Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Câu 6.1. Tính

a) $\sqrt[3]{-27}$

b) $25^{\frac{3}{2}}$

c) $32^{\frac{-2}{5}}$

d) $\left ( \frac{27}{8} \right )^{\frac{2}{3}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{(-3)^{3}}$= -3

b) $25^{\frac{3}{2}} = (5^{2})^{\frac{3}{2}}=5^{2\cdot \frac{3}{2}}=5^{3}$=125

c) $32^{\frac{-2}{5}}=(2^{5})^{\frac{-2}{5}}=2^{-2}=\frac{1}{4}$

d) $\left ( \frac{27}{8} \right )^{\frac{2}{3}}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{3.\frac{2}{3}}=\left ( \frac{3}{2} \right )^2=\frac{9}{4}$

Câu 6.2. So sánh cơ số a (a > 0) với 1, biết rằng:

a) $a^{\frac{3}{4}} > a^{\frac{5}{6}}$

b) $a^{\frac{11}{6}} > a^{\frac{15}{8}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $a^{\frac{3}{4}} > a^{\frac{5}{6}}$

Vì $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$

=> a < 1

b) $a^{\frac{11}{6}} > a^{\frac{15}{8}}$

Vì $\frac{11}{6} < \frac{15}{8}$

=> a > 1

Câu 6.3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[5]{32x^{15}y^{20}}$

b) $6\sqrt[3]{9x^{2}}.3\sqrt[3]{24x}$

Hướng dẫn trả lời:

1. $\sqrt[5]{32x^{15}y^{20}}$

=$\sqrt[5]{2^{5}(x^{3})^{5}(y^{4})^{5}}$

=$2x^{3}y^{4}$

b) $6\sqrt[3]{9x^{2}}.3\sqrt[3]{24x}$

=$18\sqrt[3]{9x^{2}.24x}$

=$18\sqrt[3]{6^{3}x^{3}}$

=18.6.x=108x

Câu 6.4. Rút gọn các biểu thức sau

a) $2\sqrt{12} - 3\sqrt{27}+2\sqrt{48}$

b) $8xy-\sqrt{25x^{2}y^{2}}+\sqrt[3]{8x^{3}y^{3}}$ (x>0, y>0)

Hướng dẫn trả lời:

a) $2\sqrt{12} - 3\sqrt{27}+2\sqrt{48}$

=$2\sqrt{3.2^{2}}-3\sqrt{3.3^{2}}+2\sqrt{3.4^{2}}$

=$4\sqrt{3}-9\sqrt{3}+8\sqrt{3}=3\sqrt{3}$

b) $8xy-\sqrt{25x^{2}y^{2}}+\sqrt[3]{8x^{3}y^{3}} (x>0, y>0)$

=8xy-5xy+2xy=5xy

Câu 6.5. Cho a là số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau

a) $\left ( a^{\sqrt{6}} \right )^{\sqrt{24}}$

b) $a^{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{a} \right )^{\sqrt{2}-1}$

c) $a^{-\sqrt{3}}:a^{\left ( \sqrt{3}-1 \right )^{2}}$

d)$\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}.\sqrt[12]{a^{5}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\left ( a^{\sqrt{6}} \right )^{\sqrt{24}}=a^{\sqrt{6}.\sqrt{24}}=a^{\sqrt{6.24}}=a^{12}$

b) $a^{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{a} \right )^{\sqrt{2}-1}=a^{\sqrt{2}}.a^{-1.(\sqrt{2}-1)}=a^{\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}$=a

c) $a^{-\sqrt{3}}:a^{\left ( \sqrt{3}-1 \right )^{2}}=a^{-\sqrt{3}}:a^{4-2\sqrt{3}}=a^{\sqrt{3}-4}$

d) $\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}.\sqrt[12]{a^{5}}=a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{4}}.a^{\frac{5}{12}}$=a

Câu 6.6. Cho a và b là hai số dương. Rút gọn biểu thức sau

A=$\left [ \frac{a-b}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}} -\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}\right ]:\left ( a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}} \right )$

Hướng dẫn trả lời:

Xét B=$\frac{a-b}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}}-\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}$

B=$\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}\left ( a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}} \right )}-\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}=\frac{a-b-a^{\frac{1}{2}}\left ( a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}} \right )}{a^{\frac{1}{2}}\left ( a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}} \right )}$

B=$\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}-b}{a^{\frac{1}{2}}\left ( a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}} \right )}$

B=$\frac{b^{\frac{1}{2}}\left ( a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}} \right )}{a^{\frac{1}{2}}\left ( a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}} \right )}$

Có $a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}=\left ( a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}} \right )\cdot \left ( a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}} \right )$ nên

B=$\frac{b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{\frac{1}{2}}.(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})$

=> A=$\left ( \frac{b}{a} \right )^{\frac{1}{2}}.(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})\cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}}$

A=$\left ( \frac{b}{a} \right )^{\frac{1}{2}}$

Câu 6.7. Giả sử một lọ nuôi cấy có 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó số vi khuẩn N sau t (giờ) sẽ là N=100.2^{\frac{t}{2}} Hỏi sau 3\tfrac{1}{2} giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẩn?

Hướng dẫn trả lời:

Thay t=$3\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$ (giờ) vào công thức ta được số vi khuẩn sau $3\frac{1}{2}$là

N=$100.2^{\frac{t}{2}}=100.2^{\frac{7}{4}}\approx 336$ (con)

Câu 6.8. Chu kì dao động (tính bằng giây) của một con lắc có chiều dài L (tính

bằng mét) được cho bởi T=2\pi \sqrt{\frac{L}{9,8}}. Nếu một con lắc có chiều dài 19,6 m, hãy tính chu kì T của con lắc này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn trả lời:

Thay L=19,6 vào công thức ta được chu kì dao động của con lắc là 

T=$2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}=2\pi\sqrt{\frac{19,6}{9,8}}\approx 8,9$ (giây)

Câu 6.9. Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương của chu kì quỹ đạo p (tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời

(theo quỹ đạo là một đường elip với Mặt Trời nằm ở một tiêu điểm) bằng lập phương của bán trục lớn d (tính bằng đơn vị thiên văn AU).

a) Tính p theo d.

b) Nếu Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là 29,46 năm Trái Đất, hãy tính bản trục lớn

quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời (kết quả tính theo đơn vị thiên văn và làm

tròn đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn trả lời:

a) Theo định luật thứ ba của Kepler, ta có:

$p^{2}=d^{3} => p=\sqrt{d^{3}}$

b) Thay p=29,46 vào công thức p=$\sqrt{d^{3}} ta được d\approx 9,54 AU$

Câu 6.10. Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó. Công thức của hàm số đó là d=\sqrt[3]{6t^{2}} trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và t là độ dài năm của hành tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đất).

a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hoả là 687 ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là bao nhiêu?

b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có 365 ngày).

(Kết quả của câu a và câu b tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn trả lời:

a) Thay t=687 
vào công thức ta được khoàng cách từ Sao Hoà đến Mặt Trời là

d=$\sqrt[3]{6t^{2}}=\sqrt[3]{6.687^{2}}\approx141,8$ (triệu dặm)

b) Thay t=365 
vào công thức ta được khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là:

d=$\sqrt[3]{6t^{2}}=\sqrt[3]{6.365^{2}}\approx92,81$(triệu dặm)