Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 27: Thể tích

Câu 7.33. Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp (ABC)$; AB = a, $AC = a\sqrt{2}$ và $\widehat{SBA} = 60°,\widehat{BAC }= 45°$. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có SA=$AB.tan60^{\circ}=a\sqrt{3}$

Có $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.sin\widehat{BAC}=\frac{a^{2}}{2}$

=> $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SA=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$

Câu 7.34. Cho khối chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có SO vuông góc với mặt đáy (ABCD). Kẻ OM vuông góc với CD tại M thì SM cũng vuông góc với CD => Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SM và OM

Mà (SM,OM) = $\widehat{SMO} = 60^{\circ}.$

Có OM=$\frac{a}{2}; SO=OM.tan\widehat{SMO}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

=> $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO=\frac{1}{3}.a^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

Câu 7.35. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có A′B′C và AA’C' là hai tam giác đều cạnh a. Biết $(ACCA)\perp (ABC)$. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC.

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ $AH\perp A'C'$ tại H thì$ AH\perp (A'B'C')$

Ta có $S_{A'B'C'}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}; AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

=> $V_{ABC.A'B'C'}=S_{A'B'C'}.AH=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^{3}}{8}$

Câu 7.36. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và AOB = $90^{\circ} ; \widehat{BOC} = 60^{\circ}; \widehat{COA} = 120^{\circ}$. Tính theo a thể tích khối tử diện OABC.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: AB = $a\sqrt{2}$, BC = a, CA =$a\sqrt{3}$, tam giác ABC vuông tại B

Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. 

VÌ OA = OB = OC => HA = HB = HC

Xét tam giác OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta tính được: OH =$\frac{a}{2}$

=> $V_{OABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}.a.\frac{a}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

Câu 7.37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO\perp (ABCD), AC = $2a\sqrt{3}$, BD = 2a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ OM vuông góc với BC tại M, OH vuông góc với SM tại H

=> $OH\perp (SBC)$

Vì O là trung điểm của AC 

=> d(A,(SBC))=2.d(O,(SBC))=2.OH=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

=> OH=$\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Tam giác OBC vuông tại O, có OBpa, OC=$a\sqrt{3}$ và đường cao OM 

=> OM=$\frac{OB.OC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác SOM vuông tại Om đường cao OH

=> $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OM^{2}}+\frac{1}{OS^{2}}$

=> SO=$\frac{a}{2}$

=>$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SO=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.2a\sqrt{3}.2a.\frac{a}{2} =\frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$

Câu 7.38. Cho hình chóp S.ABC có SA\perp (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác vuông tại A. AB = a, AC = $a\sqrt{3}.$ Kẻ AM vuông góc với SB tại M, AN vuông góc với SC tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}, $

Có tam giác SAB vuông cân tại A 

=> $\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2}$

Có tam giác SAC vuông tại A, đường cao AN

=> $\frac{SN}{SC}=\frac{SN.SC}{SC^{2}}=\frac{SA^{2}}{SC^{2}}=\frac{1}{4}$

=> $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SB}\cdot \frac{SN}{SC}=\frac{1}{8}$

=>$ V_{S.AMN}=\frac{1}{8}\cdot \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}$

Câu 7.39. Cho hình chóp S.ABC có SA\perp (ABC) và $\widehat{BAC}$= 60°, biết diện tích các tam giác ABC, SAB và SAC lần lượt là $3\sqrt{3}$; 9; 12. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn trả lời:

Đặt SA=a, AB=b, AC=c

=> $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}.bc.sin60^{\circ}.a=\frac{abc\sqrt{3}}{12}$

Theo đề bài, ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.bc.sin60^{\circ}=3\sqrt{3}$

=> bc=12

 $S_{SAB}=\frac{ab}{2}=9$

=> ab=18

$S_{SAC}=\frac{ac}{2}=12$

=> ac=24

=>$(abc)^{2}=12.18.24=72^{2}$

=> abc=72

=> $ V_{S.ABC}=6\sqrt{3}$

Câu 7.40. Người ta cắt bỏ bốn hình vuông cùng kích thước ở bốn góc của một tấm tôn hình vuông có cạnh 1 m để gò lại thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp. Hỏi cạnh của các hình vuông cần bỏ đi có độ dài bằngbao nhiêu để thùng hình hộp nhận được có thể tích lớn nhất?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi x (m) là chiều dài cạnh hình vuông nhỏ tại mỗi góc của tấm tôn được cắt bỏ đi (với $0 < x < \frac{1}{2}). $Thể tích hình hộp chữ nhật nhận được là

V=$(1-2x)^{2}.x=\frac{1}{4}.(1-2x).(1-2x).4x\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1-2x+1-2x+4x}{3} \right )^{3}=\frac{2}{27}$

Dấu “=” xảy ra khi 1–2x = 4x <=> x =$\frac{1}{6}$

Vậy để thể tích chiếc thùng là lớn nhất thì các cạnh của hình vuông được cắt bỏ đi là $\frac{1}{6}m$