Giải SBT Toán học 11 tập 2 chân trời Bài 2: Các quy tắc đạo hàm

Câu 1.Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y=$\frac{-3x^{2}}{2}+\frac{2}{x}+\frac{x^{3}}{3}$

b) y=$(x^{2}-1)(x^{2}-4)(x^{2}+9)$

c) y=$\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+x+1}$

d) y=$\frac{1-2x}{x+1}$

e) y=$x.e^{2x+1}$

g)y=$(2x+3)3^{2x+1}$

h)y=$xln^{2}x$

i) y=$log_{2}(x^{2}+1)$

Hướng dẫn trả lời:

a) y=$\frac{-3x^{2}}{2}+\frac{2}{x}+\frac{x^{3}}{3}$

y'=$-3x-\frac{2}{x^{2}}+x^{2}$

b) y=$(x^{2}-1)(x^{2}-4)(x^{2}+9)$

y'=$2x(3x^{4}+8x^{2}-41)$

c) y=$\frac{x^{2}-2x}{x^{2}+x+1}$

y'=$\frac{3x^{2}+2x-2}{(x^{2}+x+1)^{2}}$

d) y=$\frac{1-2x}{x+1}$

y'=$-\frac{3}{(x+1)^{2}}$

e) y=$x.e^{2x+1}$

y'=$(2x+1)e^{2x+1}$

g)y=$(2x+3)3^{2x+1}$

y'=$2.3^{2x+1}[(2x+3)ln3+1]$

h)y=$xln^{2}x$

y'=$ln^{2}x+2lnx$

i) y=$log_{2}(x^{2}+1)$

y'=$\frac{2x}{(x^{2}+1)ln2}$

Câu 2. Cho hàm số:$ f(x)=3x^{3}-4\sqrt{x}$

Tính f(4); f'(4); $f(a^{2}); f'(a^{2})$ (a là hằng số khác 0)

Hướng dẫn trả lời:

Ta có$ f'(x)=9x^{2}-\frac{2}{\sqrt{x}}$

=>  $f(4)=184; f'(4)=143; f(a^{2})=3a^{6}-4\left | a \right |; f'(a^{2})=9a^{4}-\frac{2}{\left | a \right |}$

Câu 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) $y=(1+x^{2})^{20}$

b) $y=\frac{2+x}{\sqrt{1-x}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) y=$(1+x^{2})^{20}$

y'=$40x(1+x^{2})^{19}$

b) y=$\frac{2+x}{\sqrt{1-x}}$

y'=$\frac{-x+4}{2(1-x)\sqrt{1-x}}$

Câu 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y=$\frac{x}{sinx-cosx}$

b) y=$\frac{sinx}{x}$

c) y=$sinx-\frac{1}{3}sin^{3}x$

d) y=cos(2sinx)

Hướng dẫn trả lời:

a) y'=$\frac{sinx−cosx−x(sinx+cos x)}{(sinx-cosx)^{2}}$

b) y'=$\frac{xcosx-sinx}{x^{2}}$

c) y' = $cos^{3} x;$

d) y'=-2cosx.sin(2sinx)

Câu 5. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau

a) y=xsin2x

b)$ y=cos^{2}x$

c)$y=x^{4}-3x^{3}+x^{2}-1$

Hướng dẫn trả lời:

 a) y" = 4cos 2x - 4xsin 2x;

b) y" = -2cos 2x;

c) y"=$12x^{2}-18x + 2.$

Câu 6. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình $s = 100 + 2t – t^{2}$ trong đó thời gian được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t= 3s.

Hướng dẫn trả lời:

 a) s'(t) = 2 - 2t

s'(t) =0 

=> 2-2t=0

⇒t=1.

Vận tốc chất điểm bằng 0 khi t= 1 s.

b) Khi t= 3 s.

s'(3)=2-2.3=-4 (m/s);

s"(3)=-2 => a(3) = $-2 m/s^{2}.$

Vậy khi t= 3 s thì vận tốc của vật là –4 m/s. Gia tốc của vật là $-2 m/s^{2}.$

Câu 7. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) =−2t^{3} + 75t+3, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tinh vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t=3.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $s'(t)=–6t^{2}+ 75$

=> s"(t) =–12t.

Vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t=3 là s'(3)=21 và s"(3)=–36.

Câu 8. Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy là x (đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh ra là P(x)= 200(x – 2)(17 −x) (nghìn đồng). Tỉnh tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm.

Hướng dẫn trả lời:

 Ta có P'(x) = −400x + 3800. Tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm là P'(30)=−8200.