Giải SBT Toán học 11 tập 2 chân trời Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Câu 1(73) Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, $SA=a\sqrt{3} $và vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa

a) SB và (ABCD);

b) SC và (ABCD);

c) SD và (ABCD);

d) SB và (SC).

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có:

$SA\perp (ABCD)$

$SB\cap  (ABCD) = B$

=> AB là hình chiếu của SB trên (ABCD).

Do đó (SB, (ABCD))=(SB, AB).

Trong tam giác SAB vuông tại A, ta có:

$tan \widehat{SBA} =\frac{SA}{SB}=\sqrt{3} $

=>$\widehat{SBA} = 60°.$

Vậy (SB, (ABCD)) = SBA=60°.

b) Ta xác định được (SC, (ABCD))=(SC, AC).

Trong tam giác S4C vuông tại A, ta có: $tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{SC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

=> $\widehat{SCA}\approx 50,8^{\circ}$

Vậy $(SC; (ABCD))=\widehat{SCA}\approx 50,8^{\circ}$

c) Ta xác định được (SD, (ABCD))=(SD, AD).

Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có:$ tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\sqrt{3}$

=>$ \widehat{SDA}=60^{\circ}$

Vậy $(SD, (ABCD))= \widehat{SDA}=60^{\circ}$

d) Ta có:

$BD\perp AC$

$BD\perp SA$

=> $BD\perp (SAC) hay BO \perp (SAC) $

mà $SB\cap (SAC)=S$

=> SO là hình chiếu của SB trên (SAC).

=> (SB, (SAC))=(SB, SO).

Trong tam giác SBO vuông tai O, ta có $BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}, SB=2a$

=>$ sin\widehat{BSO}=\frac{BO}{SB}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

=> $\widehat{BSO}\approx 20,7^{\circ}$

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm I của cạnh 4B. Biết rằng mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại S. Xác định và tính góc giữa:

a) SA và (ABC);

b) SC và (SAB).

Hướng dẫn trả lời:

Vì AI là hình chiếu của SA trên (ABC).

Do đó (SA, (ABC))=(SA,AI).

Vì tam giác SAI vuông cân tại I

=> $\widehat{SAI}=45^{\circ}.$

Vậy $(SA, (ABC))=(SA,AI)= \widehat{SAI}=45^{\circ}.$

b) Ta có tam giác ABC đều 

=>$ CI\perp AB, CI =\frac{3\sqrt{3}}{}2$

Ta có:

$CI\perp AB$

$CI\perp SI (do SI\perp (ABC))$

=> $CI \perp (SAB)$

Mà $SC \cap (SAB)=S.$

=> SI là hình chiếu của SC trên (SAB).

=>(SC, (SAB))=(SC, SI).

Trong tam giác SAB vuông tại S, SI=$\frac{1}{2} AB=\frac{3}{2}$

Trong tam giác SCI vuông tại I, ta có $tan\widehat{ CSI}=\frac{IC}{SI}=\sqrt{3}$

=>$ \widehat{CSI}=60^{\circ}$

Vậy $(SC, (SAB))= \widehat{CSI}=60^{\circ}$

Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\frac{a\sqrt{15}}{6}.$ Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC,A].

Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có $SG\perp (ABC), SM\perp BC, AM\perp BC,$

=>$ \widehat{SMG}$ là góc phẳng nhị diện [S, BC, A]

Có AM=$\frac{a\sqrt{3}}{2}, GM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

SM=$\sqrt{SB^{2}-BM^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

SG=$\sqrt{SM^{2}-GM^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Ta có tam giác SMG vuông cân tại G, 

=> góc phẳng nhị diện [S, BC,A]=$\widehat{SMG}=45°.$

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có$ SA\perp (4BC)$. Tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC}=30^{\circ}, AC=a, SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC,A].

Hướng dẫn trả lời:

Vẽ$ AH\perp BC (H ∈ BC), ta có SH\perp BC,$

=> $\widehat{SHA} là góc phẳng nhị diện [S, BC, A].$

Ta có $AH=AC.sin60^{\circ} =\frac{a\sqrt{3}}{2}=SA$

=> $\widehat{SHA}= 45^{\circ}.$