Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

Câu 7.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, tam giác SAD là tam giác đều và M là trung điểm của cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và SA; BC và SM.

Hướng dẫn trả lời:

VÌ BC // AD 

=> (BC, SA) = (AD, SA) = SAD = $60^{\circ}$

(BC, SM) = (AD, SM) = $90^{\circ}$

Câu 7.2. Cho hình hộp ABCD.A′B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau và góc A’AD bằng 120°. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: A’C và BD; AD và BB’ A’D và BB’.

Hướng dẫn trả lời:

VÌ ABCD là hình thoi và A'C' // AC nên

(A'C', BD) = (AC, BD) =$90^{\circ}$

VÌ BB' // AA' nên

$(AD, BB') = (AD, AA') = 180^{\circ} – \widehat{A'AD} = 60^{\circ}$ và

$(A'D, BB') = (A'D, AA') =\widehat{AA'D} = 30^{\circ}$

Câu 7.3. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Biết MN = $a\sqrt{3}; AB = 2\sqrt{2}a$ và CD = 2a. Chứng minh rằng đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.

Hướng dẫn trả lời:

Lấy K là trung điểm của cạnh BC

=> NK và MK lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD và tam giác ABC 

=> NK = a, MK = $a\sqrt{2}.$

Do đó, $MN^{2} = 3a^{2} = NK^{2} + MK^{2} $

=> tam giác MNK vuông tại K, hay $MK\perp NK, mà MK \perp AB và NK\perp CD$

=> (AB,CD) = (MK, NK) = $90^{\circ}, hay AB\perp CD.$

Câu 7.4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AB.

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: MN và SD; MO và SB.

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng SN và BC.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $BD^{2} = SB^{2} + SD^{2} = 2a^{2} nên \Delta SBD $vuông tại S

Mà MN // SB

=> (MN, SD) = (SB, SD) = $90^{\circ}$

Có O là giao điểm của AC và BD => MO // SC.

=> (MO, SB) = (SC, SB) = $\widehat{BSC} = 60^{\circ}$

b) Vì ON // BC nên (SN, BC) = (SN, ON) = $\widehat{SNO}$

Ta có SO $=\frac{a\sqrt{2}}{2}; ON=\frac{a}{2}, tam giác SNO vuông tại O nên tan \widehat{SNO}=\frac{SO}{ON}=\sqrt{2}$

=> tan (SN, BC)=$\sqrt{2}$

Câu 7.5. Một chiếc thang có dạng hình thang cân cao 6 m, hai chân thang cách nhau 80 cm, hai ngọn thang cách nhau 60 cm. Thang được dựa vào bờ tường như hình bên. Tính góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A, B là hai điểm tại hai vị trí chân thang và C, D là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, EF là đường chân tường.

Ta có EF // AB nên (EF, AC) = (AB,AC) =$\widehat{BAC}.$

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, khi đó

AH=$\frac{AB-CD}{2}$= 10 (cm) = 0,1 (m).

Tam giác ACH vuông tại H nên

$cos\widehat{CAH}=\frac{AH}{AC}=\frac{0,1}{6}=\frac{1}{60}$

=>$\widehat{CAH} \approx 89,05^{\circ}.$