Giải chi tiết Toán 9 KNTT bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

Mở đầu: Bác An có 40 m hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống đủ rộng thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 96 mét vuông để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Bài làm chi tiết:

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x(m) 

Chiều rộng mảnh vườn là

Diện tích mảnh vườn là 96

=>x.(20-x)=96

<=> 20x--96=0

<=> x=12 hoặc x=8(loại)

Vậy mảnh vườn có chiều dài 12m; chiều rộng là 8m.

1. ĐỊNH LÍ VIETE

Hoạt động 1 trang 21 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Nhắc lại công thức tính hai nghiệm của phương trình a+bx+c=0

Bài làm chi tiết:

Nếu là nghiệm của phương trình a+bx+c=0

; 
;

Với Δ=

Hoạt động 2 trang 21 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Từ kết quả HD1, hãy tính và

Bài làm chi tiết:

Ta có: +=

==

Mà Δ= thay vào ta được:

=

Luyện tập 1 trang 22 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Không giải phương trình, hãy tính biệt thức Δ(hoặc ) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai sau:

a)2-7x+3=0

b)25-20x+4=0

c)2-4=0

Bài làm chi tiết:

a)2-7x+3=0

Có  Δ=do  đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ta có =

b)25-20x+4=0

Có  Δ=do đó phương trình có nghiệm kép

Ta có

c)2-4=0

Có  Δ=do đó phương trình có nghiệm kép

Ta có

2. ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VIETE ĐỂ TÍNH NHẨM NGHIỆM

Hoạt động 3 trang 22 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho phương trình 2-7x+5=0.

a)Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.

b)Chứng tỏ rằng là một nghiệm của phương trình.

c)Dùng định lí viete để tìm nghiệm còn lại của phương trình.

Bài làm chi tiết:

a) Ta có a=2; b=-7; c=5

a+b+c=2+(-7)+5=0

b) Thay vào phương trình 2-7x+5 ta được:

<=> 2.-7.1+5=0

Vậy là một nghiệm của phương trình.

c) Áp dụng định lí viete ta có:

=

=>

Hoạt động 4 trang 22 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho phương trình 3+5x+2=0

a)Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a-b+c.

b)Chứng tỏ rằng là một nghiệm của phương trình.

c)Dùng định lí viete để tìm nghiệm còn lại của phương trình.

Bài làm chi tiết:

a) Ta có a=3; b=5; c=2

a-b+c=3-5+2=0

b) Thay vào phương trình 3+5x+2 ta được:

<=> 3.+5.(-1)+2=0

Vậy là một nghiệm của phương trình.

c) Áp dụng định lí viete ta có:

;

=>

Luyện tập 2 trang 23 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a)3-11x+8=0

b)4+15x+11=0

c)+2+2=0

Bài làm chi tiết:

a) 3-11x+8=0

Ta có 3+(-11)+8=0

=> phương trình có hai nghiệm là 

 b)4+15x+11=0

Ta có 4-15+11=0

=> phương trình có hai nghiệm là 

c)+2+2=0

Ta có 1-2+2và 1+2+2

=> không thể nhẩm nghiệm của phương trình.

3. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Hoạt động 5 trang 23 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Giả sử hai số có tổng S=5 và tích P=6. Thực hiện các bước sau để lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm.

a)Gọi một số là x. Tính số kia theo x.

b)Sử dụng kết quả ở câu a và  giả thiết, hãy lập phương trình để tìm x.

Bài làm chi tiết:

a)Gọi là một nghiệm của phương trình.

=>

b)=6

<=>

Giải phương trình để tìm x.

Luyện tập 3 trang 24 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng -11, tích của chúng bằng 28.

Bài làm chi tiết:

Hai số có tổng là -11 và 28 thì hai số đó là nghiệm của phương trình

 -(-11)x+28=0

<=>

<=> x=-7 và x=-4

Vậy hai số đó là -7;-4

Vận dụng trang 24 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống 

Giải bài toán trong tình huống mở đấu 

Mở đầu: Bác An có 40 m hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống đủ rộng thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 96 mét vuông để trồng rau Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Bài làm chi tiết:

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x(m) 

Chiều rộng mảnh vườn là

Diện tích mảnh vườn là 96

=>x.(20-x)=96

<=> 20x--96=0

<=> x=12 hoặc x=8(loại)

Vậy mảnh vườn có chiều dài là 12 m; chiều rộng là 8m.

4. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CUỐI SGK

Giải chi tiết bài 6.23 trang 24 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm(nếu có) của các phương trình sau:

a) -12x+8=0

b)2+11x-5=0

c)3-10=0

d)-x+3=0

Bài làm chi tiết:

a) -12x+8=0

Ta có =12

b)2+11x-5=0

Ta có

c)3-10=0

Ta có =3

d)-x+3=0

Ta có =1

Giải chi tiết bài 6.24 trang 24 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a)2-9x+7=0

b)3+11x+8=0

c)7-15x+2=0, biết phương trình có một nghiệm

Bài làm chi tiết:

a) 2-9x+7=0

Ta có: 2+(-9)+7=0

=> phương trình có nghiệm và =

b)3+11x+8=0

Ta có: 3-11+8=0

=> phương trình có nghiệm và =

c)7-15x+2=0, biết phương trình có một nghiệm

Ta có: =

Mà -2=

Giải chi tiết bài 6.25 trang 24 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Tìm hai số u và v biết:

a)u+v=20; uv=99

b)u+v=2;uv=15

Bài làm chi tiết:

a)u+v=20; uv=99

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình -20x+99=0

Ta có: Δ=

Suy ra phương trình có hai nghiệm 

=11
=9

Vậy u=11; v=9 hoặc u=9; v=11

b)u+v=2;uv=15

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình -2x+15=0

Ta có: Δ=

Suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị u, v thỏa mãn đề bài.

Giải chi tiết bài 6.26 trang 24 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai a+bx+c=0 có hai nghiệm là và thì đa thức a+bx+c phân tích được thành nhân tử như sau:

a+bx+c=a(x-)(x-)

Bài làm chi tiết:

Xét vế phải ta có 

VP= a(x-)(x-)

<=> VP= (ax-)(x-)

<=> VP=+ax-ax+a

<=> VP=-ax()+ a

Mà

;

Thay vào ta được

=>VP=-ax.()+a.

<=> VP==VT

Vậy a+bx+c=a(x-)(x-)

Giải chi tiết bài 6.27 trang 24 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 500 và chu vi là 150 m. Tính các kích thước của bể bơi này.

Bài làm chi tiết:

Chiều dài và chiều rộng cần tìm của bể bơi thỏa mãn phương trình

-75x+500=0

Với 75 là nửa chu vi của hình chữ nhật.

Ta có: Δ=3625

Suy ra phương trình có hai nghiệm 

=67,6
=7,4

Vậy chiều dài của bể là 67,6 m

Chiều rộng của bể là 7,4m