Giải chuyên đề học tập Toán 10 KNTT bài 4: Nhị thức Newton
Dưới đây là phần hướng dẫn giải chi tiết cụ thể cho bộ chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức bài 4: Nhị thức Newton. Lời giải đưa ra ngắn gọn, cụ thể sẽ giúp ích cho em các em học tập ôn luyên kiến thức tốt, hình thành cho học sinh phương pháp tự học, tư duy năng động sáng tạo. Kéo xuống để tham khảo
1.TAM GIÁC PASCAL
Hoạt động 1: Khai triển (a+b)^n, n thuộc {1;2;3;4;5}
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a^2 + 2ab + b^2
(a + b)3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a + b)4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
(a + b)5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5
Với n ∈ {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)^n:
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?
a) Có n + 1 số hạng, số hạng đầu tiên là an và số hạng cuối cùng là bn.
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng n.
Hoạt động 2: Tam giác Pascal
Viết các hệ số của khai triển (a + b)^n với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal
Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng n ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)n.
? Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
a) (a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b
b)(a+b)^8= a^8+8a^7b+28a^6b^2+56a^5b^3+70a^4b^4+56a^3b^5+28a^2b^6+8ab^7+b^8
Luyện tập 1:
a, Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a+b)^7
b, Sử dụng tam giá Pascal viết khai triển của (2x-1)^4
a, (a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b
b, (2x – 1)^4 = [(2x + (–1)]^4 = (2x)^4 + 4(2x)^3(–1) + 6(2x)^2(–1)^2 + 4(2x)(–1)^3 + (–1)^4 = 16x^4 – 32x^3 + 24x^2 – 8x + 1.
Hoạt động 3: Tính chất của kCn
a,Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu
(a + b)1 = a + b = C01a+C01bC10a+C10b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = C02a2+C12ab+C02b2C20a2+C21ab+C20b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = C03a3+C13a2b+C23ab2+C03b3C30a3+C31a2b+C32ab2+C30b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = ...
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = ...
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn,
Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa 
b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:
Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh
Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa 
a) (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
b, Ta thấy 
Dự đoán: 
2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
Luyện tập 2: Khai triển (x-2y)^6
(x-2y)^6
=
=
Luyện tập 3: Tìm hệ số của X^7 trong khai triển đa thức của (2-3x)^10
Số hạng chứa x7 trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)^10 hay (–3x + 2)^10 là
Vậy hệ số của x^7 trong khai triển thành đa thức là –2099520.
Vận dụng:
a, Viết khai triển nhị thức Newton của (1+x)^n
b, Cho x=1 trong khai triển ở câu a, viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này và lưu ý rằng 
chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hơn có n phần tử.
c, Tương tự, cho x=-1 trong khai triển ở câu a, viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.
a, Ta có:
b, Cho x=-1, ta được:
Ý nghĩa của đẳng thức này là tổng số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2^n
c, Cho x=-1, ta được
Ý nghĩa của đẳng thức này là số tập con có chẵn phần tử và số tập hợp con có lẻ phần tử của một tập hợp gồm n phần tử là bằng nhau.
BÀI TẬP
2.9. Sử dụng tam giá Pascal, viết khai triển:
a, (x-1)^5
b, (2x-3y)^4
a, 
b, 
2.10. Viết khai triển theo nhị thức Newton
a, (x+y)^6
b, (1-2y)^5
a, (x+y)^6
b, (1-2y)^5= [(-2x)+1]^5
2.11.Tìm hệ số của x^8 trong khai triển của (2x-3)^10.
Số hạng chứa X^8 trong khai triển của (2x+3)^10 là
Vậy hệ số của x^8 trong khai triển của (2x + 3)^10 là 103680.
2.12. Biết hệ số của x^2 trong khai triển của (1-3x)^n là 90. Tìm n
Số hạng chứa x^2 trong khai triển của (1 – 3x)^n hay [(–3x) +1]^n là
Vậy hệ số của x2 trong khai triển của (1 – 3x)n là 9(2Cn)
2.13. Từ khai triển biểu thức (3x-5)^4 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
(3x – 5)^4
=(3x)^4 + 4(3x)^3(–5) + 6(3x)^2(–5)^2 + 4(3x)(–5)^3 + (–5^)4
=81x^4 – 540x^3 + 1350x^2 – 1500x + 625.
Vậy các hệ số của đa thức này là :
81 – 540 + 1350 – 1500 + 625 = 16.
2.14. Tìm các hệ số của x^5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức
x(1-2x)^5 +X^2(1+3x)^10.
Số hạng chứa x^4 trong khai triển của (1 – 2x)^5
hay [(–2x) +1]5 là
Vậy hệ số của x^4 trong khai triển của (1 – 2x)^5 là 80
⇒ Hệ số của x^5 trong khai triển của x(1 – 2x)^5
là 1.80 = 80 (1).
Số hạng chứa x^3 trong khai triển của (1 + 3x)^10
hay [3x +1]^10 là
Vậy hệ số của x^3 trong khai triển của (1 + 3x)^10 là 3240
⇒ hệ số của x^5 trong khai triển của x^2(1 + 3x)^10 là 1.3240 = 3240 (2).
Từ (1) và (2) suy ra hệ số của x^5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức
x(1 – 2x)^5 + x^2(1 + 3x)^10 là 80 + 3240 = 3320.
2.15. Tính tổng sau đây
=
=
=
=-1
2.16. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn
Áp dụng câu c) phần Vận dụng trang 36 ta có:
Do đó:
Mặt khác, áp dụng câu b, phần vận dụng trang 36 ta có:
= 2^2n/2 = 2^2n-1 => 2n-1=2021
=> n=1011
2.17.Tìm số nguyên dương n sao cho
Ta có:
=> 3^n= 234
=> n=5
2.18. Biết rằng (2+x)^100= a0 + a1x + a2x2 + ... + a100x^100. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì ak Iớn nhất?
Ta có: Số hạng chứa x^k trong khai triển của (2 + x)^100 hay (x +2)^100 là
Vậy hệ số của x^k trong khai triển của (x + 2)^100 là:
Giải bất phương trình: ak ≤ a(k + 1) (1).
⇔ 2(k + 1) ≤ 100 - k ⇔ 3k ≤ 98 ⇔ k ≤ 32 (vì k là số tự nhiên).
Vì ak ≤ a(k + 1) ⇔ k ≤ 32 nên ak ≥ a(k + 1) ⇔ k ≥ 3đó a1≤a2≤...≤a32≤a33≥a34≥a35≥...≥a100.a1≤a2≤...≤a32≤a33≥a34≥a35≥...≥a100.
Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.
Do đó a33 là giá trị lớn nhất trong các ak