Giải chi tiết chuyên đề Toán 11 kết nối mới bài tập cuối chuyên đề 3

3.17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Nếu mặt phẳng chiếu đứng song song với mặt phẳng (ABB'A') thì các hình chiếu đứng của A và D trùng nhau.

b) Nếu mặt phẳng chiếu bằng song song với mặt phẳng (ABCD) thì các hình chiếu bằng của C và C' trùng nhau.

c) Nếu mặt phẳng chiếu cạnh song song với mặt phẳng (BCC'B') thì các hình chiếu cạnh của A và C trùng nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Mệnh đề đúng là: a, b.

3.18. Bản vẽ trong Hình 3.50 có đáp ứng các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.

Hướng dẫn trả lời:

Bản vẽ trong Hình 3.50 thể hiện duy nhất một vật thể cần được biểu diễn, tuy nhiên kích thước của vật thể không được xác định đầy đủ từ bản vẽ nên bản vẽ không đáp ứng được nguyên tắc đầy đủ của vẽ kĩ thuật. Kích thước bị thiếu là:

3.19. Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc $(P_{1})$, $P_{2})$ và $(P_{3})$ giao nhau tại O. Gọi $A_{1},A_{2},A_{3}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng$(P_{1})$, $P_{2})$ và $(P_{3})$. Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của $(P_{1})$ và $(P_{2})$, $(P_{2})$ và $(P_{3})$, $(P_{3})$ và $(P_{1})$

a) Chứng minh $OA^{2}=OM^{2}+ON^{2}+OP^{2}$

b) Áp dụng ý a để chứng minh $OA=\sqrt{\frac{OA_{1}^{2}+OA_{2}^{2}+OA_{3}^{2}}{2}}$

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác OMA vuông tại M có: $OA^{2}=OM^{2}+AM^{2}$ (1)

Tam giác ONA vuông tại N có: $OA^{2}=ON^{2}+AN^{2}$ (2)

Tam giác OPA vuông tại P có: $OA^{2}=OP^{2}+AP^{2}$ (3)

Cộng hai vế của (1)(2)(3) ta có: 

$3OA^{2}=(OM^{2}+ON^{2}+OP^{2})+(AM^{2}+AN^{2}+AP^{2})$

Ta chứng minh được: $AM^{2}+AN^{2}+AP^{2}=2OA^{2}$ (4)

Suy ra: $OA^{2}=OM^{2}+ON^{2}+OP^{2}$

b) Vì AM vuông góc OM, OM // $AA_{3}$ nên AM vuông góc $AA_{3}$

Mà $AA_{3}$ vuông góc với $OA_{3}$

Suy ra: AM // $OA_{3}$, và $AA_{3}$ // OM nên AMOA3 là hình bình hành.

Do đó: AM = $OA_{3}$

Chứng minh tương tự: AN = $OA_{1}$, AP = $OA_{2}$

Thay kết quả trên vào (4) ta được: $OA_{3}^{2}+OA_{1}^{2}+OA_{2}^{2}=2OA^{2}$

Suy ra $OA=\sqrt{frac{OA_{1}^{2}+OA_{2}^{2}+OA_{3}^{2}}{2}}$

Ta có: $OA=\sqrt{\frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}}{2}}=\sqrt{7}$

3.20. Bạn Long nói rằng khi vẽ hình chiếu trục đo thì các hệ số biến dạng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1. Bạn Long nói đúng hay sai? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

Bạn Long không đúng. Vì hệ số biến dạng p, q, r là tỷ số giữa kích thước trên hình vẽ và kích thước thực của vật thể theo các trục x, y, z nên nếu trong trường hợp kích thước hình vẽ lớn hơn kích thước thực của vật thể thì hệ số biến dạng sẽ lớn hơn 1.

3.21. Hình 3.51 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB trong không gian.

a) Xác định hình chiếu cạnh $A_{3}B_{3}$ của đoạn thẳng đó.

b) Biết $A_{1}B_{1}$ = 10 cm và $A_{2}B_{2}$ = 6 cm, tính độ dài của $A_{3}B_{3}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu cạnh $A_{3}$ của A và $B_{3}$ của B.

Để xác định $A_{3}$ ta làm như sau: Qua điểm $A_{2}$ vẽ đường thẳng vuông góc với Oz tại C và trên Ox lấy điểm D sao cho OC = OD. Đường thẳng qua $A_{1}$ và vuông góc với Oz cắt đường thẳng qua D và vuông góc với Ox tại $A_{3}$. Tương tự xác định $B__{3}$. Nối $A_{3}$ và $B_{3}$ ta nhận được hình chiếu cạnh của đoạn thẳng AB.

b) Dễ dàng chứng minh tứ giác $A_{1}A_{2}B_{2}E$ là hình chữ nhật.

Do đó: $A_{1}E=A_{2}B_{2}$

Tam giác $A_{1}B_{1}E$ vuông tại E: $A_{1}E^{2}+B_{1}E^{2}=A_{1}B_{1}^{2}$

Suy ra: $B_{1}E=\sqrt{A_{1}B_{1}^{2}-A_{1}E^{2}}=8$

Mà $B_{1}E=A_{3}B_{3}$ ($A_{3}B_{3}B_{1}A_{1}$ là hình chữ nhật)

Vậy $A_{3}B_{3}=8$