Giải sách bài tập Tin học 11 Khoa học máy tính Kết nối chủ đề 6 Bài 25: Thực hành xác định độ phức tạp thời gian thuật toán

25.1. Tính độ phức tạp của các hàm thời gian sau:

a) T(n) = n + 2logn

b) T(n) = n2 +3nlogn + 2n

c) T(n) = 2100

d) T(n) = 2n+1

Hướng dẫn trả lời:

a) T(n) = n + 2logn ≤3n với n≥ 1. Vậy T(n) = O(n).

b) T(n) = n2 +3nlogn + 2n 6n2 với n≥ 1. Vậy T(n) = O(n2)

c) T(n) = O(1), độ phức tạp hằng số

d) T(n) = 2n+1 = 2. 2n = O(2n)

25.2. Cho biết thuật toán sau thực hiện công việc gì và hãy xác định độ phức tạp thời gian của thuật toán.

Hướng dẫn trả lời:

Hàm trên thực hiện việc tìm phần tử lớn nhất của mảng A.

Gọi n là kích thước của mảng, T(n) là thời gian thực hiện của thuật toán. Thời gian chạy của thuật toán được phân tích như sau:

- Câu lệnh tại dòng 2 cần 1 đơn vị thời gian.

- Vòng lặp for tại dòng 3, biến i chạy từ 1 đến n – 1, nên vòng lặp có n – 1 bước lặp.

- Với mỗi bước lặp chương trình thực hiện 1 lệnh so sánh tại dòng 4 và 1 lệnh gán tại dòng 5 (nếu điều kiện thỏa mãn).

- Lệnh trả về tại dòng 6 cần 1 đơn vị thời gian

Tổng hợp lại chương trình trên có thời gian chạy là

T(n) = 2 + 2(n-1) = 2n = O(n)

25.3. Cho biết hàm sau thực hiện công việc gì và hãy xác định độ phức tạp thời gian của chương trình.

Hướng dẫn trả lời:

Hàm trên thực hiện in ra xâu đảo ngược của xâu đầu vào.

Gọi n là kích thước của xâu đầu vào (số ký tự của xâu), T(n) là thời gian thực hiện của chương trình. Thời gian chạy của thuật toán được phân tích như sau:

• Câu lệnh tại dòng 2 và 3 cần 2 đơn vị thời gian.

• Vòng lặp while thực hiện n lần lặp

• Với mỗi bước lặp chương trình thực hiện hai lệnh gán tại dòng 5 và 6.

• Lệnh trả về tại dòng 7 cần 1 đơn vị thời gian

Tổng hợp lại chương trình trên có thời gian chạy là T(n) = 2 + 2n + 1 = 2n + 3 = O(n)

25.4. Em hãy xác định thời gian chạy T(n) của thuật toán sắp xếp chèn sau, với n là độ dài của dãy A.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi n là kích thước của mảng, T(n) là thời gian thực hiện của thuật toán. Thời gian chạy của thuật toán được phân tích như sau:

- Câu lệnh trại dòng 2 cần 1 đơn vị thời gian.

- Vòng lặp for tại dòng 3 biến i chạy từ 1 đến n – 1, nên vòng lặp có n – 1 bước lặp.

- Với mỗi bước lặp chương trình thực hiện:

• Hai lệnh gán tại dòng 4 và 5

• Vòng lặp while tại dòng 6. Vòng lặp này sẽ chạy tối đa là i lần. Mỗi lần lặp chương trình sẽ thực hiện hai lệnh gán tại dòng 7 và 8, cần 2 đơn vị thời gian.

• Lệnh gán tại dòng 9 cần 1 đơn vị thời gian

Tổng hợp lại chương trình có thời gian chạy tối đa là:

25.5. Xác định độ phức tạp thời gian của hàm sau:

Hướng dẫn trả lời:

Gọi T(n) là thời gian thực hiện của chương trình. Thời gian chạy của thuật toán được phân tích như sau:

- Lệnh gán tại dòng 2 cần 1 đơn vị thời gian

- Vòng lặp for tại dòng 3, biến i chạy từ 1 đến n, nên vòng lặp có n bước lặp

- Với mỗi bước lặp trên, chương trình thực hiện:

• Vòng lặp tại dòng 4, biến j chạy từ 1 đến i, nên vòng lặp thực hiện i bước lặp

• Với mỗi bước lặp:

• Chương trình thực hiện vòng lặp tại dòng 5, biến k chạy từ j đến j + i, vòng lặp có i + 1 bước lặp.

• Với mỗi bước lặp chương trình thực hiện 1 lệnh gán tại dòng 6 cần 1 đơn vị thời gian

- Lệnh trả về tại dòng 7 cần 1 đơn vị thời gian

Tổng hợp lại, hàm trên có thời gian chạy là:

Suy ra T(n) = O(n3)

25.6. Nếu f(n) = O(g(n)) thì có suy ra được g(n) = O(f(n)) hay không?

Hướng dẫn trả lời:

Không. Ví dụ f(n) = n, g(n) = n2 thì rõ ràng f(n) = O(g(n)) nhưng ngược lại thì không đúng.

25.7.* Giả sử f(n) =  Chứng minh rằng f(n) = O(nk)

Hướng dẫn trả lời:

Vậy suy ra f(n) = O(nk)