Giải chuyên đề học tập Toán 10 KNTT bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic

2.XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CONIC THEO TÂM SAI VÀ ĐƯỞNG CHUẨN

Luyện tập 1:Lập phương trình đường conic biết tâm sai bằng một tiêu điểm F(–2; 0) và đường chuẩn tương ứng 

Điểm M(x; y) thuộc đường conic khi và chỉ khi

Vậy phương trình conic đã cho có phương trình là 

Vận dụng 2: Hãy cho biết quỹ đạo của từng vật thể trong bảng sau đây là parabol, elip hay hypebol.

Sao chổi Halley: elip

Sao chổi Hale-Bopp: elip

Sao chổi Hyakutake: elip

Sao chổi C/1980E1: hypebol

Oumuamua: hypebol.

BÀI TẬP 

3.17.  Viết phương trình các đường chuẩn của các đường conic sau:

a, Elip có a = 5, b = 4 ⇒ c=3

Các đường chuẩn của elip là:

 b,  Hypebol có a = 3, b = 2 => c=√13

Các đường chuẩn của hypebol là:

c, 2p = 8 ⇒ p = 4. Đường chuẩn của parabol là 

3.18. Cho hai elip 

a) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó.

b) Chứng minh rằng với mối điểm M thuộc elip (E2) thì trung điểm N của đoạn thẳng OM thuộc elip (E1).

a, (E1) có a1 = 5, b1 = 4 ⇒ c1=3

=> Tâm sai E1=c1/a1=3/5

(E2) có a2 = 10, b2 = 8 ⇒c2=6 

=>Tâm sai E2= c2/a2=6/10=3/5

Vậy e1 = e2.

b, Giả sử M có toạ độ là (x; y). Khi đó N có toạ độ là (x/2;y/2)

Vì M thuộc (E2) nên 

Như vậy toạ độ của N thoả mãn phương trình của (E1), do đó N thuộc (E1).

3.19. Viết phương trình của đường conic có tâm sai bằng 1, tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn là Δ: x + 2 = 0.

Điểm M(x; y) thuộc đường conic khi và chỉ khi

Vậy phương trình conic đã cho là y^2=8x

3.20.  Quỹ đạo chuyển động của sao chổi Halley là một elip, nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, có tâm sai bằng 0,967.

a) Giải thích vì sao ta có thể coi bất kì hình vẽ elip nào với tâm sai bằng 0,967 là hình ảnh thu nhỏ của quỹ đạo sao chổi Halley.

b) Biết khoảng cách gần nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là khoảng 88.106 km, tính khoảng cách xa nhất 

a) Xét hai elip bất kì có cùng tâm sai:

với e1 = e2­  tức là 

Xét phép vị tự tâm O tỉ số a2/a1

Khi đó với mỗi điểm M(x; y) thuộc (E1),

ta có tương ứng điểm

Vì M(x; y) thuộc (E1) nên 

 => M' thuộc (E2).

Vậy phép vị tự tâm O tỉ số a2/a1 biến (E1) thành (E2).

Như vây, một elip có cùng tâm sai với một elip khác đều có thể coi là mô hình thu nhỏ của elip đó. Do đó ta có thể coi bất kì hình vẽ elip nào với tâm sai bằng 0,967 là hình ảnh thu nhỏ của quỹ đạo sao chổi Halley.

b, Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 của elip, đơn vị trên các trục là triệu kilômét.

Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là Gọi toạ độ của sao chổi Halley là M(x; y).

Khoảng cách giữa sao chổi Halley và tâm Mặt Trời là MF1.

MF1 = a+cx/a vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF1 ≤ a + c

Khoảng cách gần nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là a – c.

Theo đề bài, ta có:

Khoảng cách gần nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là khoảng 88.106 km

⇒ a – c = 88.

Elip có tâm sai bằng 0,967

 Khoảng cách xa nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là:

a+c= 5245,3 (triệu kilômét).

Vậy khoảng cách xa nhất từ sao chổi Halley đến tâm Mặt Trời là khoảng 5245,3.10^6 kilômét.