Giải chuyên đề học tập Toán 10 KNTT bài: Bài tập cuối chuyên đề 2
Dưới đây là phần hướng dẫn giải chi tiết cụ thể cho bộ chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức bài: Bài tập cuối chuyên đề 2. Lời giải đưa ra ngắn gọn, cụ thể sẽ giúp ích cho em các em học tập ôn luyên kiến thức tốt, hình thành cho học sinh phương pháp tự học, tư duy năng động sáng tạo. Kéo xuống để tham khảo
2.19. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>= 1, ta có:
2.$2^1$ + 3.$2^2$ + 4.$2^3$ + ... + (n + 1).$2^n$ = n.$2^{n+1}$
Hướng dẫn trả lời:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Với n = 1 ta có 2.$2^1$ = 4 = 1.$2^{1+1}$
Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.
Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:
2.$2^1$ + 3.$2^2$ + 4.$2^3$ + ... + (k + 1).$2^k$ = k.$2^{k+1}$.
Chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:
2.$2^1$ + 3.$2^2$ + 4.$2^3$ + ... + (k + 1).$2^k$ + [(k + 1) + 1].$2^{k+1}$ = (k + 1)$2^{\left ( k+1 \right)+1}$
Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
2.$2^1$ + 3.$2^2$ + 4.$2^3$ + ... + (k + 1).$2^k$ + [(k + 1) + 1].$2^{k+1}$
=k.$2^{k+1}$ +[(k+1) +1].$2^{k+1}$
=(2k+2).$2^{k+1}$
=(k+1).2.$2^{k+1}$
=(k+1). $2^{k+2}$
(k+1). $2^{\left ( k+1 \right)+1}$
Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
2.20. Đặt 
a, Tính S1, S2, S3?
b, Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh nó bằng quy nạp
a, S1=1/1.3=1/3
S2= 1/1.3+1/3.5=2/5
S3= 1/1.3+1/3.5+1/5.7 =3.7
b, Từ a ta dự đoán được Sn= n/(2n+1)
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp tho n ta có:
Với n = 1 ta có S1=1/3= 1/(2.1+1)
Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1
Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: Sk= k/(2k+1)
Ta chứng minh khẳng định cũng đúng với n=k+1
Nghĩa là ta chứng minh
Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
2.21.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có 10^(2n + 1) + 1 chia hết cho 11.
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1.
Với n = 0 ta có 10^(2.0 + 1) + 1 = 11⁝11.
Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 0.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 10(2k + 1) + 1 chia hết cho 11.
Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: 10^(2(k + 1) + 1) + 1 chia hết cho 11.
Thật vậy, ta có:
10^(2(k + 1) + 1) + 1
= 10^((2k + 1) + 2 )+ 1
= 100.10^(2k + 1) + 1
= 100.10^(2k + 1) + 100 – 100 + 1
= 100(10^(2k + 1) + 1) – 100 + 1
= 100(10^(2k + 1) + 1) – 99.
Vì 10^(2k + 1) + 1 và 99 đều chia hết cho 11 nên 100(10^(2k + 1) + 1) – 99 chia hết cho 11. Do đó 10^(2(k + 1) + 1) + 1 chia hết cho 11.
Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.
2.22. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 5^(n) ≥ 3^(n) + 4^(n).
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1. Với n = 2 ta có 5^(2) = 25 = 3^(2) + 4^(2).
Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 2.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: 5^(k) ≥ 3^(k) + 4^(k).
Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với
n = k + 1,
nghĩa là ta sẽ chứng minh: 5^(k + 1) ≥ 3^(k + 1) + 4^(k + 1).
Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
5^(k + 1) = 5.5^(k) ≥ 5(3^(k) + 4^(k))
= 5. 3^(k) + 5.4^(k) ≥ 3. 3^(k) + 4.4^(k)
= 3^(k + 1) + 4^(k + 1).
Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.
2.23.
a) Khai triển (1 + x)^(10).
b) (1,1)^(10) và 2.
a, (1+x)^10
=
=
b, Áp dụng câu a ta có:
2.24. Tìm hệ số của x^(9) trong khai triển thành đa thức của (2x – 3)^(11).
Số hạng chứa x^(9) trong khai triển thành đa thức của
(2x – 3)^(11) là
= 
= 
Vậy hệ số của x^(9 )trong khai triển thành đa thức của
(2x – 3)^(11) là 253440.
2.25. Khai triển đa thức (1 + 2x)^(12) thành dạng
a0 + a1x + a2x^(2) + ... + a12x(12).
Tìm hệ số ak lớn nhất.
Số hạng chứa x^(k) trong khai triển thành đa thức của (1 + 2x)^(12) hay (2x + 1)^(12) là
Do đó: 
Thay các giá trị của k từ 0 đến 12 vào ak ta thấy a8 có giá trị lớn nhất và bằng 126720.
2.26. Chứng minh rằng
Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
Xét
Ta có:
Cho x=1 ta được
Ta có:
Cho x = 1, ta được:
Ta có: P+Q=M=2^2n và P-Q=N=0
Nên P=Q=2^2n:2= 2^2n-1
Áp dụng:
=> 2^2n-1= 2048
=> 2n-1= 11
=> n=6
2.27. Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị 
Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.
Ta có:
Nếu n lẻ thì * <=> 
Từ đây ta có 
Dấu "=" chỉ xảy ra khi k= (n-1)/2
Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là 
Nếu n chẵn thì (*) <=> 
Từ đây ta có: 
=> 
Dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị k nào.
Do đó chỉ có đúng một số có giá lớn nhất là 
Áp dụng:
Tổng các hệ số của khai triển (a+b)^(n) bằng 4096
=> Hệ số lớn nhất của khai triển là 
2.28. Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p + q)^(n) với p>0, q>0, p + q = 1
Đề sai
Vì q và p phải trái dấu