Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 kết nối mới bài tập cuối chuyên đề 1

1.27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ: 2x - y - 1 = 0 và hai điểm A(-1; 2), B(-3; 4).

a) Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục Δ.

b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn trả lời:

Đường thẳng Δ: y = 2x - 1.

a) Gọi $A'(x_{1},y_{1})$ là ảnh của A(-1; 2) qua phép đối xứng trục Δ và phương trình đường thẳng AA': y = ax + b.

Ta có: AA' vuông góc với Δ

Suy ra: 2.a = -1 ⇒ $A=-\frac{1}{2}$

Ta có: A(-1; 2) thuộc đường thẳng AA' nên $2=-\frac{1}{2}.(-1)+b$. Do đó: $b=\frac{3}{2}$

Suy ra: Phương trình đường thẳng AA': $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

Gọi I là giao điểm của AA' và Δ.

Ta có: $-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}=2x-1$ ⇔ x = 1 ⇒ y = 1. Suy ra, I(1; 1).

Do I là trung điểm của AA' nên $\vec{IA}=-\vec{IA'}$

Suy ra: A'(3; 0). 

b) Tam giác ABM có: MA + MB ≥ AB

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M thuộc AB hay M, A, B thẳng hàng

Mà M thuộc đường thẳng Δ (đề bài)

Do đó: M là giao điểm của đường thẳng AB và Δ thì MA + MB đạt giá trị  nhỏ nhất.

1.28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x - y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}(-3;4)$

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A(0; 5) và $B(-\frac{5}{2};0)$ thuộc đường thẳng d.

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{u}(-3;4)$; B' là ảnh của B qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{u}(-3;4)$

Ta có: $\vec{AA'}=\vec{BB'}=\vec{u}=(-3;4)$

Suy ra: A'(-3; 9), $B'(-\frac{11}{2};4)$ thuộc đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{u}(-3;4)$

Phương trình đường thẳng d': 2x - y + 15 = 0.

1.29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0$ Viết phương trình của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A(3; -3).

Hướng dẫn trả lời:

Đường tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 3. 

Gọi I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A(3; -3)

Suy ra: $\vec{AI'}=-\vec{AI}$. Do đó, I'(5; -8)

Vậy đường tròn (C') có tâm I'(5; -8), bán kính R = 3 là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A(3; -3).

1.30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9$. Phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = -2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Viết phương trình đường tròn (C').

Hướng dẫn trả lời:

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 3.

Gọi I' là ảnh của I qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = -2.

Ta có: $\vec{OI'}=-2\vec{OI}$ Suy ra: I'(-2; 4).

Vậy đường tròn (C') có tâm I'(-2; 4), bán kính R = 3.2 = 6 là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = -2.

Phương trình đường tròn (C'): $(x+2)^{2}+(y-4)^{2}=36$

1.31. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho $\vec{EF}$ không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{EF}$

Vì AA'FE là hình bình hành nên A'F = AE.

Do đó: AE + BF = A'F + BF.

Tam giác A'BF có: A'F + BF ≥A'B.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi F thuộc A'B hay F là giao điểm của A'B với đường thẳng d.

Vì vectơ $\vec{EF}$ không đổi nên khi xác định được F ta suy ra được E.

1.32. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đỉnh B, C cố định còn đỉnh A thay đổi trên đường tròn đó. Vẽ hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng điểm D luôn thuộc một đường tròn cố định.

Hướng dẫn trả lời:

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC, AD // BC.

Do đó: Phép tịnh tiếng vectơ $\vec{BC}$ biến A thành D.

Vậy D thuộc đường tròn là ảnh của đường tròn tâm O, bán kính OA qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{BC}$

1.33. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABM tam giác AMN vuông cân tại M. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên nửa đường tròn thì điểm N luôn thuộc một nửa đường tròn cố định.

Hướng dẫn trả lời:

Vì tam giác AMN vuông cân tại M nên MN = MA, $\widehat{AMN}=90^{o}$

Do đó: Phép quay tâm M, góc quay $90^{o}$ biến điểm A thành điểm N.

Vậy N thuộc nửa đường tròn có tâm là ảnh của tâm O của nửa đường tròn đường kính AB qua phép quay tâm M, góc quay $90^{o}$

1.34. Bằng quan sát và đo đạc, hãy cho biết hai hình sau (Hình 1.55) có đồng dạng với nhau hay không.

Hướng dẫn trả lời:

Hai hình không đồng dạng với nhau vì chiều dài của hai hình bằng nhau trong khi chiều rộng của hình bên phải bằng hai lần chiều rộng của hình bên trái.