Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 kết nối mới bài 7 Phép đồng dạng

MỞ ĐẦU

Phép dời hình cho phép ta thể hiện mối quan hệ giống nhau cả về hình dạng và kích thước giữa các hình. Đối với các hình chỉ giống nhau về hình dạng còn kích thước có thể khác nhau thì sao? Đối tượng toán học nào cho phép ta thể hiện điều đó?

Hướng dẫn trả lời:

Phép đồng dạng thể hiện các hình chỉ giống nhau về hình dạng còn kích thước có thể khác nhau.

Hoạt động: Hai tấm ảnh Dinh Thống Nhất ở hình trên giống nhau về hình dạng, chỉ khác nhau về kích thước.

a) Hãy đo và cho biết chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp mấy lần chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh nhó.

b) Nếu lấy hai vị trí A, B bất kì thuộc tấm ảnh nhỏ và các vị trí A', B' tương ứng với chúng trên tấm ảnh lớn thì khoảng cách giữa A' và B' gấp mấy lần khoảng cách giữa A và B? Hãy lấy ví dụ cụ thể các vị trí và đo để kiểm tra câu trả lời của bạn.

Hướng dẫn trả lời:

a) Chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp 2 lần chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.

b) Khoảng cách giữa A' và B' gấp hai lần khoảng cách giữa A và B.

Luyện tập 1: Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đồng dạng f với tỉ số $k_{1}$ và phép đồng dạng g với tỉ số $k_{2}$ là một phép đồng dạng với tỉ số $k_{1}.k_{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử:

Phép đồng dạng f với tỉ số $k_{1}$ biến hai điểm M, N thành M', N'. 

Suy ra: $\overrightarrow{M'N'}$ = $k_{1}$.$\overrightarrow{MN}$ (1)

Phép đồng dạng g với tỉ số k2 biến hai điểm M', N' thành M'', N''.

Suy ra: $\overrightarrow{M''N''}$ = $k_{2}$.$\overrightarrow{M'N'}$ (2)

(1)(2) suy ra: $\overrightarrow{M''N''}=k_{1}.k_{2}.\overrightarrow{MN}$

Vậy phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đồng dạng f với tỉ số $k_{1}$ và phép đồng dạng g với tỉ số $k_{2}$ là một phép đồng dạng với tỉ số $k_{1}.k_{2}$

Luyện tập 2: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B. Điểm M thay đổi trên đường thẳng d. Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB và P là trung điểm của đoạn thẳng BN. Chứng minh rằng P thuộc một đường thẳng cố định.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi E là giao điểm của AB và MN nên E là trung điểm của MN.

Tam giác NMB có: P là trung điểm NB; E là trung điểm MN

Do đó: $\frac{NP}{NB}=\frac{NE}{NM}=\frac{1}{2}$ 

Phép đồng dạng tâm N, tỉ số $\frac{1}{2}$ biến P thành B, E thành M. Do đó, quỹ tích điểm P thuộc đường thẳng sao cho qua P có phép đồng dạng tâm N, tỉ số $\frac{1}{2}$

Vận dụng: Trong hai hình Dinh Thống Nhất ở Hình 1.50, hãy chỉ ra phép đồng dạng biến hình nhỏ thành hình lớn.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: Phép quay tâm O, góc quay $\frac{\pi}{2}$ biến hình nhỏ (1) thành hình nhỏ (2).

Phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 biến hình nhỏ (2) thành hình lớn.

Do đó: Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay $\frac{\pi}{2}$ và phép vị tự $V_{(O,2)}$ biến hình nhỏ (1) thành hình lớn.

BÀI TẬP

1.24. Một phép đồng dạng biến ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC tương ứng thành A', B', C'. Chứng minh rằng $\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=\frac{AB}{A'B'}$

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử phép đồng dạng tỉ số k biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' (Hình vẽ bên dưới)

Ta có: B'C' = kBC; C'A' = kCA; A'B' = kAB

Suy ra: $\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{k}$

1.25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(3x; -3y).

a) Tìm ảnh của các điểm O(0; 0), N(2; 2).

b) Chứng minh rằng f là một phép đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M'(3x; -3y).

Suy ra: Phép biến hình f biến điểm O(0; 0) thành chính nó, biến điểm N(2; 1) thành điểm N'(6; -3).

b) Giả sử phép biến hình f biến hai điểm $A(x_{A};y_{A})$ và $B(x_{B},y_{B})$ lần lượt thành $A'(3x_{A};-3y_{A})$ và $B'(3x_{B},-y_{B})$

Ta có: $\vec{AB}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$

$\vec{A'B'}=(3x_{B}-3x_{A};-3y_{B}+y_{A})=3(x_{B}-x_{A};-y_{B}+y_{A}$

Suy ra: A'B' = 3AB

Do đó: Phép biến hình f là một phép đồng dạng với tỉ số k = 3.

1.26. Hai hình H và H'' trong Hình 1.52 được vẽ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Bằng quan sát, hãy chỉ ra một phép đối xứng trục f và một phép vị tự g sao cho phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép f và g (thực hiện f trước, g sau) biến hình H thành hình H''. 

Hướng dẫn trả lời: