Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 kết nối mới bài 10 Bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản
Giải bài 10 Bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản sách chuyên đề Toán 11 kết nối. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài học.
1. BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT
Hoạt động: Cho sơ đồ như trên Hình 2.28, ở đó A, B, C, D, E, F là các địa điểm nối với nhau bởi các con đường với độ dài của mỗi con đường được cho như trên hình.
a) Hãy chỉ ra hai đường đi từ A đến F và so sánh độ dài của hai đường đi đó.
b) Với mỗi đỉnh V của sơ đồ trên Hình 2.28, ta gắn số I(V) là khoảng cách ngắn nhất để đi từ A đến V và gọi là nhãn vĩnh viễn của đỉnh V. Như vậy, ta có ngay I(A) = 0. Dựa vào Hình 2.28, hãy tìm các nhãn vĩnh viễn I(B), I(C) của hai đỉnh kề với A là B, C.
Hướng dẫn trả lời:
a) Hai đường đi từ A đến F là: ABDF và ACEF.
Độ dài đường đi ABDF là 3 + 7 + 9 = 19; độ dài đường đi ACEF là 1 + 5 + 8 = 14. Suy ra: độ dài ABDF lớn hơn độ dài ACEF.
b) I(B) = 3; I(C) = 1.
2. BÀI TOÁN NGƯỜI ĐƯA THƯ
Luyện tập: Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.32.
Hướng dẫn trả lời:
Đồ thị chỉ có 2 đỉnh bậc lẻ là A và D nên ta có thể tìm được một đường đi Euler từ đến D.
Một đường đi Euler từ A đến D là AEFABEDBCD và tổng độ dài của nó là: 7 + 9 + 10 + 2 + 8 + 16 + 15 + 3 + 4 = 74.
Để quay trở lại điểm xuất phát và có đường đi ngắn nhất, ta cần tìm một đường đi ngắn nhất từ D đến A theo thuật toán đã mô tả ở Mục 1.
Đường đi ngắn nhất từ D đến A là DCBA và có độ dài là 4 + 3 + 2 = 9.
Vậy chu trình cần tìm là AEFABEDBCDCBA và có độ dài là 74 + 9 = 83.
BÀI TẬP
2.15. Tìm đường đi ngắn nhất từ A đến D trong đồ thị có trọng số trên Hình 2.33.
Hướng dẫn trả lời:
Ta có bảng sau:
A | B | C | E | F | D |
(0, A) | ( ∞,-) | (∞,-) | (∞,-) | (∞,-) | (∞,-) |
- | (4, A) | - | - | (3, A)* | (20, A) |
- | (4, A)* | (8, F) | (18, F) | - | - |
- | - | (8, F)* | (13, B) | - | - |
- | - | - | (10, C)* | - | (18, C) |
- | - | - | - | - | (17, E) |
(0, A) | (4, A) | (8, F) | (10, C) | (3, A) | (17, E) |
Đường đi ngắn nhất từ A đến D là AFCED với độ dài 17.
2.16. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh S đến mỗi đỉnh khác của đồ thị có trọng số trên Hình 2.34.
Hướng dẫn trả lời:
S | A | B | C | D | E | F |
(0,S) | (∞ ,-) | (∞,-) | (∞,-) | (∞,-) | (∞,-) | (∞,-) |
- | (2, S) | (1, S)* | (7, S) | - | - | - |
- | (2, S)* | - | (6, B) | (13, B) | (16, B) | (10, B) |
- | - | - | - | (7, A)* | (10, A) | - |
- | - | - | - | - | (9, D)* | - |
- | - | - | - | - | - | (15, E) |
(0, S) | (2, S) | (1, S) |
| (7, A) | (9, D) | (15, E) |
Đường đi ngắn nhất từ đỉnh S đến đỉnh F: SADEF, có độ dài 15.
Đường đi ngắn nhất từ đỉnh S đến đỉnh A: SA, có độ dài 2.
Đường đi ngắn nhất từ đỉnh S đến đỉnh B: SB, có độ dài 1.
Đường đi ngắn nhất từ đỉnh S đến đỉnh C: SBC, có độ dài 6.
Đường đi ngắn nhất từ đỉnh S đến đỉnh D: SAD, có độ dài 7.
Đường đi ngắn nhất từ đỉnh S đến đỉnh E: SADE, có độ dài 9.
2.17. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.35.
Hướng dẫn trả lời:
Vì đồ thị liên thông và các đỉnh đều có bậc chẵn (đỉnh A, F bậc 2, đỉnh B, C, D, E bậc 4) nên đồ thị có chu trình Euler.
Một chu trình Euler xuất phát từ đỉnh A là ABDFEDCEBCA và độ dài là 51.
2.18. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.36.
Hướng dẫn trả lời:
Đồ thị chỉ có hai đỉnh bậc lẻ là C và E nên ta có thể tìm được một đường đi Euler từ C đến E (đường đi này đi qua mỗi cạnh đúng một lần).
Một đường đi Euler từ C đến E là CABDEBCE và tổng độ dài của nó là: 2 + 1 + 3 + 6 + 5 + 4 + 10 = 31.
Để quay trở lại điểm xuất phát và có đường đi ngắn nhất, ta cần tìm một đường đi ngắn nhất từ E đến C theo thuật toán đã mô tả ở Mục 1.
Đường đi ngắn nhất từ E đến C là EBAC và có độ dài là 5 + 1 + 2 = 8.
Vậy một chu trình cần tìm là CABDEBCEBAC và có độ dài là 31 + 8 = 39