ đó có một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

c, Giải hệ phương trình bậc nhất thu được. Từ đó đưa ra câu trả lời cho bài toán.

a) Điều kiện của x, y và z là x, y, z là các số tự nhiên nhỏ hơn 3000.

b) Từ giả thiết của bài toán, ta có:

x + y = 3000 (1)

x : y = 5 : 3 hay 5x = 3y hay 5x – 3y = 0 (2)

(x – z) : y = 1 : 10,5 hay x – z = 10,5y hay x – 10,5y – z = 0 (3)

Vậy ta có hệ phương trình:

c, Từ kết quả câu b ta thu được X sai đề.

Luyện tập 1: Cân bằng phương trình hóa học đốt chất cháy octane trong oxygen

C8H18 + O2 -> CO2 + H2O

Giả sử x, y, z, t là các số thỏa mãn cân bằng

ta có hệ phương trình sau: 

Giải hệ ta được : Z=8x, t= 9x và y=25/2x

Chọn X=2, ta được phương trình cân bằng sau:

2. GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG CUNG-CẦU

Hoạt động 2: Kí hiệu x,y,z lần lượt là giá của 1kg thịt lợn, 1kg thịt bò và 1kg thịt gà, ở đây x,y,z>0 và đơn vị là nghìn đồng. Kí hiệu:

•  Qs1 là lượng thịt lợn mà người bán chấp thuận bán với giá X
• Qs2 là lượng thịt bò mà người bán chấp thuận bán với giá Y
• Qs3 là lượng thịt gà mà người bán chấp thuận bán với giá Z
• Qd1 là lượng thịt lợn mà người mua chấp thuận mua với giá X
• Qd2 là lượng thịt bò mà người mua chấp thuận mua với giá Y
• Qd3 là lượng thịt gà mà người mua chấp thuận mua với giá Z

a, Mước giá thịt lơn x, thịt bò y và thịt gà Z phải thỏa mãn điều kiện gì để người bán và người mua cùng hài lòng, tức là mức giá hợp lí nhất?
b, Viết hệ phương trình ràng buộc giữa x,y,z để người bán và người mua hài lòng.

a, Giá cả hợp lí nhất khi 

• Qs1=Qd1
• Qs2=Qd2
• Qs3=Qd3

b, Hệ phương trình cân 

hay 

Luyện tập 2: Xét thị trường hải sản gồm 3 mặt hàng là cua, tôm và cá. Kí hiệu x,y,z lần lượt là giá 1kg cua, 1kg tôm và 1kg cá( đơn vụ nghìn đồng). Kí hiệu Qs1, Qs2 và Qs3 là lượng cua, tôm và cá mà người bán bằng lòng bán với giá x, y, z. Kí hiệu Qd1, Qd2,Qd3 tương ứng là lượng cua, tôm và cá mà người mua bằng lòng mua với giá x,y,z. Cụ thể là các hàm này được cho bởi:

• Qs1= -300+x; Qd1= 1300-3x+4y-z;
• Qs2= -450+3y; Qd2=1150+2x-5y-z;
• Qs3=-400+2z; Qd3= 900-2x-3y+4z;

Tìm mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua hài lòng.

Ta có hệ phương trình cung cầu là: 

Giải hệ này ta được:

• X=600
• Y=300
• Z=400

Vậy mức giá cua, tôm, cá mà người bán và người mua hài lòng lần lượt là 600, 300 và 400 nghìn đồng 1kg

BÀI TẬP

1.7. Cho hàm cung và hàm cầu của ba mặt hàng như sau:

• Qs1= -4+x; Qd1= 70-x-2y-6z;
• Qs2= -3+y; Qd2=76-3x-y-4z;
• Qs3=-6+3z; Qd3= 70-2x-3y-2z;

 Hãy xác định giá cân bằng cung-cầu của ba mặt hàng.

Hệ phương trình cân bằng cung-cầu:

Giải hệ trên ta được X=15; Y=7; Z=5

1.8. Em Hà so sánh tuổi của mình với chị Mai và anh Nam. Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà. Cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam. Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà. Hỏi tuổi của mỗi người là bao nhiêu?

Gọi tuổi hiện nay của em Hà, chị Mai, anh Nam lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà, suy ra z = 3x hay 3x – z = 0 (1).

– Cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam,

suy ra (y – 7) = 1/2(z – 7) hay 2y – z = 7 (2).

– Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà,

suy ra (z + 3) = (x + 3) + (y + 3) hay x + y – z = –3 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ này ta được x = 13, y = 23, z = 39.

Vậy tuổi hiện nay của em Hà, chị Mai, anh Nam lần lượt là 13, 23, 39.

1.9. Bác Việt có 330740 nghìn đồng, bác chia số tiền này thành ba phần và đem đầu tư vào ba hình thức : Phần thứ nhất bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được 4% một năm; phần thứ hai bác mua vàng thu lãi 5% một năm và phần thứ ba bác gửi tiết kiệm với lăii suất 6% một năm. Sau một năm, kể cả gốc và lãi bác thu được ba món tiền bằng nhau. Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi bác thu được sau một năm là bao nhiêu?

Gọi số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng, gửi tiết kiệm lần lượt là x, y, z (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có:

– Tổng số tiền là 330740 nghìn đồng, suy ra x + y + z = 330740 (1).

– Số tiền kể cả gốc lẫn lãi bác Việt thu được từ ba khoản là x + 4%x, y + 5%y, z + 6%z. Vì bác thu được ba món tiền bằng nhau nên x + 4%x = y + 5%y = z + 6%z

⇒ 104%x = 105%y = 106%z

⇒ 104x – 105y = 0 (2) và 105y – 106z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ này ta được x = 111300, y = 110240, z = 109200.

Vậy số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng, gửi tiết kiệm lần lượt là 111300 nghìn đồng, 110240 nghìn đồng, 109200 nghìn đồng.

1.10. Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250 nghìn đồng; vé đi xuống giá 200 nghìn đồng và vé hai chiều giá 400 nghìn đồng. Một ngày nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng. Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân viên quản lí cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người đi xuống.

Gọi số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng, suy ra 250000x + 200000y + 400000z = 251000000 hay 250x + 200y + 400z = 251000 (1).

– Có 680 lượt người đi lên, suy ra x + z = 680 (2).

– Có 520 lượt người đi xuống, suy ra y + z = 520 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ này ta được x = 220, y = 40, z = 460.

Vậy số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là 220, 60, 460.

1.11. Ba lớp 10A, 10B,10C của một trường trung học phồ thông gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Tính trung bình, mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây xoan và 4 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây xoan và 5 cây bạch đàn; mối em lớp 10 C trồng được 6 cây xoan. Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan và 375 cây bạch đàn. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em?

Gọi số học sinh ba lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Ba lớp có 128 học sinh, suy ra x + y + z = 128 (1).

– Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan, suy ra 3x + 2y + 6z = 476 (2).

Cả ba lớp trồng được tổng cộng 375 cây bạch đàn, suy ra 4x + 5y = 375 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ này ta được x = 40, y = 43, z = 45.

Vậy số học sinh ba lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là 40, 43, 45 học sinh.

1.12. Cân bằng phương trình phản ứng hóa học đốt cháy methane trong oxygen

CH4 + O2 -> CO2 + H2O

Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phản ứng:

xCH4 + yO2 → zCO2 + tH2O.

Vì số nguyên tử C, H, O ở hai vế bằng nhau nên ta có hệ:

Đặt X = x/t, Y = y/t, Z = z/t ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:

Giải hệ này ta được X =1/2 , Y = 1, Z = 1/2. Từ đây suy ra x = 1/2t, y = t, z = 1/2t.

Chọn t = 2 ta được x = 1, y = 2, z = 1. Từ đó ta được phương trình cân bằng:

CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O

1.13.Cho đoạn mạch như Hình 1.2. Gọi I là cường độ dòng điện của mạch chính, I1, I2 và I3 là cường độ dòng điện mạch rẽ. Cho biết R1 = 6 Ω, R2 = 8 Ω, I = 3 A và I3 = 2 A. Tính điện trở R3 và hiệu điện thế U giữa hai đầu đoạn mạch.

Từ sơ đồ mạch điện, ta có hệ phương trình:

Lại có I1 = I2 nên (*) tương đương với

Giải hệ này ta được I1 = 1A , R2 = 7ΩΩ và U = 14 V.

1.14.Mỗi giai đoạn phát triển của thực vật cần phân bón với tỉ lệ N, P, K nhất định. Bác An làm vườn muốn bón phân cho một cây cảnh có tỉ lệ N : P : K cân bằng nhau. Bác An có ba bao phân bón :

Bao 1 có tỉ lệ N : P : K là 12 : 7 : 12.

Bao 2 có tỉ lệ N : P : K là 6 : 30 : 25.

Bao 3 có tỉ lệ N : P : K là 30 : 16 : 11.

Hỏi phải trộn ba loại phân bón trên với tỉ lệ bao nhiêu để có hỗn hợp phân bón với tỉ lệ N : P : K là 15 : 15 : 15?

Giả sử bác An cần trộn 1 kg phân bón với khối lượng ba loại phân bón này lần lượt là x, y, z.

Khi đó, tổng khối lượng phân đạm N trong 1 kg này là:

12%x + 6%y + 30%z;

Tổng khối lượng phân lân P trong 1 kg này là:

7%x + 30%y + 16%z;

Tổng khối lượng phân kali K trong 1 kg này là:

12%x + 25%y + 11%z.

Vì hỗn hợp phân bón mới có tỉ lệ N : P : K là15 : 15 : 15 nên ta có:

12%x + 6%y + 30%z = 15% . 1 (kg);

7%x + 30%y + 16%z = 15% . 1 (kg);

12%x + 25%y + 11%z = 15% . 1 (kg)

Hay ta có hệ sau: 

Giải hệ phương trình này ta được x = 0,5; y = 0,25; z = 0,25.

Vậy tỉ lệ ba loại phân trong đề bài là 0,5 : 0,25 : 0,25

hay 2 : 1 : 1.