Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Câu 9.8. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=$(x+1)^{2}.(x^{2}-1)$

b) y=$\left ( x^{2}-\frac{2}{\sqrt{x}} \right )^{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) y'=$2(x+1)(x^{2}-1)+2x(x+1)^{2}$

y'=$2(x+1)(2x^{2}+x-1)$

b) y'=$3\left ( x^{2}-\frac{2}{\sqrt{x}} \right )^{2}\left ( 2x+\frac{1}{x\sqrt{x}} \right )$

Câu 9.9. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=$\frac{x^{2}-x+1}{x+2}$

b) y=$\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) y'=$\frac{x^{2}+4x-3}{(x+2)^{2}}$

b) y'=$-\frac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$

Câu 9.10. Cho hàm số $f(x)=\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} và g(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x^{2}$. Tính f'(0)-g'(1)

Hướng dẫn trả lời:

f'(x)=$\frac{\sqrt{4-x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}}{(\sqrt{4-x^{2}})^{2}}=\frac{4}{(4-x^{2})\sqrt{4-x^{2}}}$

g'(x)=$-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}+2x$

=> f'(0)=$\frac{1}{2}, g'(1)=\frac{1}{2} $và f'(0)- g'(1)=0

Câu 9.11. Tính đạo hàm của hàm số y=$3tan\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )-2cot\left ( \frac{\pi }{4} -x\right )$

Hướng dẫn trả lời:

y'=$\frac{3}{cos^{2}\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )}-\frac{2}{sin^{2}}\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )$

y'=$\frac{1}{cos^{2}\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )}$

y'=$1+tan^{2}\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )$

Câu 9.12. Cho hàm số f (x)=cos^{2}x+cos^{2}\left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )+cos^{2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )

Tính đạo hàm f′(x) và chứng tỏ f′(x) = 0 với mọi $x\in \mathbb{R}$

Hướng dẫn trả lời:

f'(x)=$-2cosxsinx-2cos(\frac{2\pi }{3}+x)sin(\frac{2\pi }{3}+x)+2cos(\frac{2\pi }{3}-x)sin(\frac{2\pi }{3}-x)$

f'(x)=$-sin2x-sin(\frac{4\pi }{3}+2x)+sin(\frac{4\pi }{3}-2x)$

f'(x)=$-sin2x+sin(\frac{\pi }{3}+2x)-sin(\frac{\pi }{3}-2x)$

f'(x)=$-sin2x+2cos\frac{\pi }{3}sin2x$

f'(x)=-sin2x+sin2x=0

Câu 9.13. Cho hàm số $f(x) = 4sin^{2}\left (2x- \frac{\pi }{3} \right )$. Chứng minh rằng $\left | f'(x) \right |\leq 8 với mọi x\in \mathbb{R}$. Tìm x để f'(x) = 8.

Hướng dẫn trả lời:

f'(x)=$8sin\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )\left ( sin\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right ) \right )'$

f'(x)=$8sin\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )cos\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )'$

f'(x)=$16sin\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )cos\left ( 2x-\frac{\pi }{3} \right )$

f'(x)=$8sin\left ( 4x-\frac{2\pi }{3} \right )$

=> $\left | f'(x) \right |=8\left | sin\left (4x-\frac{2\pi }{3}  \right ) \right |\leq 8 với mọi x thuộc\mathbb{R}$

f'(x)=8

<=>$ sin\left ( 4x-\frac{2\pi }{3} \right )=1$

<=> $4x-\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi $

<=> $x=\frac{7\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}, k\in \mathbb{Z}$

Câu 9.14. Biết y là hàm số của x thoả mãn phương trình xy = 1 + In y. Tính y'(0).

Hướng dẫn trả lời:

Dùng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có

x+xy'=$(lny)'=\frac{y}{y'}$

=> $y'\left ( \frac{1}{y}-x \right )=y$

=> y'=$\frac{y^{2}}{1-xy}$

Tại x =0, thay vào phương trình ta được 1+lny=0

<=> $y=e^{-1}=\frac{1}{e}$

Vậy $y'(0)=\frac{1}{e^{2}}$

Câu 9.15. Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là $V_{0} (m/s)$ (bỏ qua sức cản của không khí) thì độ cao h của vật (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức h=$v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}$ (g là gia tốc trọng trường).

Tìm vận tốc của vật khi chạm đất.

Hướng dẫn trả lời:

Tại thời điểm vật chạm đất h=$v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}=0(t>0)$

Giải phương tình ta được t=$\frac{2v_{0}}{g}$

Vận tốc của vật khi chạm chất là v=$h'\left ( \frac{2v_{0}}{g} \right )=-v_{0}$

Câu 9.16. Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi công thức $s(t)=10+\sqrt{2} sin\left ( 4\pi t+\frac{\pi }{6} \right )$ trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây.

Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn trả lời:

Vận tốc của hạt sau t giây là: $v(t)=s'(t)=4\pi \sqrt{2}cos\left ( 4\pi t+\frac{\pi }{6} \right )$

Vận tốc cực đại của hạt là: $v_{max}=4\pi \sqrt{2}\approx 17,8m/s$ đạt được khi:

$\left | cos\left ( 4\pi t+\frac{\pi }{6} \right ) \right |=1 hay t=\frac{5}{24}+\frac{k}{4}, k\in \mathbb{N}$