Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Câu 7.19. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD,kẻ AH vuông góc với BM tại H.

a) Chứng minh rằng $AH\perp (BCD).$

b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD).

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì M là trung điểm của CD 

=> $CD\perp BM, CD\perp AM, $

=> $CD\perp (ABM)$

=>$ CD\perp AH, $

Có $AH\perp BM => AH\perp (BCD).$

b) Vì $AM\perp CD, BM\perp CD $

=> góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AM và BM, mà (AM,BM) =$\widehat{AMB}$

=> góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng $\widehat{AMB}$

Ta có: HM =$\frac{1}{3}BM=\frac{a\sqrt{3}}{6} và AM=\frac{a\sqrt{3}}{2} $

Tam giác AHM vuông tại H nên $cos\widehat{AMB}=\frac{HM}{AM}=\frac{1}{3}$

Câu 7.20. Cho tứ diện ABCD có AC = BC, AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng $(CDM)\perp (ABC) và (CDM)\perp (ABD).$

Hướng dẫn trả lời:

Vì M là trung điểm của AB 

=> $AB\perp CM, AB\perp DM$

=> $AB\perp (CDM).$

Vì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) đều chứa đường thẳng AB nên $(ABC) \perp (CDM), (ABD)\perp (CDM).$

Câu 7.21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết $SA\perp (ABCD) và SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Chứng minh rằng: IN SUNG

a) $(SBD)\perp (SAC);$

b) $(SBC)\perp (BDH);$

c) $(SBC)\perp (SCD).$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $SA\perp (ABCD)$

=> $SA\perp BD $

mà $BD\perp AC$

=> $BD\perp (SAC).$

Vì mặt phẳng (SBD) chứa BD nên $(SBD)\perp (SAC).$

b) Ta có $BD\perp (SAC)$

=> $BD\perp SC mà SC\perp OH,$

=> $SC\perp (BDH).$

Vì mặt phẳng (SBC) chứa SC nên $(SBC)\perp (BDH).$

c) Ta có: SC=$\sqrt{SA^{2}+AC^{2}}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$

Vì $\Delta CHO\sim \Delta CAS $

=> $\frac{HO}{AS}=\frac{CO}{CS}$

=> HO=$\frac{CO.AS}{CS}=\frac{a}{2}=\frac{BD}{2}$

Do đó, tam giác BDH vuông tại H, suy ra $\widehat{BHD}=90^{\circ}$

Ta lại có BH $\perp SC, DH \perp SC $

=> $(SBC)\perp (SCD).$

Câu 7.22. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD);

b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. 

Khi đó $SO\perp (ABCD)$

=> $SO\perp AB$

kẻ $OH\perp AB$ tại H

=> $AB\perp (SOH)$

=> $AB\perp SH. $

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SH và HC, mà (SH,HO) =$\widehat{SHO} nên góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng \widehat{SHO}$

Có OH=$\frac{a}{2}, SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

=> $cos\widehat{SHO}=\frac{OH}{SH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

b) Gọi K là trung điểm của SB.

=> $AK\perp SB, CK\perp SB$

=> góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AK và CK.

Ta có: AK = CK =$\frac{a\sqrt{3}}{2}, AC = a\sqrt{2}.$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACK, ta có:

$cos\widehat{AKC}=\frac{AK^{2}+ CK^{2} - AC^{2}}{2.AK.CK}=\frac{-1}{3}$

=> $cos(AK, CK ) = –cos \widehat{AKC} =\frac{1}{3}$

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng $\frac{1}{3}$

Câu 7.23. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a.

a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD).

b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A, BD, C].

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, 

Ta có: $AO\perp BD, A'O\perp BD $

=> góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AO, A'O 

Mà (AO, AO) = $\widehat{AOA′} $nên góc giữa hai mặt phẳng (A’BD)

và (ABCD) bằng $\widehat{AOA′} $

Ta có: OA =$\frac{a\sqrt{2}}{2}$

OA' = $\sqrt{OA^{2}+AA'^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

=> $cos\widehat{ AOA'}=\frac{AO}{A'O}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

b) Vì $A'O \perp BD, CO'\perp BD$ nên góc nhị diện [A, BD,C]bằng $\widehat{A'OC'}$

Có OA'=OC'=$\frac{a\sqrt{6}}{2}, A'C'=a\sqrt{2}$

=> $cos\widehat{A'OC'}=\frac{OA'^{2}+OC'^{2}-A'C'^{2}}{2.OA'.OC'}=\frac{2}{9}$

Câu 7.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết $(SAB)\perp (ABCD), (SAD)\perp (ABCD) $ và SA = a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] và góc nhị diện [B, SC, D].

Hướng dẫn trả lời:

Có $SO\perp BD, CO\perp BD$

=> Góc nhị diện [S, BD, C] bằng $\widehat{SOC}$

Vì tam giác SAO vuông tại A

=> SO=$\sqrt{SA^{2}+AO^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

và $cos\widehat{SOC}=-cos\widehat{SOA}=\frac{-OA}{SO}=\frac{-\sqrt{3}}{3}$

Kẻ BM\perp SC tại M thì $DM\perp SC nên [B, SC, D]=\widehat{BMD}$

Có $BC\perp (SAB)$

=> Tam giác SBC vuông tại B => SB=$a\sqrt{2}, SC=a\sqrt{3}, $

DM=BM=$\frac{SB.BC}{SC}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Áp dụng định lí côsinh trong tam giác BDM, có

$cos\widehat{BMD}=\frac{BM^{2}+DM^{2}-BD^{2}}{2.BM.DM}=\frac{-3}{4}$

Câu 7.25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và AB.

a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD).

b) Chứng minh rằng $(SMD)\perp (SHC).$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $(SAD)\perp (ABCD) và SH\perp AD $

=>$ SH\perp (ABCD)$

=> Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và CH, mà $(SC,CH) = \widehat{SCH}, $

Có $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}, HC=\frac{a\sqrt{5}}{2}, SC=a\sqrt{2}$

=>$cos \widehat{SCH}=\frac{HC}{SC}=\frac{\sqrt{10}}{4}$

b) Ta có $DM\perp CH, DM\perp SH $

=> $DM\perp (SCH). $

Mà mặt phẳng(SDM) chứa đường thẳng DM nên $(SDM)\perp (SCH).$

Câu 7.26. Một viên bị được thả lăn trên một mặt phẳng nằm nghiêng (so với mặt phẳng nằm ngang). Coi viên bi chịu tác dụng của hai lực chính là lực hút của Trái Đất (theo phương thẳng đứng, hướng xuống dưới) và phản lực, vuông góc với mặt phẳng nằm nghiêng, hưởng lên trên. Giải thích vì sao viên bị di chuyển trên một đường thẳng vuông góc với giao tuyến của mặt phẳng nằm nghiêng và mặt phẳng nằm ngang.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi a là giao tuyến của mặt phẳng nằm ngang và mặt phẳng nằm nghiêng. Phương của lực hút trái đất vuông góc với mặt phẳng nằm ngang, phương của phản lực vuông góc với mặt phẳng nghiêng nên phương của hai lực nói trên đều vuông góc với đường thẳng a, do đó đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa hai phương của hai lực đó. Vì tổng hợp lực của trọng lực và phản lực là một lực có phương nằm trên mặt phẳng (P) nên phương đó vuông góc với a. Do đó, viên bi lăn dọc theo đường thẳng vuông góc với đường thẳng a.