Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 kết nối mới bài 2 Phép tịnh tiến

MỞ ĐẦU

Khi diễu hành, để đội hình được giữ vững, ở mỗi bước, những người tham gia cần tiến đều nhau về cùng một hướng. Điều này có gì liên quan tới Toán học? 

Hướng dẫn trả lời:

Điều này thể hiện phép tịnh tiến trong toán học. 

1. PHÉP TỊNH TIẾN

Hoạt động 1: Ở mỗi bước của đội hình diễu hành, gọi vectơ dịch chuyển của mỗi người tham gia là vectơ có điểm gốc và điểm ngọn tương ứng là vị trí trước và sau khi bước của người đó. Để giữ vững đội hình, ở mỗi bước, các vectơ dịch chuyển của những người tham gia cần có mối quan hệ gì với nhau?

Hướng dẫn trả lời:

Để giữ vững đội hình, ở mỗi bước, các vectơ dịch chuyển của những người tham gia phải như nhau (hoặc bằng nhau). 

Luyện tập 1: Trong Hình 1.6, tìm ảnh của các điểm M, N, P, Q, B qua phép tịnh tiến theo $\vec{AB}$

Hướng dẫn trả lời:

C là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo $\vec{AB}$

D là ảnh của N qua phép tịnh tiến theo $\vec{AB}$

E là ảnh của P qua phép tịnh tiến theo $\vec{AB}$

F là ảnh của Q qua phép tịnh tiến theo $\vec{AB}$

H là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo $\vec{AB}$

Vận dụng 1: Bạn Hùng tham gia vào một khối diễu hành. Trong khi diễu hành, mỗi bước Hùng tiến về hướng đông 30cm. Để giữ vững đội hình, sau mỗi bước, tất cả mọi người tham gia trong khối diễu hành của Hùng cần dời tới vị trí mới là ảnh của vị trí cũ qua phép biến hình nào?

Hướng dẫn trả lời:

Để giữ vững đội hình, sau mỗi bước, tất cả mọi người tham gia trong khối diễu hành của Hùng cần dời tới vị trí mới là ảnh của vị trí cũ qua phép tịnh tiến về hướng đông 30cm. 

2. TÍNH CHẤT

Hoạt động 2: Phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ biến M thành M', N thành N' (H.1.7).

a) Có nhận xét gì về $\vec{MM'} +\vec{M'N}$ và $\vec{M'N}+\vec{NN'}$

b) Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\vec{MN}$ và $\vec{M'N'}$

a) Ta thấy: $\vec{MM'}+\vec{M'N}=\vec{M'N}+\vec{NN'}$

b) Hai vectơ $\vec{MN}$ và $\vec{M'N'}$ bằng nhau.

Luyện tập 2: Cho đường tròn (O; R) và điểm O' khác điểm O. Với mỗi điểm M thuộc (O; R) sao cho O, O', M không thẳng hàng, vẽ hình bình hành MOO'M'. Hỏi khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường nào?

Hướng dẫn trả lời:

Vì MOO'M' là hình bình hành nên OO' song song và bằng MM' hay $\vec{OO'}=\vec{MM'}$

Do đó: O' và M' lần lượt là ảnh của O và M qua phép tịnh tiến $\vec{OO'}$

Vậy khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường tròn (O'; R).

Vận dụng 2: Trong việc lát mặt phẳng bởi các tam giác đều bằng nhau như được thể hiện trong Hình 1.10, phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}$ có biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh, mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ hay không? 

Hướng dẫn trả lời:

Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}$ có biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh, mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ.

BÀI TẬP

1.3. Cho $\vec{u}$  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ. Hỏi phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ biến Δ thành đường thẳng nào?

Hướng dẫn trả lời:

Phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ biến Δ thành đường thẳng Δ′ sao cho Δ′ song song hoặc trùng với Δ.

1.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=25$ và vectơ $\vec{u}=(3,4)$

a) Xác định ảnh của tâm đường tròn (C) qua phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$

b) Viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua $T_{\vec{u}}$

Hướng dẫn trả lời:

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 5.

a) Gọi I' là ảnh của I qua phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$

Ta có: $\vec{II'}=\vec{u}=(3,4)$

Do đó: Tọa độ I' là (4; 2)

Vậy đường tròn (C') tâm I'(4; 2), bán kính R = 5 là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$

b) Phương trình đường tròn (C'): $(x-4)^{2}+(y-2)^{2}=25$

1.5. Trong việc lát sàn nhà như Hình 1.11, viên gạch ở hàng dọc thứ 4 từ trái sang và hàng ngang thứ 2 từ dưới lên là ảnh của viên gạch ở góc dưới bên trái qua phép tịnh tiến theo vectơ nào? (Gợi ý: Tính vectơ tịnh tiến đó theo hai vectơ $\vec{u},\vec{v}$  trên hình vẽ). 

Hướng dẫn trả lời: