Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 kết nối mới bài 3 Phép đối xứng trục

1. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Hoạt động 1: Cầu Ponte Sisto in hình dưới dòng sông Tiber, tạo nên một hình ảnh có tính đối xứng trục.

a) Hãy chỉ ra trục đối xứng của hình ảnh đó.

b) Có thể đếm được bao nhiêu hình bóng điện dưới dòng sông? Mỗi hình ảnh đó là ảnh dưới sông của bóng điện nào trên cầu. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Trục đối xứng là giao điểm giữa chân cầu và mặt nước. 

b) Có thể đếm được năm bóng điện dưới dòng sông. Mỗi hình đó là ảnh dưới sông của bóng điện đối xứng qua trục ở câu a) trên cầu.

Luyện tập 1: Xét mặt phẳng tọa độ Oxy (H.1.15). Trong các khẳng định sau, chọn các khẳng định đúng.

a) Phép đối xứng trục Ox biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm có tọa độ (x; -y).

b) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm có tọa độ (-x; y).

c) Phép đối xứng trục Ox biến A(1; 2) thành điểm A'(-1; -2). 

Hướng dẫn trả lời:

Khẳng định a và b đúng.

2. TÍNH CHẤT

Hoạt động 2: Cho phép đối xứng trục d biến M thành M', N thành N'. Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với d (H.1.16a). Giả sử M có tọa độ $(x_{1};y_{1})$, N có tọa độ là $(x_{2};y_{2})$

a) Hãy cho biết tọa độ của M', N'.

b) Tính $MN^{2},M'N'^{2}$ theo tọa độ của các điểm tương ứng.

c) So sánh độ dài các đoạn thẳng MN, M'N',

Hướng dẫn trả lời:

a) $M'(-x_{1};y_{1})$ là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy.

$N'(-x_{2};y_{2})$ là ảnh của N qua phép đối xứng trục Oy.

b) Ta có: $MN^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$

$M'N'^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$

c) Từ câu b) suy ra: MN = M'N'.

Luyện tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x - y - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox. 

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A(0; -1), $B(\frac{1}{3};0)$ là hai điểm thuộc đường thẳng d. 

Ta có: A'(0; 1) là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox; B là ảnh của chính nó qua phép đối xứng trục Ox.

Do đó: Đường thẳng d' đi qua A' và B là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox. 

Phương trình đường thẳng d': 3x + y - 1 = 0.

Luyện tập 3: Cho đường thẳng Δ và hai điểm A, B sao cho Δ không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M thay đổi trên Δ (M không thuộc đường thẳng AB). Gọi M' là điểm sao cho A, B, M, M' là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy. Chứng minh rằng M' thay đổi trên một đường thẳng cố định.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi C, D lần lượt là trung điểm của AB và MM'.

Vì ABMM' là hình thang cân nên CD là trục đối xứng của hình thang cân ABMM'.

Do đó: M' là ảnh của M qua phép đối xứng trục CD.

Vậy M' thuộc đường thẳng vuông góc với CD sao cho DM = DM'. 

Vận dụng: Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.

Hướng dẫn trả lời:

Hình bên phải có trục đối xứng.

BÀI TẬP

1.6. Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định phép đối xứng trục biến điểm A thành điểm B.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi đường thẳng d là đường trung trực của đoạn AB.

Suy ra: Phép đối xứng trục d biến điểm A thành điểm B.

1.7. Cho hai đường tròn không đồng tâm, nhưng có cùng bán kính $(O_{1};R)$ và $(O_{2};R)$. Xác định phép đối xứng trục biến $(O_{1};R)$ thành $(O_{2};R)$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có ba trường hợp: Phép đối xứng trục d biến $(O_{1};R)$ thành $(O_{2};R)$

1.8. Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d. Gọi M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d. Hỏi A, B, M, N có là 4 đỉnh của một hình thang cân không?

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: M là điểm đối xứng của A qua d, nên AM vuông góc với d

N là điểm đối xứng của B qua d, nên BN vuông góc với d

Suy ra: AM // BN và AB = MN (phép đối xứng bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm)

Do đó: Tứ giác AMNB là hình thang cân.

1.9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Δ: x + 2y - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với Δ qua trục Ox.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $A(0;\frac{1}{2})$ B(1; 0) là hai điểm thuộc đường thẳng Δ.

Ta có: $A'(0;-\frac{1}{2})$ là ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox.

B là ảnh của chính nó qua phép đối xứng trục Ox.

Do đó: Đường thẳng d đi qua A' và B là ảnh của đường thẳng Δ qua phép đối xứng trục Ox.

Phương trình đường thẳng d: x - 2y - 1 = 0.

1.10. Dùng com-pa, thước kẻ, bút, hãy vẽ lại các nét thẳng và tròn trong Hình 1.19.

Hướng dẫn trả lời: