Giải SBT kết nối tri thức Toán 7 bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

BÀI TẬP

Bài tập 4.41 trang 68 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Trong những tam giác dưới đây (H.4.46), tam giác nào là tam giác cân, cân tại đỉnh nào? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

• Tam giác ABC có AB = AC (kí hiệu bằng nhau trên hình)

Do đó, tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác DEF, ta có:

$\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{F}=180^{\circ}$

Suy ra $\widehat{F}=180^{\circ}-(\widehat{D}+\widehat{E})=180^{\circ}-(70^{\circ}+50^{\circ})=60^{\circ}$

Do đó ta có, $\widehat{D}\neq \widehat{E}\neq \widehat{F}$. Vậy tam giác DEF không phải tam giác cân.

• Tam giác MNP có $\widehat{N}=\widehat{P}(=50^{\circ})$.

Do đó, tam giác MNP cân tại đỉnh M.

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác KGH, ta có:$\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^{\circ}$

Suy ra $\widehat{H}=180^{\circ}-(\widehat{K}+\widehat{G})=180^{\circ}-(40^{\circ}+70^{\circ})=70^{\circ}$.

Do đó tam giác KGH có $\widehat{G}=\widehat{H}=70^{\circ}$

Vậy tam giác KGH cân tại đỉnh K.

Bài tập 4.42 trang 68 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Tính số đo các góc còn lại trong các tam giác cân dưới đây (H.4.47).

Hướng dẫn trả lời:

• Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Suy ra $\widehat{C}=\widehat{B}=65^{\circ}$.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$

Suy ra $\widehat{A}=180-(\widehat{B}+\widehat{C})=180^{\circ}-(65^{\circ}+65^{\circ})=50^{\circ}$.

• Tam giác MNP có MN = MP nên tam giác MNP cân tại đỉnh M.

Suy ra $\widehat{P}=\widehat{N}$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác MNP, ta có: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180^{\circ}$

$=>2\widehat{N}=180^{\circ}-\widehat{M}=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$

=> $\widehat{N}=52.5^{\circ}$.

Vậy $\widehat{P}=\widehat{N}=52.5^{\circ}$

Bài tập 4.43 trang 69 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Tam giác ABC có hai đường cao BE và CF bằng nhau (H.4.48). Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác ABE vuông tại E, do đó: $\widehat{A}+\widehat{ABE}=90^{\circ}$=> $\widehat{ABE}=90^{\circ}-\widehat{A}$.

Tam giác ACF vuông tại F, do đó: $\widehat{A}+\widehat{ACF}=90^{\circ}=>\widehat{ACF}=90^{\circ}-\widehat{A}$

Từ đó, suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$

Xét tam giác vuông AEB và tam giác vuông AFC có:

BE = CF (theo giả thiết)

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$ (cmt)

Do đó, ∆AEB = ∆AFC (cạnh góc vuông và góc nhọn kề nó).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Vậy tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Bài tập 4.44 trang 69 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABD vuông tại B.

b)$ \Delta ABD=\Delta BAC$

c) Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại đỉnh M.

Hướng dẫn trả lời:

a)Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:

MA = MD (gt)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMC}=\widehat{DMB}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta AMC = \Delta DMB$ (c . g . c).

Suy ra $\widehat{DBM}=\widehat{ACM}$ (hai góc tương ứng).

Do tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}+\widehat{ACM}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^{\circ}$

Khi đó, ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=\widehat{ABC}+\widehat{DBM}=\widehat{ABC}+\widehat{ACM}=90^{\circ}$

Suy ra $\widehat{ACM}=90^{\circ}$

Vậy tam giác ABD vuông tại B.

b)Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông BAC có:

BD = AC (do $\Delta AMC = \Delta DMB$)

AB cạnh chung

Do đó, $\Delta ABD = \Delta BAC$ (hai cạnh góc vuông).

c) Do tam giác ABC vuông tại A nên AC $\perp$ AB tại A.

Tam giác ABD vuông tại B nên DB $ \perp$AB tại B.

Suy ra AC // DB (do cùng vuông góc với AB).

=> $\widehat{BDA}=\widehat{CAD}$ (hai góc so le trong).

Lại có: $\widehat{ACB}=\widehat{BDA}$ (do $\Delta ABD = \Delta BAC$).

Do đó, $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}$, hay $\widehat{CAM}=\widehat{ACM}$.

Suy ra tam giác AMC cân tại đỉnh M.

Khi đó MA = MC.

Mà MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Nên MA = MB = MC.

Do đó, tam giác AMB cân tại đỉnh M.

Bài tập 4.45 trang 69 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A. Chứng minh rằng:

a) Hai đường trung tuyến BM, CN bằng nhau (H.4.50a).

b) Hai đường phân giác BE, CF bằng nhau (H.4.50b).

Hướng dẫn trả lời:

a) Do BM và CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Khi đó, AM=MC=AC / 2; AN=NB=AB / 2.

Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại đỉnh A).

Do đó, AM = MC = AN = NB.

Xét tam giác ABM và tam giác ACN có:

AB = AC

$\widehat{A}$ góc chung

AM = AN

Do đó, $\Delta ABM = \Delta ACN$ (c . g . c).

Suy ra BM = CN (đpcm).

b) Do BE là đường phân giác của góc ABC nên $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$

Và CF là đường phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACF}= \frac{1}{2}\widehat{ACB}$

Lại có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân tại đỉnh A).

Do đó, $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$

Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

$\widehat{A}$ chung

AB = AC

$\widehat{ABE}=\widehat{ACF}$

Do đó, $\Delta ABE = \Delta ACF$ (g . c . g)

Suy ra, BE = CF (đpcm).

Bài tập 4.46 trang 69 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho các điểm A, B, C, D, E như hình 4.51. Chứng minh rằng:

a) $\Delta AEB$ và $\Delta DEC$ là các tam giác cân đỉnh E.

b) AB//CD

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét tam giác vuông ADB và tam giác vuông BCA có:

AB: cạnh huyền chung

AD = CB (gt)

Do đó, $\Delta ADB = \Delta BCA $(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{DBA}=\widehat{CAB}$ hay $\widehat{EBA}=\widehat{EAB}$.

Khi đó tam giác EAB cân tại đỉnh E.

Xét tam giác vuông ADE và tam giác vuông BCE có:

AD = CB (gt)

EA = EB ($\Delta EAB$ cân tại đỉnh E)

Do đó, $\Delta ADE = \Delta BCE$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra ED = EC.

Do đó, tam giác EDC cân tại đỉnh E.

b) Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EAB, ta có:

$\widehat{EBA}+\widehat{AEB}+\widehat{AEB}=180$

Mà $\widehat{EBA}=\widehat{EAB}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{EBA}=\frac{180-\widehat{AEB}}{2}$ (1)

Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EDC, ta có:

$\widehat{EDC}+\widehat{ECD}+\widehat{DEC}=180$

Mà $\widehat{EDC}=\widehat{ECD}$ ($\Delta $ECD cân tại đỉnh E).

Suy ra $\widehat{EDC}=\frac{180-\widehat{DEC}}{2}$ (2)

Ta lại có: $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh).     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{EDC}$, hay $\widehat{DBA}=\widehat{BDC}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Vậy AB // DC.

Bài tập 4.47 trang 70 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho tam giác ABH vuông tại đỉnh H có $\widehat{ABH}=60^{\circ}$. Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HB = HC (H.4.52). Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác đều và BH =$\frac{AB}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có:

AH: cạnh chung

HB = HC (gt)

Do đó, $\Delta ABH = \Delta ACH$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC.   (1)

Do đó, tam giác ABC cân tại đỉnh A.

$=>\widehat{C}=\widehat{B}=\widehat{ABH}=60^{\circ}$

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác).

Suy ra $\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$

Khi đó $\widehat{B}=\widehat{BAC}$, do đó tam giác ABC cân tại đỉnh C nên AC = BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC.

Do đó, $\Delta $ABC đều.

Vì H thuộc BC và điểm H nằm giữa điểm B và điểm C, hơn nữa HB = HC, do đó H là trung điểm của BC.

Suy ra BH=$\frac{BC}{2}$

Mà BC = AB (chứng minh trên).

Vậy BH = $\frac{AB}{2}$

Bài tập 4.48 trang 70 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Đường thẳng d trong hình nào dưới đây là trung trực của đoạn thẳng AB?

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Do đó, trong các Hình 4.53, chỉ có đường thẳng d trong Hình 4.53a là đường trung trực của đoạn thẳng.

Bài tập 4.49 trang 70 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho A là một điểm tùy ý nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC sao cho A  không thuộc BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) AB=AC.

b) Tam giác ABC đều.

c) $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

d) Tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Hướng dẫn trả lời:

Điểm A thuộc đường trung trực của BC nên AB = AC (điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó).

Do đó, ∆ABC cân tại đỉnh A.

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Vậy các câu a), c), d) đúng.

Câu b) chưa đúng vì ta chưa đủ dữ kiện để tam giác ABC đều, do ta chỉ có AB = AC, và độ dài đoạn thẳng BC bất kì.

Bài tập 4.50 trang 70 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có đường cao AH. Cho M là một điểm tùy ý trên đường thẳng AH sao cho M không trùng với A (H.4.54). Chứng minh rằng: $\widehat{MBA}=\widehat{MCA}$

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có:

AB = AC ($\Delta $ABC cân tại đỉnh A)

AH: cạnh chung

Do đó, $\Delta ABH = $\Delta ACH$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{CAH},$ hay $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$.

Xét tam giác ABM và ACM có:

AB = AC ($\Delta $ABC cân tại đỉnh A)

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

AM: cạnh chung

Do đó, $\Delta ABM = \Delta ACM$ (c . g . c).

Suy ra $\widehat{MBA}=\widehat{MCA}$